\section{$n$ 阶行列式}
\begin{frame}{引言}

现在, 为了研究 $n$ 元线性方程组, 需要进一步讨论 $n$ 阶行列式. 

但应当指出的是: 主. 副对角线法则不易于向一般 $n$ 阶行列式推广. 

例如, 对 $4$ 阶行列式: 
\[
\begin{vmatrix}\boxed{a_{11}} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\
a_{21} & \boxed{a_{22}} & a_{23} & a_{24}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & \boxed{a_{34}}\\
a_{41} & a_{42} & \boxed{a_{43}} & a_{44}
\end{vmatrix}
\]
其中一项 $a_{11}a_{22}a_{34}a_{43}$ 的符号是什么呢? 这时用主,副对角线法则就不好确定了!
\end{frame}

\subsection{$n$ 级排列与逆序数}
\begin{frame}[allowframebreaks]{\textbf{$n$ 级排列与逆序数}}

\framesubtitle{排列与逆序}
\begin{defn}
由自然数 $1,2,\cdots,n$ 组成的不重复的每一种有确定次序的排列, 称为一个 \textbf{$n$ 级排列}(简称为\textbf{排列}).
 
\end{defn}

例如, $1234$ 和 $4312$ 都是 $4$ 级排列, 而 $24315$ 是一个 $5$ 级排列.

\begin{defn}
在一个 $n$ 级排列 $\left(i_{1}i_{2}\cdots i_{t}\cdots i_{s}\cdots i_{n}\right)$
中, 若数 $i_{t}>i_{s}$, 则称数 $i_{t}$ 与 $i_{s}$ 构成一个\textbf{逆序}. 一个
$n$ 级排列中逆序的总数称为该\textbf{排列的逆序数}, 记为 $N\left(i_{1}i_{2}\cdots i_{n}\right)$. 
\end{defn}

根据上述定义, 可按如下方法计算排列的逆序数: 

设在一个 $n$ 级排列 $i_{1}i_{2}\cdots i_{n}$ 中, 比 $i_{t}$ ($t=1,2,\cdots,n$)
大的且排在 $i_{t}$ 前面的数共有 $t_{i}$ 个, 则 $i_{t}$ 的逆序的个数为 $t_{i}$, 而该排列中所有\textbf{元素的逆序数}之和就是这个\textbf{排列的逆序数}.
即 
\[
N\left(i_{1}i_{2}\cdots i_{n}\right)=t_{1}+t_{2}+\cdots+t_{n}=\sum_{i=1}^{n}t_{i}.
\]

\begin{defn}
逆序数为奇数的排列称为\textbf{奇排列}, 逆序数为偶数的排列称为\textbf{偶排列}.
\end{defn}

\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{计算逆序数}
\begin{example}
计算排列 $32514$ 的逆序数. 
\end{example}

\begin{sol*}
在排列 $32514$ 中, 
\begin{itemize}
\item $3$ 排在首位, 故其逆序数为 $0$; 
\item $2$ 的前面比 $2$ 大的数只有 $1$ 个 $3$, 故其逆序数为 $1$; 
\item $5$ 的前面没有比 $5$ 大的数, 故其逆序数为 $0$; 
\item $1$ 的前面比 $1$ 大的数有 $3$ 个, 故其逆序数为 $3$; 
\item $4$ 的前面比 $4$ 大的数有 $1$ 个, 故其逆序数为 $1$.
\end{itemize}
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
\begin{table}[H]
\centering%
\begin{tabular}{cccccc}
\toprule 
排列 & 3 & 2 & 5 & 1 & 4\tabularnewline
 & $\downarrow$ & $\downarrow$ & $\downarrow$ & $\downarrow$ & $\downarrow$\tabularnewline
逆序 & 0 & 1 & 0 & 3 & 1\tabularnewline
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

于是排列 $32514$ 的逆序数为 $N=0+1+0+3+1=5$.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{计算逆序数}
\begin{example}
计算排列 $217986354$ 的逆序数, 并讨论其偶性. 
\end{example}

\begin{sol*}
\begin{table}[H]
\centering%
\begin{tabular}{cccccccccc}
\toprule 
排列 & 2 & 1 & 7 & 9 & 8 & 6 & 3 & 5 & 4\tabularnewline
 & $\downarrow$ & $\downarrow$ & $\downarrow$ & $\downarrow$ & $\downarrow$ & $\downarrow$ & $\downarrow$ & $\downarrow$ & $\downarrow$\tabularnewline
逆序 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 3 & 4 & 4 & 5\tabularnewline
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

于是题设排列的逆序数为 
\[
N=5+4+4+3+1+0+0+1+0=18\lyxmathsym{。}
\]
该排列是偶排列. 
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{计算逆序数}
\begin{example}
求排列 $n(n-1)(n-2)\cdots321$ 的逆序数, 并讨论其奇偶性.
\end{example}

\begin{sol*}
\begin{table}[H]
\centering%
\begin{tabular}{cccccccc}
\toprule 
排列 & $n$ & $n-1$ & $n-2$ & $\cdots$ & $3$ & $2$ & $1$\tabularnewline
 & $\downarrow$ & $\downarrow$ & $\downarrow$ & $\cdots$ & $\downarrow$ & $\downarrow$ & $\downarrow$\tabularnewline
逆序 & $0$ & $1$ & $2$ & $\cdots$ & $n-3$ & $n-2$ & $n-1$\tabularnewline
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

于是题设排列的逆序数为 
\[
N=(n-1)+(n-2)+(n-3)+\cdots+2+1+0=\frac{n(n-1)}{2}\text{. }
\]
易见
\begin{itemize}
\item 当 $n=4k,4k+1$ 时, 题设排列是偶排列; 
\item 当 $n=4k+2,4k+3$ 时, 题设排列是奇排列.
\end{itemize}
\end{sol*}
\end{frame}
%

\subsection{$n$ 阶行列式的定义}
\begin{frame}[allowframebreaks]{$n$ 阶行列式的定义}
\begin{defn}
\label{def:def-det} 由 $n^{2}$ 个元素 $a_{ij}$ ($i,j=1,2,\cdots,n$)
组成的记号\vspace{-4mm} 
\[
\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
\]
称为 \textbf{$n$ 阶行列式}, 其中横排称为\textbf{行}, 竖排称为\textbf{列}, 它表示所有取自不同行、不同列的
$n$ 个元素乘积 $a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\cdots a_{nj_{n}}$ 的代数和, \textcolor{brown}{各项的符号是:}
当该项各元素的行标按自然顺序排列后: \vspace{-2mm}
\begin{itemize}
\item 若对应的列标构成的排列是偶排列则取\textbf{正号}; 
\item 若对应的列标构成的排列是奇排列则取\textbf{负号}. 
\end{itemize}
\end{defn}

\begin{defn*}[\ref{def:def-det}']
 即:
\[
\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}=\sum_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}(-1)^{N(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\cdots a_{nj_{n}},
\]
其中 $\sum_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}$ 表示对所有 $n$ 级排列 $j_{1}j_{2}\cdots j_{n}$
求和. 行列式有时也简记为 ${\color{brown}\mathrm{det}(a_{ij})}$ 或 $\left|a_{ij}\right|$\footnote{行列式的定义是怎么来的\href{https://zhuanlan.zhihu.com/p/76526424}{阅读材料}.},
这里数 $a_{ij}$ 称为\textbf{行列式的元素}, 称 $(-1)^{N(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\cdots a_{nj_{n}}$
为\textbf{行列式的一般项}. 
\end{defn*}
\begin{rem*}
(1) $a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\cdots a_{nj_{n}}$ 的符号为 $(-1)^{N(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})}$
(不算元素本身所带的符号); 

(2) 一阶行列式 $|a|=a$, 不要与绝对值记号相混淆.
\end{rem*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{$n$ 阶行列式的定义}
\begin{example}
计算行列式 $D=\begin{vmatrix}0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 2 & 0\\
0 & 3 & 0 & 0\\
4 & 0 & 0 & 0
\end{vmatrix}$. 
\end{example}

\begin{sol*}
四阶行列式 $D$ 的一般项为 $(-1)^{N(j_{1}j_{2}j_{3}j_{4})}a_{1j_{1}}a_{2j2}a_{3j_{3}}a_{4j_{4}}$, 

$D$ 中第 $1$ 行的非零元素只有 $a_{14}$, 因而 $j_{1}$ 只需取 $4$; 

同理

由 $D$ 中第 $2,3,4$ 行知, $j_{2}=3$, $j_{3}=2$, $j_{4}=1$, 即行列式 $D$
中的非零项只有一项, 即 
\[
D=(-1)^{N(4321)}a_{14}a_{23}a_{32}a_{41}=(-1)^{N(4321)}1\cdot2\cdot3\cdot4=24.
\]
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{$n$ 阶行列式的定义}
\begin{example}
计算上三角形行列式 $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
0 & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}$, ($a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}\neq0$). 
\end{example}

行列式中从左上角到右下角的对角线称为\textbf{主对角线}.
\begin{sol*}
行列式的一般项为 
\[
(-1)^{N(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\cdots a_{nj_{n}},\ j_{n}=n,\ j_{n-1}=n-1,\cdots,\ j_{2}=2,\ j_{1}=1,
\]
所以不为零的项只有 $a_{11}a_{12}\cdots a_{nn}$, 所以 
\[
\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
0 & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}=(-1)^{N(12\cdots n)}a_{11}a_{12}\cdots a_{nn}.
\]
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
同理, 下三角形行列式 
\[
\begin{vmatrix}a_{11} & 0 & \cdots & 0\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}.
\]
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{$n$ 阶行列式的定义}
\begin{example}
设 $D_{1}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}$, $D_{2}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}b^{-1} & \cdots & a_{1n}b^{1-n}\\
a_{21}b & a_{22} & \cdots & a_{2n}b^{2-n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1}b^{n-1} & a_{n2}b^{n-2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}$, 证明: $D_{1}=D_{2}$. 
\end{example}

\begin{proof}
由定义知, $D_{1}=\sum\limits _{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}(-1)^{N(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\cdots a_{nj_{n}}$,
再注意到 $D_{2}$ 中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素可表为 $a_{ij}b^{i-j}$, 故 
\[
D_{2}=\sum\limits _{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}(-1)^{N\left(j_{1}j_{2}\cdots j_{n}\right)}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\cdots a_{nj_{n}}b^{(1+2+\cdots+n)-\left(j_{1}+j_{2}+\cdots+j_{n}\right)},
\]
 然而$j_{1}+j_{2}+\cdots+j_{n}=1+2+\cdots+n$. 所以 
\[
D_{2}=\sum\limits _{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}(-1)^{N\left(j_{1}j_{2}\cdots j_{n}\right)}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\cdots a_{nj_{n}}\Longrightarrow D_{1}=D_{2}.
\]
\end{proof}
\end{frame}
%

\subsection{对换}
\begin{frame}{对换}

为进一步研究 $n$ 阶行列式的性质, 先要讨论对换的概念及其与排列奇偶性的关系.  
\begin{defn}
在排列中, 将任意两个元素对调, 其余的元素不动, 这种作出新排列的方式称为\textbf{对换}. 将两个相邻元素对换, 称为\textbf{相邻对换}.
 
\end{defn}

\begin{thm}
任意一个排列经过一个对换后, 其奇偶性改变.  
\end{thm}

\begin{cor}
奇排列变成自然顺序排列的对换次数为奇数, 偶排列变成自然顺序排列的对换次数为偶数. 
\end{cor}

\end{frame}
%
\begin{frame}{对换}
\begin{thm}
$n$ 个自然数 $(n>1)$ 共有 $n!$ 个 $n$ 级排列, 其中奇偶排列各占一半. 
\end{thm}

\begin{rem*}
$n$ 阶行列式是 $n!$ 项的代数和, 且冠以正号的项和冠以负号的项 (不算元素本身所带的符号) 各占一半; 
\end{rem*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{对换}
\begin{example}
试判断 $a_{14}a_{23}a_{31}a_{42}a_{56}a_{65}$ 和 $-a_{32}a_{43}a_{14}a_{51}a_{25}a_{66}$
是否都是六阶行列式中的项. 
\end{example}

\begin{sol*}
$a_{14}a_{23}a_{31}a_{42}a_{56}a_{65}$ 下标的逆序数为 $N(431265)=0+1+2+2+0+1=6$.

所以 $a_{14}a_{23}a_{31}a_{42}a_{56}a_{65}$ 是六阶行列式中的项. 

而 $a_{32}a_{43}a_{14}a_{51}a_{25}a_{66}$ 两下标排列的逆序数和为 $N(341526)+N(234156)=5+3=8$,

所以 $-a_{32}a_{43}a_{14}a_{51}a_{25}a_{66}$ 不是六阶行列式中的的项.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{对换}
\begin{example}
在六阶行列式中, 下列两项各应带什么符号 

(1) $a_{23}a_{31}a_{42}a_{56}a_{14}a_{65}$;

(2) $a_{32}a_{43}a_{14}a_{51}a_{66}a_{25}$.
\end{example}

\begin{sol*}
(1) $a_{23}a_{31}a_{42}a_{56}a_{14}a_{65}=a_{14}a_{23}a_{31}a_{42}a_{56}a_{65}$,
$431265$ 的逆序数为 
\[
N=0+1+2+2+0+1=6,
\]
所以 $a_{23}a_{31}a_{42}a_{56}a_{14}a_{65}$ 前边应带正号. 

(2) $a_{32}a_{43}a_{14}a_{51}a_{66}a_{25}$ 行标排列 $341562$ 的逆序数为 $N=0+0+2+0+0+4=6$,

列标排列 $234165$ 的逆序数为 $N=0+0+0+3+0+1=4$, 

所以 $a_{32}a_{43}a_{14}a_{51}a_{66}a_{25}$ 前边应带正号.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{对换}
\begin{example}
用行列式的定义计算 $D_{n}=\begin{vmatrix}0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & \cdots & 2 & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots\\
n-1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & n
\end{vmatrix}$. 
\end{example}

\begin{sol*}
根据行列式的定义, 有
\[
D_{n}=(-1)^{N}a_{1,n-1}a_{2,n-2}\cdots a_{n-1,1}a_{nn}=(-1)^{N}1\cdot2\cdots(n-1)\cdot(n-2)\cdot n=(-1)^{N}n!,
\]
其中 $N=N[(n-1)(n-2)\cdots21n]=0+1+2+\cdots+(n-2)+0=\frac{(n-1)(n-2)}{2}$, 

所以$D_{n}=(-1)^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}n!$. 
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{行列式的其它定义}
\begin{thm}
$n$ 阶行列式也定义为 
\[
D=\sum(-1)^{S}a_{i_{1}j_{1}}a_{i_{2}j_{2}}\cdots a_{i_{n}j_{n}},
\]
其中 $S$ 为行标与列标排列的逆序数之和. 即 $S=N\left(i_{1}i_{2}\cdots i_{n}\right)+N\left(j_{1}j_{2}\cdots j_{n}\right)$.
\end{thm}

\begin{cor}
$n$ 阶行列式也可定义为 
\[
D=\sum(-1)^{N\left(i_{1}i_{2}\cdots i_{n}\right)}a_{i_{1}1}a_{i_{2}2}\cdots a_{i_{n}n}.
\]

\end{cor}

\end{frame}
%

\subsection{$n$ 阶行列式的其它定义方式{*}}
\begin{frame}[allowframebreaks]{$n$ 阶行列式的其它定义方式}

事实上, 三阶行列式还可以按第一行展开的方法得到行列式的值. 即 
\[
D=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}=a_{1}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13},
\]
其中 $A_{11},A_{12},A_{13}$ 分别是第一行元素 $a_{11},a_{12},a_{13}$ 的代数余子式:
\[
A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot\begin{vmatrix}a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}=a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}.
\]

同理 
\[
\begin{aligned}A_{12} & =(-1)^{1+2}\cdot\begin{vmatrix}a_{21} & a_{23}\\
a_{31} & a_{33}
\end{vmatrix}=-\left(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}\right),\\
A_{13} & =(-1)^{1+3}\cdot\begin{vmatrix}a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}
\end{vmatrix}=a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}.
\end{aligned}
\]
注意到, 
\[
\begin{aligned}D & =\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}\\
 & =a_{11}\cdot\left(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}\right)\\
 & \quad-a_{12}\cdot\left(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}\right)\\
 & \quad+a_{13}\cdot\left(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}\right)
\end{aligned}
\]
不难看到, 这与用主, 副对角线法则得到的结果是一致的.
\end{frame}
%
\begin{frame}{例子}

例如, 对行列式 
\[
D=\begin{vmatrix}1 & 0 & 1\\
-1 & 2 & 3\\
3 & 1 & 1
\end{vmatrix},\quad A_{11}=-1,\quad A_{12}=10,\quad A_{13}=-7,
\]
从而行列式的值 
\[
\begin{aligned}D & =a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}\\
 & =1\times(-1)+0\times10+1\times(-7)=-8.
\end{aligned}
\]
与对角线法结果相同。
\end{frame}
%
\begin{frame}{规律总结}

这一展开的规律启示我们: 
\begin{enumerate}
\item 可以用低阶行列式的值去定义高阶行列式的值;\\
即, 从二, 三阶行列式出发去定义一般的 $n$ 阶行列式.
\item 这样的定义方式应该具有某种内在的一致性. 即, 这样定义的各阶行列式应该有统一的性质. 见第 \ref{sec:4} 节.
\end{enumerate}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{$n$ 阶行列式}
\begin{defn}
\label{def:det}由 $n\times n$ 个数 $a_{ij}$ ($i,j=1,2,\ldots,n$)
组成的具有 $n$ 行 $n$ 列的式子 
\[
D=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}=\left|a_{ij}\right|_{n\times n}
\]
叫做 $n$ 阶行列式 (Determinant), 并且规定其值为: 

1) 当 $n=1$ 时, $D=\left|a_{11}\right|=a_{11}$;

2) 当 $n\geq2$ 时, 
\begin{align*}
D & =a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+\cdots+a_{1n}A_{1n}\\
 & =\sum_{j=1}^{n}a_{1j}A_{1j}
\end{align*}
\end{defn}

\begin{defn*}[\ref{def:det}]
\begin{align*}
D & =a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+\cdots+a_{1n}A_{1n}\\
 & =\sum_{j=1}^{n}a_{1j}A_{1j}
\end{align*}
其中 $A_{1j}=(-1)^{1+j}M_{1j}$, 
\[
M_{1j}=\begin{vmatrix}a_{21} & \cdots & a_{2,j-1} & a_{2,j+1} & \cdots & a_{2n}\\
a_{31} & \cdots & a_{3,j-1} & a_{3,j+1} & \cdots & a_{3n}\\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix},
\]
并称 $M_{1j}$ 为行列式 $D$ 的元素 $a_{1j}$ 的余子式, $A_{1j}$ 为行列式 $D$ 的元素
$a_{1j}$ 的代数余子式.
\end{defn*}
\end{frame}

\subsection{作业}
\begin{frame}[allowframebreaks]{作业}
\begin{problem}
求以下排列的逆序数

(1). $2,3,5,4,1$; (2). $6,3,1,2,5,4$; (3). $1,3,5,7,\cdots,2n-1,2,4,6,8,\cdots,2n$;
(4). $2,4,6,\cdots,2n,1,3,5,\cdots,2n-1$.
\end{problem}

\begin{problem}
写出数 $1,2,\cdots,n$ 的一个排列, 其逆序数最大, 并求其逆序数.
\end{problem}

\begin{problem}
判断下列乘积在相应阶数的行列式中带有怎样的符号:

(1). $a_{43}a_{21}a_{35}a_{12}a_{54}$; (2). $a_{61}a_{23}a_{45}a_{36}a_{12}a_{54}$;
(3). $a_{27}a_{36}a_{51}a_{74}a_{25}a_{43}a_{62}$; (4). $a_{33}a_{16}a_{72}a_{27}a_{55}a_{61}a_{44}$.
\end{problem}

\begin{problem}
若 $(-1)^{N(i432k)+N(52j14)}a_{i5}a_{42}a_{3j}a_{21}a_{k4}$ 是五阶行列式的一项,
则 $i,j,k$ 应为何值? 此时该项的符号是什么? 
\end{problem}

\begin{problem}
选取 $i$ 和 $k$ 的值, 使得乘积 $a_{62}a_{i5}a_{33}a_{k4}a_{46}a_{21}$ 是相应
$6$ 阶行列式且带有负号.
\end{problem}

\begin{problem}
取 $i$ 和 $k$ 的值, 使得乘积 $a_{47}a_{63}a_{1i}a_{55}a_{7k}a_{24}a_{31}$
是相应 $7$ 阶行列式中且带有正号.
\end{problem}

\begin{problem}
用行列式的定义计算下列行列式: $\begin{vmatrix}0 & 1 & 0 & 1\\
1 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1
\end{vmatrix}$. 
\end{problem}

\begin{problem}
仅利用行列式的定义, 计算 
\[
\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25}\\
a_{31} & a_{32} & 0 & 0 & 0\\
a_{41} & a_{42} & 0 & 0 & 0\\
a_{51} & a_{52} & 0 & 0 & 0
\end{vmatrix}.
\]
\end{problem}

\begin{problem}
已知 $f(x)=\begin{vmatrix}x & 1 & 1 & 2\\
1 & x & 1 & -1\\
3 & 2 & x & 1\\
1 & 1 & 2x & 1
\end{vmatrix}$, 求 $x^{3}$ 的系数.
\end{problem}

\begin{problem}
求出行列式 
\[
\begin{vmatrix}5x & 1 & 2 & 3\\
x & x & 1 & 2\\
1 & 2 & x & 3\\
x & 1 & 2 & 2x
\end{vmatrix}
\]
包含 $x^{4}$ 和 $x^{3}$ 的项.
\end{problem}

\end{frame}