\section{行列式的性质与计算}

\subsection{行列式的计算}
\begin{frame}{行列式的计算}

按照 $n$ 阶行列式的定义, 
\[
\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}=\sum_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}(-1)^{N(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\cdots a_{nj_{n}},
\]
人们很少通过上式直接计算行列式的值, 上述定义常用于理论证明, 也即仅有理论价值, 对于通常的计算大多采用行列式的性质给出. 

在本节, 我们致力于学习和理解这些计算行列式时常用的性质.
\end{frame}

\subsection{行列式的性质与计算}
\begin{frame}[allowframebreaks]{行列式的性质与计算1}

将行列式 $D$ 的\textbf{行与列互换}后得到的行列式, 称为 $D$ 的\textbf{转置行列式}, 记为 $D^{T}$
或 $D^{\prime}$, 即若 
\[
D=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix},\quad\text{ 则 }\quad D^{T}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1}\\
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}.
\]

\begin{prop}
\label{prop:1} 行列式与它的转置行列式相等, 即 $D=D^{T}$. 
\end{prop}

\begin{rem*}
由以上命题知, 行列式中的行与列具有相同的地位. 行列式的行具有的性质, 它的列也同样具有.  
\end{rem*}
\begin{example}
若 $D=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\
-1 & 0 & 1\\
0 & 1 & \sqrt{2}
\end{vmatrix}$, 则 $D^{T}=\begin{vmatrix}1 & -1 & 0\\
2 & 0 & 1\\
3 & 1 & \sqrt{2}
\end{vmatrix}=D$.
\end{example}

\end{frame}
%
\begin{frame}{行列式的性质与计算2}
\begin{thm}
<1->\label{prop:2} 交换行列式的两行 (列), 行列式变号. 
\end{thm}

\begin{cor}
<2>\label{cor:2} 若行列式中有两行 (列) 的对应元素相同, 则此行列式为零. 
\end{cor}

\end{frame}
%
\begin{frame}{行列式的性质与计算2}
\begin{example}
(1) $\begin{vmatrix}1 & 2 & 1\\
0 & 1 & -1\\
2 & -1 & 0
\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}0 & 1 & -1\\
1 & 2 & 1\\
2 & -1 & 0
\end{vmatrix}$, (第一、二行互换). 

(2) $\begin{vmatrix}1 & 2 & 1\\
0 & 1 & -1\\
2 & -1 & 0
\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}1 & 1 & 2\\
0 & -1 & 1\\
2 & 0 & -1
\end{vmatrix}$, (第二、 三列互换).

(3) $\begin{vmatrix}1 & 1 & 0\\
1 & 1 & 0\\
5 & \sqrt{2} & 7
\end{vmatrix}=0$, (第一、二两行相等).

(4) $\begin{vmatrix}-2 & 1 & 1\\
4 & 2 & 2\\
7 & -3 & -3
\end{vmatrix}=0$, (第二、三列相等).
\end{example}

\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{行列式的性质与计算2 - 应用}
\begin{thm*}[求直线的方程]
 已知平面上两点的坐标 $A(x_{A},y_{A})$, $B(x_{B},y_{B})$, 则由 $A,B$ 确定的直线方程满足
\[
\begin{vmatrix}x & y & 1\\
x_{A} & y_{A} & 1\\
x_{B} & y_{B} & 1
\end{vmatrix}=0.
\]
\end{thm*}
%
\begin{thm*}[求平面的方程]
 已知空间中不共线三点 $A,B,C$ 的坐标分别为 $\left(x_{A},y_{A},z_{A}\right)$, $\left(x_{B},y_{B},z_{B}\right)$,
$\left(x_{C},y_{C},z_{C}\right)$, 则由 $A,B,C$ 确定的平面方程为
\[
\begin{vmatrix}x & y & z & 1\\
x_{A} & y_{A} & z_{A} & 1\\
x_{B} & y_{B} & z_{B} & 1\\
x_{C} & y_{C} & z_{C} & 1
\end{vmatrix}=0.
\]
\end{thm*}
%
\begin{thm*}[求圆的方程]
 已知平面上三点的坐标 $A(x_{A},y_{A})$, $B(x_{B},y_{B})$, $C(x_{C},y_{C})$,
则过 $A,B,C$ 三点的圆的方程为
\[
\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2} & x & y & 1\\
x_{A}^{2}+y_{A}^{2} & x_{A} & y_{A} & 1\\
x_{B}^{2}+y_{B}^{2} & x_{B} & y_{B} & 1\\
x_{C}^{2}+y_{C}^{2} & x_{C} & y_{C} & 1
\end{vmatrix}=0.
\]
\end{thm*}
%
\begin{problem*}
多少个点能够确定圆锥曲线的方程?
\end{problem*}
\begin{itemize}
\item 使用行列式求曲线方程能否避免解方程. (思考前面小节的作业 \ref{prob:inter})
\end{itemize}
\end{frame}
%
\begin{frame}{行列式的性质与计算3}
\begin{prop}
\label{prop:3} 用数 $k$ 乘行列式的某一行 (列), 等于用数 $k$ 乘此行列式, 即 
\[
D_{1}=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
ka_{i1} & ka_{i2} & \cdots & ka_{in}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}=kD.
\]
\end{prop}

第 $i$ 行 (列) 乘以 $k$, 记为 $r_{i}\times k$ (或 $c_{i}\times k$).
\end{frame}
%
\begin{frame}{行列式的性质与计算3}
\begin{cor}
\label{cor:3-1} 行列式的某一行 (列) 中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 
\end{cor}

\begin{cor}
如果行列式中某行 (列) 的元素全为零, 则此行列式为零.
\end{cor}

\begin{cor}
\label{cor:3-2} 行列式中若有两行 (列) 元素成比例, 则此行列式为零. 
\end{cor}

\end{frame}
%
\begin{frame}{行列式的性质与计算3}
\begin{example}
(1) $\begin{vmatrix}1 & -1 & 2\\
0 & 1 & 5\\
\sqrt{2} & -\sqrt{2} & 2\sqrt{2}
\end{vmatrix}=0$ 因为第三行是第一行的 $\sqrt{2}$ 倍. 

(2) $\begin{vmatrix}1 & 4 & 1 & 0\\
2 & 8 & 3 & 5\\
0 & 0 & 1 & 4\\
-1 & -4 & -5 & 7
\end{vmatrix}=0$ 因为第一列与第二列成比例, 即第二列是第一列的 $4$ 倍.
\end{example}

\end{frame}
%
\begin{frame}{行列式的性质与计算3}
\begin{example}
若 $D=\begin{vmatrix}1 & 0 & 2\\
3 & -1 & 0\\
1 & 2 & -1
\end{vmatrix}$, 则 $\begin{vmatrix}-2 & 0 & -4\\
3 & -1 & 0\\
1 & 2 & -1
\end{vmatrix}=(-2)\begin{vmatrix}1 & 0 & 2\\
3 & -1 & 0\\
1 & 2 & -1
\end{vmatrix}=-2D$.

又
\[
\begin{vmatrix}4 & 0 & 2\\
12 & -1 & 0\\
4 & 2 & -1
\end{vmatrix}=4\begin{vmatrix}1 & 0 & 2\\
3 & -1 & 0\\
1 & 2 & -1
\end{vmatrix}=4D\text{. }
\]
\end{example}

\end{frame}
%
\begin{frame}{行列式的性质与计算3}
\begin{example}
设 $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}=1$, 求 $\begin{vmatrix}6a_{11} & -2a_{12} & -10a_{13}\\
-3a_{21} & a_{22} & 5a_{23}\\
-3a_{31} & a_{32} & 5a_{33}
\end{vmatrix}$.
\end{example}

\begin{sol*}
<2>利用行列式性质, 有 
\[
\begin{aligned}\begin{vmatrix}6a_{11} & -2a_{12} & -10a_{13}\\
-3a_{21} & a_{22} & 5a_{23}\\
-3a_{31} & a_{32} & 5a_{33}
\end{vmatrix} & =-2\begin{vmatrix}-3a_{11} & a_{12} & 5a_{13}\\
-3a_{21} & a_{22} & 5a_{23}\\
-3a_{31} & a_{32} & 5a_{33}
\end{vmatrix}=-2\cdot(-3)\cdot5\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}\\
 & =-2\cdot(-3)\cdot5\cdot1=30.
\end{aligned}
\]
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{行列式的性质与计算3}
\begin{example}
证明奇数阶反对称行列式的值为零. 
\end{example}

\begin{rem*}
这里, 反对称行列式是满足行列式转置后所有元素变为其相反数的行列式. 换句话说, 反对称行列式具有如下形式:
\[
D=\begin{vmatrix}0 & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\
-a_{12} & 0 & a_{23} & \cdots & a_{2n}\\
-a_{13} & -a_{23} & 0 & \cdots & a_{3n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
-a_{1n} & -a_{2n} & -a_{3n} & \cdots & 0
\end{vmatrix}
\]
\end{rem*}
\begin{proof}
设反对称行列式 
\[
D=\begin{vmatrix}0 & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\
-a_{12} & 0 & a_{23} & \cdots & a_{2n}\\
-a_{13} & -a_{23} & 0 & \cdots & a_{3n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
-a_{1n} & -a_{2n} & -a_{3n} & \cdots & 0
\end{vmatrix}
\]
其中 $a_{ij}=-a_{ji}$ ($i\neq j$ 时), $a_{ij}=0$ ($i=j$ 时). 
\end{proof}
%
\begin{proof}
利用行列式性质 \ref{prop:1} 及性质 \ref{prop:3} 的推论 \ref{cor:3-1}, 有 
\[
D=D^{T}=(-1)^{n}\begin{vmatrix}0 & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\
-a_{12} & 0 & a_{23} & \cdots & a_{2n}\\
-a_{13} & -a_{23} & 0 & \cdots & a_{3n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
-a_{1n} & -a_{2n} & -a_{3n} & \cdots & 0
\end{vmatrix}=(-1)^{n}D,
\]
当 $n$ 为奇数时有 $D=-D$, 即 $D=0$.
\end{proof}
\end{frame}
%
\begin{frame}{行列式的性质与计算4}
\begin{prop}[行列式分解]
\label{prop:4} 若行列式的某一行 (列) 的元素都是两数之和, 例如, \vspace{-4mm}
\[
D=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
b_{i1}+c_{i1} & b_{i2}+c_{i2} & \cdots & b_{in}+c_{in}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
\]
则 \vspace{-4mm}
\[
D=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
c_{i1} & c_{i2} & \cdots & c_{in}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}=D_{1}+D_{2}.
\]
\end{prop}

\end{frame}
%
\begin{frame}{行列式的性质与计算4}
\begin{example}
(1) $\begin{vmatrix}2 & 3\\
1 & 1
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1+1 & 3+0\\
1 & 1
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 3\\
1 & 1
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1 & 0\\
1 & 1
\end{vmatrix}$;

(2) $\begin{vmatrix}1 & 1+\sqrt{2} & 5\\
0 & 3-2 & 7\\
2 & -1-\sqrt{2} & -1
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 1+(\sqrt{2}) & 5\\
0 & 3+(-2) & 7\\
2 & -1+(-\sqrt{2}) & -1
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 1 & 5\\
0 & 3 & 7\\
2 & -1 & -1
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1 & \sqrt{2} & 5\\
0 & -2 & 7\\
2 & -\sqrt{2} & -1
\end{vmatrix}$.
\end{example}

\end{frame}
%
\begin{frame}{行列式的性质与计算4}
\begin{example}
因为 $\begin{vmatrix}3+1 & 2-2\\
-1+2 & 3+0
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}4 & 0\\
1 & 3
\end{vmatrix}=12$, 而 $\begin{vmatrix}3 & 2\\
-1 & 3
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1 & -2\\
2 & 0
\end{vmatrix}=(9+2)+(0+4)=15$. 

因此 
\[
\begin{vmatrix}3+1 & 2-2\\
-1+2 & 3+0
\end{vmatrix}\neq\begin{vmatrix}3 & 2\\
-1 & 3
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1 & -2\\
2 & 0
\end{vmatrix}.
\]
\end{example}

\begin{rem*}
一般来说下式是不成立的 
\[
\begin{vmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12}\\
a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22}
\end{vmatrix}\neq\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}b_{11} & b_{12}\\
b_{21} & b_{22}
\end{vmatrix}.
\]
\end{rem*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{行列式的性质与计算5}
\begin{prop}
\label{prop:5} 将行列式的某一行 (列) 的所有元素都乘以数 $k$ 后加到另一行 (列) 对应位置的元素上, 行列式不变. 
\end{prop}

\begin{rem}
以数 $k$ 乘第 $j$ 行加到第 $i$ 行上, 记作 
\[
r_{i}+kr_{j};
\]
以数 $k$ 乘第 $j$ 列加到第 $i$ 列上, 记作 
\[
c_{i}+kc_{j}.
\]
助记: $r$ 表示单词 row 的首字母, $c$ 表示 column 的首字母.
\end{rem}

\end{frame}
%
\begin{frame}{行列式的性质与计算5}
\begin{example}
(1) $\begin{vmatrix}1 & 3 & -1\\
1 & 4 & -1\\
2 & 3 & 1
\end{vmatrix}\xlongequal{r_{2}-r_{1}}\begin{vmatrix}1 & 3 & -1\\
0 & 1 & 0\\
2 & 3 & 1
\end{vmatrix}$, 上式表示第一行乘以 $-1$ 后加第二行上去, 其值不变. 

(2) $\begin{vmatrix}1 & 3 & -1\\
1 & 4 & -1\\
2 & 3 & 1
\end{vmatrix}\xlongequal{c_{3}+c_{1}}\begin{vmatrix}1 & 3 & 0\\
1 & 4 & 0\\
2 & 3 & 3
\end{vmatrix}$, 上式表示第一列乘以 $1$ 后加到第三列上去, 其值不变.
\end{example}

\end{frame}
%
\begin{frame}{行列式的性质与计算5}
\begin{example}
计算行列式 $D=\begin{vmatrix}3 & 6 & 12\\
2 & -3 & 0\\
5 & 1 & 2
\end{vmatrix}$. 
\end{example}

\begin{overprint}
\onslide<2> 
\begin{sol*}
先将第一行的公因子 $3$ 提出来: 
\[
\begin{vmatrix}3 & 6 & 12\\
2 & -3 & 0\\
5 & 1 & 2
\end{vmatrix}=3\begin{vmatrix}1 & 2 & 4\\
2 & -3 & 0\\
5 & 1 & 2
\end{vmatrix},
\]
\end{sol*}
\onslide<3> 
\begin{sol*}
再计算 
\begin{align*}
D & =3\begin{vmatrix}1 & 2 & 4\\
2 & -3 & 0\\
5 & 1 & 2
\end{vmatrix}=3\begin{vmatrix}1 & 2 & 4\\
0 & -7 & -8\\
0 & -9 & -18
\end{vmatrix}=27\begin{vmatrix}1 & 2 & 4\\
0 & 7 & 8\\
0 & 1 & 2
\end{vmatrix}=54\begin{vmatrix}1 & 2 & 2\\
0 & 7 & 4\\
0 & 1 & 1
\end{vmatrix}=54\begin{vmatrix}1 & 0 & 2\\
0 & 3 & 4\\
0 & 0 & 1
\end{vmatrix}\\
 & =54\times3=162.
\end{align*}
\end{sol*}
\end{overprint}
\end{frame}
%
\begin{frame}{行列式的性质与计算5}
\begin{example}
计算 $D=\begin{vmatrix}3 & 1 & -1 & 2\\
-5 & 1 & 3 & -4\\
2 & 0 & 1 & -1\\
1 & -5 & 3 & -3
\end{vmatrix}$.
\end{example}

\begin{overprint}
\onslide<2> 
\begin{sol*}
\[
\begin{aligned}D & \xlongequal{c_{1}\leftrightarrow c_{2}}-\begin{vmatrix}1 & 3 & -1 & 2\\
1 & -5 & 3 & -4\\
0 & 2 & 1 & -1\\
-5 & 1 & 3 & -3
\end{vmatrix}\xlongequal{\substack{r_{2}-r_{1}\\
r_{4}+5r_{1}
}
}-\begin{vmatrix}1 & 3 & -1 & 2\\
0 & -8 & 4 & -6\\
0 & 2 & 1 & -1\\
0 & 16 & -2 & 7
\end{vmatrix}\end{aligned}
\]
\end{sol*}
\onslide<3> 
\begin{sol*}
\[
\begin{aligned}D & {\color{gray}\xlongequal{c_{1}\leftrightarrow c_{2}}-\begin{vmatrix}1 & 3 & -1 & 2\\
1 & -5 & 3 & -4\\
0 & 2 & 1 & -1\\
-5 & 1 & 3 & -3
\end{vmatrix}\xlongequal{\substack{r_{2}-r_{1}\\
r_{4}+5r_{1}
}
}-\begin{vmatrix}1 & 3 & -1 & 2\\
0 & -8 & 4 & -6\\
0 & 2 & 1 & -1\\
0 & 16 & -2 & 7
\end{vmatrix}}\\
 & \xlongequal{r_{2}\leftrightarrow r_{3}}\begin{vmatrix}1 & 3 & -1 & 2\\
0 & 2 & 1 & -1\\
0 & -8 & 4 & -6\\
0 & 16 & -2 & 7
\end{vmatrix}\xlongequal[r_{4}-8r_{2}]{r_{3}+4r_{2}}\begin{vmatrix}1 & 3 & -1 & 2\\
0 & 2 & 1 & -1\\
0 & 0 & 8 & -10\\
0 & 0 & -10 & 15
\end{vmatrix}
\end{aligned}
\]
\end{sol*}
\onslide<4> 
\begin{sol*}
\[
\begin{aligned}D & {\color{gray}\xlongequal{r_{2}\leftrightarrow r_{3}}\begin{vmatrix}1 & 3 & -1 & 2\\
0 & 2 & 1 & -1\\
0 & -8 & 4 & -6\\
0 & 16 & -2 & 7
\end{vmatrix}\xlongequal[r_{4}-8r_{2}]{r_{3}+4r_{2}}\begin{vmatrix}1 & 3 & -1 & 2\\
0 & 2 & 1 & -1\\
0 & 0 & 8 & -10\\
0 & 0 & -10 & 15
\end{vmatrix}}\\
 & \xlongequal{r_{4}+\frac{5}{4}r_{3}}\begin{vmatrix}1 & 3 & -1 & 2\\
0 & 2 & 1 & -1\\
0 & 0 & 8 & -10\\
0 & 0 & 0 & 5/2
\end{vmatrix}=40.
\end{aligned}
\]
\end{sol*}
\end{overprint}
\end{frame}
%
\begin{frame}{行列式的性质与计算5}
\begin{example}
计算 $D=\begin{vmatrix}3 & 1 & 1 & 1\\
1 & 3 & 1 & 1\\
1 & 1 & 3 & 1\\
1 & 1 & 1 & 3
\end{vmatrix}$. 
\end{example}

\begin{sol*}
<2>
\begin{align*}
D & \xlongequal{r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}}\left|\begin{array}{llll}
6 & 6 & 6 & 6\\
1 & 3 & 1 & 1\\
1 & 1 & 3 & 1\\
1 & 1 & 1 & 3
\end{array}\right|=6\left|\begin{array}{llll}
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 3 & 1 & 1\\
1 & 1 & 3 & 1\\
1 & 1 & 1 & 3
\end{array}\right|\\
 & \xlongequal[r_{4}-r_{1}]{\substack{r_{2}-r_{1}\\
r_{3}-r_{1}
}
}6\left|\begin{array}{llll}
1 & 1 & 1 & 1\\
0 & 2 & 0 & 0\\
0 & 0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0 & 2
\end{array}\right|=48.
\end{align*}
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{行列式的性质与计算5}
\begin{rem*}
仿照上述方法可得到更一般的结果:
\[
\left|\begin{array}{rrrrr}
a & b & b & \cdots & b\\
b & a & b & \cdots & b\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
b & b & b & \cdots & a
\end{array}\right|=[a+(n-1)b](a-b)^{n-1}.
\]
\end{rem*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{行列式的性质与计算5}
\begin{example}
计算 $\begin{vmatrix}a_{1} & -a_{1} & 0 & 0\\
0 & a_{2} & -a_{2} & 0\\
0 & 0 & a_{3} & -a_{3}\\
1 & 1 & 1 & 1
\end{vmatrix}$. 
\end{example}

\begin{sol*}
根据行列式的特点, 可将第 $1$ 列加至第 $2$ 列, 然后将第 $2$ 列加至第 $3$ 列, 再将第 $3$ 列加至第
$4$ 列, 目的是使 $D_{4}$ 中的零元素增多. 
\[
\begin{aligned}D_{4} & \xlongequal{c_{2}+c_{1}}\begin{vmatrix}a_{1} & 0 & 0 & 0\\
0 & a_{2} & -a_{2} & 0\\
0 & 0 & a_{3} & -a_{3}\\
1 & 2 & 1 & 1
\end{vmatrix}\xlongequal{c_{3}+c_{2}}\begin{vmatrix}a_{1} & 0 & 0 & 0\\
0 & a_{2} & 0 & 0\\
0 & 0 & a_{3} & -a_{3}\\
1 & 2 & 3 & 1
\end{vmatrix}\\
 & \xlongequal{c_{4}+c_{3}}\begin{vmatrix}a_{1} & 0 & 0 & 0\\
0 & a_{2} & 0 & 0\\
0 & 0 & a_{3} & 0\\
1 & 2 & 3 & 4
\end{vmatrix}=4a_{1}a_{2}a_{3}.
\end{aligned}
\]
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{行列式的性质与计算5}
\begin{example}
计算 $D=\begin{vmatrix}a & b & c & d\\
a & a+b & a+b+c & a+b+c+d\\
a & 2a+b & 3a+2b+c & 4a+3b+2c+d\\
a & 3a+b & 6a+3b+c & 10a+6b+3c+d
\end{vmatrix}$. 
\end{example}

\begin{sol*}
<2>从第 $4$ 行开始, 后一行减前一行: 
\[
\begin{aligned}D & \xlongequal[r_{2}-r_{1}]{\substack{r_{4}-r_{3}\\
r_{3}-r_{2}
}
}\begin{vmatrix}a & b & c & d\\
0 & a & a+b & a+b+c\\
0 & a & 2a+b & 3a+2b+c\\
0 & a & 3a+b & 6a+3b+c
\end{vmatrix}\xlongequal[r_{3}-r_{2}]{r_{4}-r_{3}}\begin{vmatrix}a & b & c & d\\
0 & a & a+b & a+b+c\\
0 & 0 & a & 2a+b\\
0 & 0 & a & 3a+b
\end{vmatrix}.\\
 & \xlongequal{r_{4}-r_{3}}\begin{vmatrix}a & b & c & d\\
0 & a & a+b & a+b+c\\
0 & 0 & a & 2a+b\\
0 & 0 & 0 & a
\end{vmatrix}=a^{4}.
\end{aligned}
\]
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{行列式的性质与计算5}
\begin{example}[书本例 8 的其它证法]
\label{exa:laplace} 设 $D=\begin{vmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1k} & 0 & \cdots & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{k1} & \cdots & a_{kk} & 0 & \cdots & 0\\
c_{11} & \cdots & c_{1k} & b_{11} & \cdots & b_{1n}\\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
c_{n1} & \cdots & c_{nk} & b_{n1} & \cdots & b_{nn}
\end{vmatrix}$, $D_{1}=\mathrm{det}(a_{ij})=\begin{vmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1k}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
a_{k1} & \cdots & a_{kk}
\end{vmatrix}$, $D_{2}=\mathrm{det}(b_{ij})=\begin{vmatrix}b_{11} & \cdots & b_{1n}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
b_{n1} & \cdots & b_{nn}
\end{vmatrix}$, 证明: $D=D_{1}D_{2}$. 
\end{example}

\begin{proof}
对 $D_{1}$ 作运算 $r_{i}+kr_{j}$, 对 $D_{2}$ 作运算 $c_{i}+kc_{j}$, 可分别把
$D_{1}$ 和 $D_{2}$ 化为下三角形行列式. 
\[
D_{1}=\begin{vmatrix}p_{11} & \cdots & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
p_{k1} & \cdots & p_{kk}
\end{vmatrix}=p_{11}\cdots p_{kk};\ D_{2}=\begin{vmatrix}q_{11} & \cdots & 0\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
q_{n1} & \cdots & q_{nn}
\end{vmatrix}=q_{11}\cdots q_{nn}\cdot
\]
对 $D$ 的前 $k$ 行作与对 $D_{1}$ 相同的运算 $r_{i}+kr_{j}$, 再对后 $n$ 列作与对
$D_{2}$ 相同的运算 $c_{i}+kc_{j}$, 即把 $D$ 化为下三角形行列式, 且 $D=p_{11}\cdots p_{kk}\cdot q_{11}\cdots q_{nn}=D_{1}D_{2}$,
证毕.
\end{proof}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{行列式的性质与计算5}
\begin{example}
解方程 $\begin{vmatrix}a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n-1} & a_{n}\\
a_{1} & a_{1}+a_{2}-x & a_{3} & \cdots & a_{n-1} & a_{n}\\
a_{1} & a_{2} & a_{2}+a_{3}-x & \cdots & a_{n-1} & a_{n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n-2}+a_{n-1}-x & a_{n}\\
a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n-1} & a_{n-1}+a_{n}-x
\end{vmatrix}=0$. 
\end{example}

\begin{sol*}
从第二行开始每一行都减去第一行得\vspace{-4mm} 
\begin{align*}
\begin{vmatrix}a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n-1} & a_{n}\\
0 & a_{1}-x & 0 & \cdots & 0 & 0\\
0 & 0 & a_{2}-x & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n-2}-x & 0\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{n-1}-x
\end{vmatrix}\\
\qquad\qquad=a_{1}\left(a_{1}-x\right)\left(a_{2}-x\right)\cdots\left(a_{n-2}-x\right)\left(a_{n-1}-x\right),
\end{align*}
由 $a_{1}\left(a_{1}-x\right)\left(a_{2}-x\right)\cdots\left(a_{n-2}-x\right)\left(a_{n-1}-x\right)=0$,
解得方程的 $n-1$ 个根:
\[
x_{1}=a_{1},\ x_{2}=a_{2},\cdots,\ x_{n-2}=a_{n-2},\ x_{n-1}=a_{n-1}.
\]
\end{sol*}
\begin{rem*}
事实上, 根据 $n$ 阶行列式的定义, 方程左边的行列式是 $x$ 的多项式, 且次数不超过 $x$ 出现的行数 (或列数),
也即: 所解的方程最多是个 $(n-1)$ 次方程. 结合推论 \ref{cor:2} 并观察行列式的结构和规律可以猜到 $x_{1}=a_{1}$,
$x_{2}=a_{2}$, ..., $x_{n-2}=a_{n-2}$, $x_{n-1}=a_{n-1}$ 是方程的 $(n-1)$
个解, 解数恰等于方程次数的上界 $(n-1)$, 所以方程的解已经解出.
\end{rem*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{行列式的计算}

\textbf{在计算行列式时}, 常把它化为三角形行列式来计算. 以化为\textbf{上三角形行列式}为例, 其步骤是:
\begin{enumerate}
\item 如果第一列第一个元素为 $0$, 先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为 $0$; 
\item 然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行, 使得第一列除第一个元素外其余元素全为 $0$;
\item 再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式, 如此继续下去, 直至使它成为\textbf{上三角形行列式}, 这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.
\end{enumerate}
\end{frame}
%

\subsection{作业}
\begin{frame}[allowframebreaks]{作业}
\begin{xca}
计算下列行列式 

(1). $\begin{vmatrix}0 & -1 & -1 & 2\\
1 & -1 & 0 & 2\\
-1 & 2 & -1 & 0\\
2 & 1 & 1 & 0
\end{vmatrix}$; (2). $\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & 1\\
1 & 1 & -1 & 1\\
1 & 1 & 1 & -1
\end{vmatrix}$; (3). $\begin{vmatrix}0 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 1 & 0
\end{vmatrix}$; 

(4). $\begin{vmatrix}2 & -5 & 1 & 2\\
-3 & 7 & -1 & 4\\
5 & -9 & 2 & 7\\
4 & -6 & 1 & 2
\end{vmatrix}$; (5). $\begin{vmatrix}-3 & 9 & 3 & 6\\
-5 & 8 & 2 & 7\\
4 & -5 & -3 & -2\\
7 & -8 & -4 & -5
\end{vmatrix}$; (6). $\begin{vmatrix}3 & -3 & -5 & 8\\
-3 & 2 & 4 & -6\\
2 & -5 & -7 & 5\\
-4 & 3 & 5 & -6
\end{vmatrix}$.
\end{xca}

\begin{xca}
不展开而计算行列式: 
\[
\begin{vmatrix}a & b & c & 1\\
b & c & a & 1\\
c & a & b & 1\\
\frac{b+c}{2} & \frac{c+a}{2} & \frac{a+b}{2} & 1
\end{vmatrix}.
\]
\end{xca}

\begin{xca}
不展开行列式证明下列恒等式: 
\[
\begin{vmatrix}0 & x & y & z\\
x & 0 & z & y\\
y & z & 0 & x\\
z & y & x & 0
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0 & 1 & 1 & 1\\
1 & 0 & z^{2} & y^{2}\\
1 & z^{2} & 0 & x^{2}\\
1 & y^{2} & x^{2} & 0
\end{vmatrix}.
\]
(\textbf{Hint:} 分别用 $yz$, $xz$ 和 $xy$ 乘等式左边行列式的第二, 第三和第四列.)
\end{xca}

\begin{xca}
如果 $\begin{vmatrix}x & y & z\\
3 & 0 & 2\\
1 & 1 & 1
\end{vmatrix}=1$, 计算下面各行列式之值: 

(1). $\begin{vmatrix}2x & 2y & 2z\\
\frac{3}{2} & 0 & 1\\
1 & 1 & 1
\end{vmatrix}$; (2). $\begin{vmatrix}x & y & z\\
3x+3 & 3y & 3z+2\\
x+1 & y+1 & z+1
\end{vmatrix}$; (3). $\begin{vmatrix}x-1 & y-1 & z-1\\
4 & 1 & 3\\
1 & 1 & 1
\end{vmatrix}$.
\end{xca}

\begin{xca}
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵, $\alpha$ 为 $n\times1$ 矩阵, $\beta$ 为 $1\times n$
矩阵, 且 $\begin{vmatrix}A & \alpha\\
\beta & b
\end{vmatrix}=0$. 求证: $\begin{vmatrix}A & \alpha\\
\beta & c
\end{vmatrix}=(c-b)\mathrm{det}A$.
\end{xca}

\begin{xca}
证明如下行列式:

(1). 
\[
\begin{vmatrix}a & b & c & d\\
-b & a & d & -c\\
-c & -d & a & b\\
-d & c & -b & a
\end{vmatrix}=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)^{2};
\]

(2).
\[
\begin{vmatrix}0 & 1 & 1 & a\\
1 & 0 & 1 & b\\
1 & 1 & 0 & c\\
a & b & c & d
\end{vmatrix}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab-2bc-2ac+2d.
\]
\end{xca}

\begin{xca}
计算 $n$ 阶行列式 $\begin{vmatrix}a & b & b & \cdots & b\\
b & a & b & \cdots & b\\
b & b & a & \cdots & b\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
b & b & b & \cdots & a
\end{vmatrix}$.
\end{xca}

\begin{xca}
设 $n$ 阶行列式 $\mathrm{det}A$ 的元素 $a_{ij}$ 都是变数 $t$ 的可微函数. 试证明行列式的微分可如下计算: 

(1) $\frac{\mathrm{d}(\mathrm{det}A)}{\mathrm{d}t}=\mathrm{det}A_{1}+\cdots+\mathrm{det}A_{n}$,
其中 $A_{i}$ 为对 $A$ 的第 $i$ 行微分 (其余行不变) 所得方阵 $(i=1,\cdots,n)$; 

(2) $\frac{\mathrm{d}(\mathrm{det}A)}{\mathrm{d}t}=\sum_{i,j=1}^{n}\frac{\mathrm{d}a_{ij}(t)}{\mathrm{d}t}A_{ij}(t)$.
\end{xca}

\end{frame}