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\begin{document}
\begin{CJK}{UTF8}{gbsn}%
\title{线性代数中的反例}
\maketitle

\section{行列式}

\subsection{逆序数}
\begin{example}
把 $x_{1}x_{2}\cdots x_{n}$ 变成 $123\cdots n$. 但这不一定是最少次数的对换.

例 $\tau\left(4132\right)=4$, 但 $4132\xrightarrow{(2,4)}2134\xrightarrow{(1,2)}1234$
即两次对换, 就把排列 $4132$ 化为排列 $1234$. 
\end{example}

\begin{example}
设 $n$ 元排列 $\cdots i\cdots j\cdots$ 的反序数为 $k$, 那么 $n$ 元 排列 $\cdots j\cdots i\cdots$
的反序数不一定为 $k+1$ 或 $k-1$.

例 取排列 $123$, $\tau\left(123\right)=0$, 对换 $(1,3)$ 得 $321$, $\tau(321)=3$.
\end{example}


\subsection{$n$ 阶行列式}
\begin{example}
若 $n$ 阶行列式 $D$ 不等于 $0$, 那么 $D$ 的 $n-1$ 阶子式不全为 $0$, 反之不真. 

例 $D=\begin{vmatrix}1 & 2\\
3 & 6
\end{vmatrix}$ 的一阶子式全不为 $0$, 但 $D=0$.
\end{example}

\begin{example}
$n$ 阶行列式有一行 (列) 元素均为 $0$, 则行列式为 $n$, 反之, 行列式为 $0$, 那么行列式不一定有一行
(列) 为 $0$.

例 
\[
\begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\
-1 & 1 & 3\\
4 & 5 & 6
\end{vmatrix}=0.
\]
\end{example}


\subsection{克莱姆法则}
\begin{example}
我们知道, 当方程个数等于未知量个数且系数行列式不等于 0 , 则由克莱姆法则知线性方程组必有唯一解, 但反之不真.

例 线性方程组 
\[
\begin{cases}
x_{1}+x_{2}=1\\
2x_{1}+3x_{2}=4\\
3x_{1}+4x_{2}=5
\end{cases}
\]
的方程个数多于末知量个数, 但却有唯一解.
\end{example}

\begin{example}
如果一个方程组方程的个数比未知量的个数多, 不一定有解. 

例
\[
\begin{cases}
x_{1}+x_{2}=1\\
x_{1}+x_{2}=2\\
x_{1}+x_{2}=3
\end{cases}
\]
无解.
\end{example}

\begin{example}
当未知量个数多于方程个数时, 齐次线性方程组必有无穷多解. 但对非齐次线性方程组来说, 此结论不成立. 

例 线性方程组 
\[
\begin{cases}
x_{1}+x_{2}+x_{3}=1\\
2x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=3
\end{cases}
\]
的方程个数小于未知量个数, 但它却无解.
\end{example}

\begin{example}
齐次线性方程组方程的个数 $m$ 小于末知量的个数 $n$, 那么有非零解. 反之, 方程组有非零解, 不一定有 $m<n$.

例 
\[
\begin{cases}
x_{1}+x_{2}+3x_{3}=0\\
x_{1}+4x_{2}+5x_{3}=0\\
x_{1}-2x_{2}+x_{3}=0\\
2x_{1}-x_{2}-4x_{3}=0
\end{cases}
\]
有非零解, 但 $m=4>n=3$.
\end{example}

\begin{example}
空间四个平面 $a_{i}x+b_{i}y+c_{i}z+d_{i}=0$, ($i=1,2,3,4$) 相交于一点时, 有
\[
\Delta=\begin{vmatrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1}\\
a_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2}\\
a_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3}\\
a_{4} & b_{4} & c_{4} & d_{4}
\end{vmatrix}=0,
\]
但反之不真.

例
\[
\begin{cases}
x+y+z+1=0\\
2x+2y+2z+2=0\\
x-y+z+3=0\\
2x-2y+2z+6=0
\end{cases}
\]
前两个方程表示同一个平面, 后两个方程表示另一个平面, 由于两个平面的位置关系 (法线不平行), 它们相交于一条直线. 而
\[
\begin{aligned}\Delta & =\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1\\
2 & 2 & 2 & 2\\
1 & -1 & 1 & 3\\
2 & -2 & 2 & 6
\end{vmatrix}=0,\end{aligned}
\]
但不相交于一点.
\end{example}


\section{矩阵}
\begin{example}
矩阵的乘法不满足交换律. 

(i) 当 $m\neq s$ 时, $A_{mn}B_{ns}$ 有意义, 但 $B_{ns}A_{mn}$ 没有意义.

例 $A_{23}B_{34}$ 有意义, 而 $B_{34}A_{23}$ 无意义.

(ii) $A_{mn}B_{nm}$ 和 $B_{nm}A_{mn}$ 都有意义, 当 $m\neq n$ 时, 第一个乘积是
$m$ 阶矩阵, 而第二乘积是 $n$ 阶矩阵, 它们不相等.

例 $A_{23}B_{32}$ 是 $2$ 阶的, $B_{32}A_{23}$ 是 $3$ 阶的. 

(iii) $A_{nn}B_{nn}$ 和 $B_{nn},A_{nn}$ 虽然都是 $n$ 阶矩阵, 但它们也未必相等.
例 
\[
\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1 & 2\\
2 & 1
\end{bmatrix}, & \quad B=\begin{bmatrix}2 & -3\\
3 & 1
\end{bmatrix},\\
AB=\begin{bmatrix}8 & -1\\
7 & -5
\end{bmatrix}, & \quad BA=\begin{bmatrix}-4 & 1\\
5 & 7
\end{bmatrix}.
\end{aligned}
\]
\end{example}

\begin{example}
存在零因子, 即 $A\neq0$, $B\neq0$, 但 $AB=0$. 
\[
\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}0 & 1\\
0 & 2
\end{bmatrix}, & \quad B=\begin{bmatrix}0 & 1\\
0 & 0
\end{bmatrix},\\
AB=\begin{bmatrix}0 & 1\\
0 & 2
\end{bmatrix} & \begin{bmatrix}0 & 1\\
0 & 0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix}.
\end{aligned}
\]
\end{example}

\begin{example}
矩阵乘法的消去律不成立, 即 $A\neq0$, $AB=AC$, 未必有 $B=C$. 

例 
\[
A=\begin{bmatrix}1 & 1\\
-1 & 1
\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}1 & -1\\
-1 & 1
\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}-1 & 1\\
1 & -1
\end{bmatrix},
\]
那么 
\[
AB=\begin{bmatrix}1 & 1\\
-1 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & -1\\
-1 & 1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix},\quad AC=\begin{bmatrix}1 & 1\\
-1 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1 & 1\\
1 & -1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix},
\]
于是 $AB=AC$, 且 $A\neq0$, 但 $B\neq C$.
\end{example}

\begin{example}
由于矩阵乘法不满足交换律, 所以等式: 
\[
(AB)^{m}=A^{m}B^{m}
\]
一般不成立. 

例
\[
\begin{array}{ll}
A=\begin{bmatrix}2 & 1\\
3 & 2
\end{bmatrix}, & B=\begin{bmatrix}1 & -1\\
1 & 1
\end{bmatrix},\\
AB=\begin{bmatrix}3 & -1\\
5 & -1
\end{bmatrix}, & (AB)^{2}=\begin{bmatrix}4 & -2\\
10 & -4
\end{bmatrix},\\
A^{2}=\begin{bmatrix}7 & 4\\
12 & 7
\end{bmatrix}, & B^{2}=\begin{bmatrix}0 & -2\\
2 & 0
\end{bmatrix},\\
A^{2}B^{2}=\begin{bmatrix}8 & -14\\
14 & -24
\end{bmatrix},
\end{array}
\]
所以此时 $(AB)^{2}\neq A^{2}B^{2}$. 但是当 $AB=BA$ 时, 就有 $(AB)^{m}=A^{m}B^{m}$. 
\end{example}

\begin{example}
式子 $(A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}$ 与 $A^{2}-B^{2}=(A+B)(A-B)$ 一般不成立.

例
\[
A=\begin{bmatrix}1 & 1\\
0 & 1
\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}2 & 1\\
1 & 1
\end{bmatrix},
\]
\[
(A+B)^{2}=\begin{bmatrix}11 & 10\\
5 & 6
\end{bmatrix},\ A^{2}+2AB+B^{2}=\begin{bmatrix}12 & 9\\
5 & 5
\end{bmatrix},
\]
所以 $(A+B)^{2}\neq A^{2}+2AB+B^{2}$, 
\[
A^{2}-B^{2}=\begin{bmatrix}-4 & -1\\
-3 & -1
\end{bmatrix},\ (A+B)(A-B)=\begin{bmatrix}-5 & 0\\
-3 & 0
\end{bmatrix},
\]
所以 $A^{2}-B^{2}\neq(A+B)(A-B)$, 但当 $AB=BA$ 时, 上述等式成立.
\end{example}

\begin{example}
设 $A$ 是一个 $n$ 阶实矩阵, 若 $A^{2}=0$, 则 $A=0$, 若 $A$是复矩阵，有 $A^{2}=0$,
不一定有 $A=0$. 

例 $A=\begin{bmatrix}1 & \ui\\
\ui & 1
\end{bmatrix}$, 有 $A^{2}=\begin{bmatrix}0 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix}$, 但 $A\neq O$.
\end{example}

\begin{example}
我们知道, 若 $A,B,C$ 都是 $n$ 阶矩阵, 且 $ABC=E$, 则 $BCA=E$, $CAB=E$ 总成立.
但 $BAC=E$, $ACB=E$, $CBA=E$ 却不一定成立. 

例 
\[
A=\begin{bmatrix}1 & 1\\
0 & 1
\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}1 & 1\\
1 & 0
\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}0 & 1\\
1 & -2
\end{bmatrix},
\]
有 $ABC=E$, 但 $BAC=\begin{bmatrix}2 & -3\\
1 & -1
\end{bmatrix}\neq E$, $ACB=\begin{bmatrix}0 & 1\\
-1 & 1
\end{bmatrix}\neq E$, $CBA=\begin{bmatrix}1 & 1\\
-1 & 0
\end{bmatrix}\neq E$, 当 $AB=BA$ 时, 上述等式成立.
\end{example}

\begin{example}
我们知道, 单位矩阵 $E$ 与任意 $n$ 阶矩阵 $A$, 左乘或右乘的乘积仍然是 $A$ 自身, 即 
\[
EA=AE=A.
\]
但是, 对某个别矩阵左乘或右乘不变的不一定就是单位矩阵. 

例 $\begin{bmatrix}3 & 1\\
2 & 2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & -1\\
-2 & 2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & -1\\
-2 & 2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3 & 1\\
2 & 2
\end{bmatrix}$, 但 $\begin{bmatrix}3 & 1\\
2 & 2
\end{bmatrix}$ 不是二阶单位矩阵.
\end{example}

\begin{example}
矩阵乘积的行列式等于矩阵的行列式的乘积, 即 $|AB|=|A|\cdot|B|$.

但对于矩阵和的行列式一般不等于矩阵的行列式之和; $kA$ 的行列式一般也不等于 $k\cdot|A|$, 即 $|A+B|\neq|A|+|B|$,
$|kA|\neq k\cdot|A|$. 

例 

(i). $A=\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}0 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}$, $A+B=\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}$, 而 $|A+B|=1$, 又 $|A|+|B|=0+0=0$.

(ii). 
\[
A=\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix},\ k=2,
\]
因此有 $|kA|=4$, $k|A|=2$.
\end{example}


\section{矩阵与线性方程组}

\subsection{增广矩阵的秩与线性方程组的解的关系}
\begin{example}
设 $A=\left(a_{ij}\right)$ 是 $n$ 阶矩阵, 令 $$B=\begin{bNiceArray}{ccc|c}[margin]
\Block{3-3}{A} & & & b_1 \\
& \hspace*{1cm} & & \Vdots \\
& & & b_n \\
\hline 
b_1 & \Cdots & b_n & 0 
\end{bNiceArray}=\begin{bmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} & b_{1}\\
\vdots &  & \vdots & \vdots\\
a_{n1} & \cdots & a_{nn} & b_{n}\\
b_{1} & \cdots & b_{n} & 0
\end{bmatrix},$$若秩 $B=$ 秩 $A$, 可以证明方程组 
\[
\begin{cases}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\
\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\
a_{n1}x_{1}+a_{n}x_{2}+\cdots+a_{n}x_{n}=b_{n}
\end{cases}
\]
有解, 但反之不真.

例
\[
\begin{cases}
x_{1}+2x_{2}=3\\
2x_{1}+x_{2}=1
\end{cases}
\]
\[
\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}1 & 2\\
2 & 1
\end{bmatrix}, & \overline{A}=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\
2 & 1 & 1
\end{bmatrix},\end{aligned}
\]
因为秩 $\overline{A}=$ 秩 $A=2$, 方程组有解, 但是 
\[
\begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\
2 & 1 & 1\\
3 & 1 & 0
\end{vmatrix}=2\neq0.
\]
因此 
\[
B=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\
2 & 1 & 1\\
3 & 1 & 0
\end{bmatrix}
\]
的秩是 $3$, 所以, 秩 $B\ne$ 秩 $A$.
\end{example}

\begin{example}
若方程组
\[
\begin{cases}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1,n-1}x_{n-1}=a_{1n},\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2,n-1}x_{n-1}=a_{2n},\\
\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\
a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots+a_{n,n-1}x_{n-1}=a_{nn},
\end{cases}
\]
有解, 则 
\[
D=\begin{vmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}=0.
\]
但反之不真. 

例 
\[
\begin{cases}
x_{1}+2x_{2}=1\\
2x_{1}+4x_{2}=1\\
3x_{1}+6x_{2}=2
\end{cases}
\]
\[
\begin{aligned}D & =\begin{vmatrix}1 & 2 & 1\\
2 & 4 & 1\\
3 & 6 & 2
\end{vmatrix}=0,\end{aligned}
\]
但方程组无解, 因为秩 $A=1$, 秩 $\overline{A}=2$.
\end{example}

\begin{example}
设 $D$ 为方程组 
\begin{equation}
\begin{cases}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1}x_{n}=b_{1}\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\
\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\
a_{n}x_{1}+a_{n}x_{2}+\cdots+a_{n}x_{n}=b_{n}
\end{cases}\label{eq:2}
\end{equation}
的系数行列式, $D_{i}$ 是把 $D$ 中第 $i$ 列换成常数项 $b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}$,
所得到的行列式. 当 $D=D_{1}=D_{2}=\cdots=D_{n}=0$ 时, (\ref{eq:2}) 不一定有无穷多解.

例
\[
\begin{cases}
x_{1}+x_{2}+x_{3}=1\\
2x_{1}+2x_{2}+2x_{3}=1\\
3x_{1}+3x_{2}+3x_{3}=0
\end{cases}
\]
显然有 $D=D_{1}=D_{2}=D_{3}=0$, 但无解, 因为 秩 $A=1$, 秩 $\overline{A}=2$,
秩 $A\neq$ 秩 $\overline{A}$.
\end{example}


\subsection{同解方程与非齐次方程组的导出组{*}}
\begin{example}
设非齐次线性方程组 (I) 与 (II) 的导出组\footnote{导出组是该非齐次线性方程组的导出齐次线性方程组或相应的齐次线性方程组的缩写, 指的是将非齐次线性方程组右端的常数项换为零, 得到的齐次线性方程组,
即为齐次线性方程组的通解.}分别为 (I') 与 (II'), 若 (I) 有解, 而 (I) 与 (II) 同解, 则 (I') 与 (II') 同解.

但条件 (I) 有解去掉, (I) 与 (II) 同解, 不一定有 (I') 与 (II') 同解. 

例 
\[
\begin{cases}
x_{1}+x_{2}=1\\
2x_{1}+2x_{2}=3
\end{cases}\text{ 与 }\begin{cases}
\frac{1}{2}x_{1}+x_{2}=1\\
x_{1}+2x_{2}=1
\end{cases}
\]
同解. 但其导出组不同解.
\end{example}

\begin{example}
设非齐次线性方程组 (I) 与 (II) 的导出组分别为 (I') 与 (II'); 若 (I') 与 (II') 同解, (I)
与 (II) 不一定同解. 

例 
\[
\begin{cases}
x_{1}+x_{2}=1\\
2x_{2}+x_{2}=1
\end{cases}
\]
与 
\[
\begin{cases}
x_{1}+x_{2}=1\\
2x_{1}+x_{2}=3
\end{cases}
\]
的导出组同解, 但两个原方程组不同解.
\end{example}

\end{CJK}

\end{document}