\section{\label{sec:4}行列式按行 (列) 展开}

\subsection{行列式按一行 (列) 展开}
\begin{frame}{余子式与代数余子式}
\begin{defn}
在 $n$ 阶行列式 $D$ 中, 去掉元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列后, 余下的 $n-1$
阶行列式, 称为 $D$ 中\textbf{元素 $a_{ij}$ 的余子式}, 记为 $M_{ij}$, 再记 
\[
A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}
\]
称 $A_{ij}$ 为\textbf{元素 $a_{ij}$ 的代数余子式}.
\end{defn}

\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{行列式的计算}
\begin{example}
\label{exa:1.4-1} 设有 $5$ 阶行列式: $D=\begin{vmatrix}1 & 0 & -1 & 3 & 1\\
0 & 2 & -5 & 4 & 1\\
3 & -2 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2 & 1 & 3\\
1 & 3 & -1 & 5 & 1
\end{vmatrix}$. 

(1). $a_{11}=1$, 其余子式 $M_{11}=\begin{vmatrix}2 & -5 & 4 & 1\\
-2 & -1 & 1 & 0\\
0 & 2 & 1 & 3\\
3 & -1 & 5 & 1
\end{vmatrix}$, 其代数余子式 
\[
A_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=(-1)^{2}M_{11}=M_{11}\text{. }
\]
\end{example}

\begin{example*}[\ref{exa:1.4-1}]
设有 $5$ 阶行列式: $D=\begin{vmatrix}1 & 0 & -1 & 3 & 1\\
0 & 2 & -5 & 4 & 1\\
3 & -2 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2 & 1 & 3\\
1 & 3 & -1 & 5 & 1
\end{vmatrix}$. 

(2). $a_{34}=1$, 其余子式 $M_{34}=\begin{vmatrix}1 & 0 & -1 & 1\\
0 & 2 & -5 & 1\\
0 & 0 & 2 & 3\\
1 & 3 & -1 & 1
\end{vmatrix}$, 其代数余子式 
\[
A_{34}=(-1)^{3+4}M_{34}=(-1)^{7}M_{34}=-M_{34}.
\]
\end{example*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{行列式按一行 (列) 展开}
\begin{lem}
一个 $n$ 阶行列式 $D$, 若其中第 $i$ 行所有元素除 $a_{ij}$ 外都为零, 则该行列式等于 $a_{ij}$
与它的代数余子式的乘积, 即 
\[
D=a_{ij}A_{ij}.
\]
\end{lem}

\begin{thm}
行列式\vspace{-4mm}
\[
D=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
\]
等于它的任一行 (列) 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即 \vspace{-3mm}
\[
D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in},\qquad(i=1,2,\cdots,n),
\]
或 \vspace{-3mm}
\[
D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj},\qquad(j=1,2,\cdots,n).
\]
\end{thm}

\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{不同行 (列) 的元素与代数余子式的线性组合}
\begin{cor}
\label{cor:1.4-1} 行列式某一行 (列) 的元素与另一行 (列) 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即: 
\[
a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn}=0,\qquad i\neq j,
\]
或 
\[
a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+\cdots+a_{ni}A_{nj}=0,\qquad i\neq j.
\]
\end{cor}

\begin{cor*}[\ref{cor:1.4-1}]
 综上所述, 可得到有关代数余子式的一个重要性质: 
\[
\sum_{k=1}^{n}a_{ki}A_{kj}=D\delta_{ij}=\begin{cases}
D, & \text{ 当 }i=j,\\
0, & \text{ 当 }i\neq j;
\end{cases}
\]
或
\[
\sum_{k=1}^{n}a_{ik}A_{jk}=D\delta_{ij}=\begin{cases}
D, & \text{ 当 }i=j,\\
0, & \text{ 当 }i\neq j.
\end{cases}
\]
其中, $\delta_{ij}=\begin{cases}
1, & i=j\\
0, & i\neq j
\end{cases}$ 为 Kronecker 符号.
\end{cor*}
\end{frame}

\subsection{行列式的计算}
\begin{frame}{行列式的计算}

直接应用按行 (列) 展开法则计算行列式, 运算量较大, 尤其是高阶行列式. 因此, 计算行列式时, 一般可先用行列式的性质将行列式中某一行
(列) 化为仅含有一个非零元素, 再按此行 (列) 展开, 化为低一阶的行列式, 如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.
\end{frame}
%
\begin{frame}{行列式的计算}
\begin{example}
求行列式的值: $\begin{vmatrix}2 & -1 & 3\\
-1 & 2 & 1\\
4 & 1 & 2
\end{vmatrix}$.
\end{example}

\begin{sol*}
按第一列展开行列式
\begin{align*}
\begin{vmatrix}2 & -1 & 3\\
-1 & 2 & 1\\
4 & 1 & 2
\end{vmatrix} & =2\times\begin{vmatrix}2 & 1\\
1 & 2
\end{vmatrix}-(-1)\times\begin{vmatrix}-1 & 3\\
1 & 2
\end{vmatrix}+4\times\begin{vmatrix}-1 & 3\\
2 & 1
\end{vmatrix}\\
 & =2(4-1)+(-2-3)+4(-1-6)=6-5-28=-27.
\end{align*}
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{行列式的计算}
\begin{example}
求行列式的值: $\begin{vmatrix}3 & 2 & 7\\
0 & 5 & 2\\
0 & 2 & 1
\end{vmatrix}$.

\pause{}

\end{example}

\begin{sol*}
按第一列展开行列式
\[
\begin{vmatrix}3 & 2 & 7\\
0 & 5 & 2\\
0 & 2 & 1
\end{vmatrix}=3\times\begin{vmatrix}5 & 2\\
2 & 1
\end{vmatrix}=3(5-4)=3.
\]
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{行列式的计算}
\begin{example}
试按第三列展开计算行列式 $D=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\
1 & 0 & 1 & 2\\
3 & -1 & -1 & 0\\
1 & 2 & 0 & -5
\end{vmatrix}$. 

\pause{}

\end{example}

\begin{sol*}
将 $D$ 按第三列展开, 则有 $D=a_{13}A_{13}+a_{23}A_{23}+a_{33}A_{33}+a_{43}A_{43}$,
其中 $a_{13}=3$, $a_{23}=1$, $a_{33}=-1$, $a_{43}=0$, 
\[
\begin{aligned}A_{13}=(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}1 & 0 & 2\\
3 & -1 & 0\\
1 & 2 & -5
\end{vmatrix}=19, & A_{23}=(-1)^{2+3}\begin{vmatrix}1 & 2 & 4\\
3 & -1 & 0\\
1 & 2 & -5
\end{vmatrix}=-63\text{, }\\
A_{33}=(-1)^{3+3}\begin{vmatrix}1 & 2 & 4\\
1 & 0 & 2\\
1 & 2 & -5
\end{vmatrix}=18, & A_{43}=(-1)^{4+3}\begin{vmatrix}1 & 2 & 4\\
1 & 0 & 2\\
3 & -1 & 0
\end{vmatrix}=-10,
\end{aligned}
\]
所以 $D=3\times19+1\times(-63)+(-1)\times18+0\times(-10)=-24$.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{代数余子式的线性组合}
\begin{example}
已知 $4$ 阶行列式 
\[
D=\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 3\\
2 & 1 & 3 & 4\\
3 & 0 & -1 & 0\\
4 & 6 & 3 & 8
\end{vmatrix},
\]
试求其第二行元素的代数余子式之和, 即求 
\[
S=A_{21}+A_{22}+A_{23}+A_{24}.
\]

\pause{}

\end{example}

\begin{sol*}[解法一]
由于
\[
D=\begin{vmatrix}{\color{magenta}1} & {\color{magenta}1} & {\color{magenta}1} & {\color{magenta}3}\\
2 & 1 & 3 & 4\\
3 & 0 & -1 & 0\\
4 & 6 & 3 & 8
\end{vmatrix},
\]
用行列式的\uwave{第一行元素}与\uwave{第二行元素的代数余子式}作乘积, 其和为零 
\[
{\color{magenta}1}\cdot A_{21}+{\color{magenta}1}\cdot A_{22}+{\color{magenta}1}\cdot A_{23}+{\color{magenta}3}\cdot A_{24}=0.
\]
所以 
\[
\begin{aligned}S & =A_{21}+A_{22}+A_{23}+A_{24}=-2\cdot A_{24}\\
 & =-2\cdot(-1)^{2+4}\begin{vmatrix}1 & 1 & 1\\
3 & 0 & -1\\
4 & 6 & 3
\end{vmatrix}=-22.
\end{aligned}
\]
\end{sol*}
%
\begin{sol*}[解法二]
由于 
\[
\begin{aligned}D & =\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 3\\
{\color{magenta}2} & {\color{magenta}1} & {\color{magenta}3} & {\color{magenta}4}\\
2 & 0 & -1 & 0\\
4 & 6 & 3 & 8
\end{vmatrix},\end{aligned}
\]
所以
\[
S=A_{21}+A_{22}+A_{23}+A_{24}=\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 3\\
{\color{magenta}1} & {\color{magenta}1} & {\color{magenta}1} & {\color{magenta}1}\\
3 & 0 & -1 & 0\\
4 & 6 & 3 & 8
\end{vmatrix}.
\]
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{(代数) 余子式的线性组合}
\begin{example}
设 $D=\begin{vmatrix}3 & -5 & 2 & 1\\
1 & 1 & 0 & -5\\
-1 & 3 & 1 & 3\\
2 & -4 & -1 & -3
\end{vmatrix}$, $D$ 中元素 $a_{ij}$ 的余子式和代数余子式依次记作 $M_{ij}$ 和 $A_{ij}$, 求 $A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}$
及 $M_{11}+M_{21}+M_{31}+M_{41}$. 
\end{example}

\begin{sol*}
注意到 $A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}$ 等于用 $1,1,1,1$ 代替 $D$ 的第 $1$
行所得的行列式, 即 
\[
\begin{aligned}A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14} & =\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 0 & -5\\
-1 & 3 & 1 & 3\\
2 & -4 & -1 & -3
\end{vmatrix}\xlongequal[r_{3}-r_{1}]{r_{4}+r_{3}}\begin{vmatrix}{\color{blue}1} & {\color{blue}1} & \boxed{{\color{blue}1}} & {\color{blue}1}\\
1 & 1 & {\color{blue}0} & -5\\
-2 & 2 & {\color{blue}0} & 2\\
1 & -1 & {\color{blue}0} & 0
\end{vmatrix}\\
 & =\begin{vmatrix}1 & 1 & -5\\
-2 & 2 & 2\\
1 & -1 & 0
\end{vmatrix}\xlongequal{c_{2}+c_{1}}\begin{vmatrix}1 & 2 & -5\\
-2 & 0 & 2\\
\boxed{1} & 0 & 0
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2 & -5\\
0 & 2
\end{vmatrix}=4.
\end{aligned}
\]
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
又按定义知, 
\[
\begin{aligned}M_{11}+M_{21}+M_{31}+M_{41} & =A_{11}-A_{21}+A_{31}-A_{41}=\begin{vmatrix}1 & -5 & 2 & 1\\
-1 & 1 & 0 & -5\\
1 & 3 & 1 & 3\\
-1 & -4 & -1 & -3
\end{vmatrix}\\
 & \xlongequal{r_{4}+r_{3}}\begin{vmatrix}1 & {\color{blue}-5} & 2 & 1\\
-1 & {\color{blue}1} & 0 & -5\\
1 & {\color{blue}3} & 1 & 3\\
{\color{blue}0} & {\color{blue}\boxed{-1}} & {\color{blue}0} & {\color{blue}0}
\end{vmatrix}=(-1)\begin{vmatrix}1 & 2 & 1\\
-1 & 0 & -5\\
1 & 1 & 3
\end{vmatrix}\\
 & \xlongequal{r_{1}-2r_{3}}-\begin{vmatrix}-1 & 0 & -5\\
-1 & 0 & -5\\
1 & 1 & 3
\end{vmatrix}=0.
\end{aligned}
\]
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{行列式的综合计算}
\begin{example}
计算行列式 $D=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\
1 & 0 & 1 & 2\\
3 & -1 & -1 & 0\\
1 & 2 & 0 & -5
\end{vmatrix}$. 
\end{example}

\begin{sol*}
\[
\begin{aligned}D & =\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\
1 & 0 & 1 & 2\\
3 & -1 & -1 & 0\\
1 & 2 & 0 & -5
\end{vmatrix}\xlongequal[r_{4}+2r_{3}]{r_{1}+2r_{3}}\begin{vmatrix}7 & 0 & 1 & 4\\
1 & 0 & 1 & 2\\
3 & -1 & -1 & 0\\
7 & 0 & -2 & -5
\end{vmatrix}\\
 & =(-1)\times(-1)^{3+2}\begin{vmatrix}7 & 1 & 4\\
1 & 1 & 2\\
7 & -2 & -5
\end{vmatrix}\xlongequal[r_{3}+2r_{2}]{r_{1}-r_{2}}\begin{vmatrix}6 & 0 & 2\\
1 & 1 & 2\\
9 & 0 & -1
\end{vmatrix}\\
 & =1\times(-1)^{2+2}\begin{vmatrix}6 & 2\\
9 & -1
\end{vmatrix}=-6-18=-24.
\end{aligned}
\]
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{行列式的综合计算}
\begin{example}
计算行列式 $D=\begin{vmatrix}5 & 3 & -1 & 2 & 0\\
1 & 7 & 2 & 5 & 2\\
0 & -2 & 3 & 1 & 0\\
0 & -4 & -1 & 4 & 0\\
0 & 2 & 3 & 5 & 0
\end{vmatrix}$. 
\end{example}

\begin{sol*}
\[
\begin{aligned}D & =\begin{vmatrix}5 & 3 & -1 & 2 & 0\\
1 & 7 & 2 & 5 & 2\\
0 & -2 & 3 & 1 & 0\\
0 & -4 & -1 & 4 & 0\\
0 & 2 & 3 & 5 & 0
\end{vmatrix}=(-1)^{2+5}2\begin{vmatrix}5 & 3 & -1 & 2\\
0 & -2 & 3 & 1\\
0 & -4 & -1 & 4\\
0 & 2 & 3 & 5
\end{vmatrix}\\
 & =-2\cdot5\begin{vmatrix}-2 & 3 & 1\\
-4 & -1 & 4\\
2 & 3 & 5
\end{vmatrix}\xlongequal[r_{3}+r_{1}]{r_{2}+(-2)r_{1}}-10\begin{vmatrix}-2 & 3 & 1\\
0 & -7 & 2\\
0 & 6 & 6
\end{vmatrix}\\
 & =-10\cdot(-2)\begin{vmatrix}-7 & 2\\
6 & 6
\end{vmatrix}=20(-42-12)=-1080.
\end{aligned}
\]
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{行列式的综合计算}
\begin{example}
求证: $\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & n-1 & n\\
1 & 1 & 2 & 3 & \cdots & n-2 & n-1\\
1 & x & 1 & 2 & \cdots & n-3 & n-2\\
1 & x & x & 1 & \cdots & n-4 & n-3\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
1 & x & x & x & \cdots & 1 & 2\\
1 & x & x & x & \cdots & x & 1
\end{vmatrix}=(-1)^{n+1}x^{n-2}$.
\end{example}

\begin{proof}
\begin{align*}
D & \xlongequal[\substack{r_{3}-r_{4}\\
\vdots\\
r_{n-1}-r_{n}
}
]{\substack{r_{1}-r_{2}\\
r_{2}-r_{3}
}
}\left|\begin{array}{cccccc}
0 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1\\
0 & 1-x & 1 & \cdots & 1 & 1\\
0 & 0 & 1-x & \cdots & 1 & 1\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1-x & 1\\
1 & x & x & \cdots & x & 1
\end{array}\right|_{\xcancel{n\times n}}\\
 & \xlongequal[\substack{r_{3}-r_{4}\\
\vdots\\
r_{n-2}-r_{n-1}
}
]{\substack{r_{1}-r_{2}\\
r_{2}-r_{3}
}
}(-1)^{n+1}\left|\begin{array}{cccccc}
x & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
1-x & x & 0 & \cdots & 0 & 0\\
0 & 1-x & x & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & x & 0\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1-x & 1
\end{array}\right|_{\xcancel{(n-1)\times(n-1)}}\hspace{-3em}=(-1)^{n+1}x^{n-2}.
\end{align*}
\end{proof}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{Vandermonde 行列式}
\begin{example}
证明范德蒙德 (Vandermonde) 行列式 
\begin{equation}
D_{n}=\begin{vmatrix}1 & 1 & \cdots & 1\\
x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n}\\
x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{n}^{2}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1} & \cdots & x_{n}^{n-1}
\end{vmatrix}=\prod_{n\geq i>j\geq1}\left(x_{i}-x_{j}\right),\label{eq:4.2-1}
\end{equation}
其中记号 ``$\prod$'' 表示全体同类因子的乘积.
\end{example}

\begin{proof}
用数学归纳法. $D_{2}=\begin{vmatrix}1 & 1\\
x_{1} & x_{2}
\end{vmatrix}=x_{2}-x_{1}=\prod_{2\geq i>j\geq1}\left(x_{i}-x_{j}\right)$, 所以当 $n=2$ 时 (\ref{eq:4.2-1}) 式成立. 
\end{proof}
%
\begin{proof}
假设 (\ref{eq:4.2-1}) 式对于 $n-1$ 时成立, 则 \vspace{-4mm}
\[
\begin{aligned}D_{n} & =\begin{vmatrix}1 & 1 & \cdots & 1\\
x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n}\\
x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{n}^{2}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1} & \cdots & x_{n}^{n-1}
\end{vmatrix}\\
 & \xlongequal[\substack{r_{4}-x_{1}r_{3}\\
\vdots\\
r_{n}-x_{1}r_{n-1}
}
]{\substack{r_{2}-x_{1}r_{1}\\
r_{3}-x_{1}r_{2}
}
}\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & \cdots & 1\\
0 & x_{2}-x_{1} & x_{3}-x_{1} & \cdots & x_{n}-x_{1}\\
0 & x_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right) & x_{3}\left(x_{3}-x_{1}\right) & \cdots & x_{n}\left(x_{n}-x_{1}\right)\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & x_{2}^{n-2}\left(x_{2}-x_{1}\right) & x_{3}^{n-2}\left(x_{3}-x_{1}\right) & \cdots & x_{n}^{n-2}\left(x_{n}-x_{1}\right)
\end{vmatrix}.
\end{aligned}
\]
\end{proof}
%
\begin{proof}
因此

\[
\scriptsize D_{n}=\begin{vmatrix}1 & 1 & \cdots & 1\\
x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n}\\
x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{n}^{2}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1} & \cdots & x_{n}^{n-1}
\end{vmatrix}=\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(x_{3}-x_{1}\right)\cdots\left(x_{n}-x_{1}\right)\begin{vmatrix}1 & 1 & \cdots & 1\\
x_{2} & x_{3} & \cdots & x_{n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
x_{2}^{n-2} & x_{3}^{n-2} & \cdots & x_{n}^{n-2}
\end{vmatrix},
\]
由归纳假设便得
\[
D_{n}=\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(x_{3}-x_{1}\right)\cdots\left(x_{n}-x_{1}\right)\prod_{n\geq i>j\geq2}\left(x_{i}-x_{j}\right)=\prod_{n\geq i>j\geq1}\left(x_{i}-x_{j}\right).
\]
\end{proof}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{行列式的计算}
\begin{example}
计算 $2n$ 阶行列式 $D_{2n}=\begin{vmatrix}a &  &  &  &  & b\\
 & \ddots &  &  & \iddots\\
 &  & a & b\\
 &  & c & d\\
 & \iddots &  &  & \ddots\\
c &  &  &  &  & d
\end{vmatrix}$.
\end{example}

\begin{sol*}
把 $D_{2n}$ 中的第 $2n$ 行依次与第 $2n-1$ 行, $\cdots$, 第 $2$ 行对调 (作 $2n-2$
次相邻对换), 再把第 $2n$ 列依次与第 $2n-1$ 列, $\cdots$, 第 $2$ 列对调, 得 (注意使用例
\ref{exa:laplace} 的结论)\vspace{-4mm} 
\[
D_{2n}=(-1)^{2(2n-2)}\left|\begin{array}{llllllll}
a & b & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & 0\\
c & d & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & 0\\
0 & 0 & a & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & b\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 0 & 0 & \iddots & \vdots\\
\vdots & \vdots & \vdots & 0 & a & b & 0 & \vdots\\
\vdots & \vdots & \vdots & 0 & c & d & 0 & \vdots\\
\vdots & \vdots & \vdots & \iddots & 0 & 0 & \mathrm{\ddots} & \vdots\\
0 & 0 & c & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & d
\end{array}\right|.
\]
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
\[
D_{2n}=D_{1}D_{2(n-1)}=(ad-bc)D_{2(n-1)}.
\]
以此作递推公式, 得 
\[
D_{2n}=(ad-bc)D_{2(n-1)}=\cdots=(ad-bc)^{n-1}D_{2}=(ad-bc)^{n}.
\]
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{行列式的计算}
\begin{example}[{*}]
 用拉普拉斯定理求行列式 $\begin{vmatrix}2 & 3 & 0 & 0\\
1 & 2 & 3 & 0\\
0 & 1 & 2 & 3\\
0 & 0 & 1 & 2
\end{vmatrix}$ 的值. 
\end{example}

\begin{sol*}
按第一行和第二行展开 
\begin{align*}
\begin{vmatrix}2 & 3 & 0 & 0\\
1 & 2 & 3 & 0\\
0 & 1 & 2 & 3\\
0 & 0 & 1 & 2
\end{vmatrix} & =\begin{vmatrix}2 & 3\\
1 & 2
\end{vmatrix}\times(-1)^{1+2+1+2}\begin{vmatrix}2 & 3\\
1 & 2
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2 & 0\\
1 & 3
\end{vmatrix}\times(-1)^{1+2+1+3}\begin{vmatrix}1 & 3\\
0 & 2
\end{vmatrix}\\
 & \qquad+\begin{vmatrix}3 & 0\\
2 & 3
\end{vmatrix}\times(-1)^{1+2+2+3}\begin{vmatrix}0 & 3\\
0 & 2
\end{vmatrix}\\
 & =1-12+0=-11.
\end{align*}
\end{sol*}
\end{frame}

\subsection{作业}
\begin{frame}[allowframebreaks]{作业}
\begin{xca}
计算行列式 $D=\begin{vmatrix}3 & 1 & -1 & 2\\
-5 & 1 & 3 & -4\\
2 & 0 & 1 & -1\\
1 & -5 & 3 & -3
\end{vmatrix}$. 
\end{xca}

\begin{xca}
按第三行展开, 计算行列式 
\[
\begin{vmatrix}2 & -3 & 4 & 1\\
4 & 2 & 3 & 2\\
a & b & c & d\\
3 & -1 & 4 & 3
\end{vmatrix}.
\]
\end{xca}

\begin{xca}
按第二列展开, 计算行列式 
\[
\begin{vmatrix}5 & a & 2 & -1\\
4 & b & 4 & -3\\
2 & c & 3 & -2\\
4 & d & 5 & -4
\end{vmatrix}.
\]
\end{xca}

\begin{xca}
计算行列式: (1). $\begin{vmatrix}a & 3 & 0 & 5\\
0 & b & 0 & 2\\
1 & 2 & c & 3\\
0 & 0 & 0 & d
\end{vmatrix}$. (2). $\begin{vmatrix}1 & 0 & 2 & a\\
2 & 0 & b & 0\\
3 & c & 4 & 5\\
d & 0 & 0 & 0
\end{vmatrix}$. (3). $\begin{vmatrix}x & a & b & 0 & c\\
0 & y & 0 & 0 & d\\
0 & e & z & 0 & f\\
g & h & k & u & l\\
0 & 0 & 0 & 0 & v
\end{vmatrix}$.
\end{xca}

\begin{xca}
讨论当 $k$ 为何值时 $\begin{vmatrix}1 & 1 & 0 & 0\\
1 & k & 1 & 0\\
0 & 0 & k & 2\\
0 & 0 & 2 & k
\end{vmatrix}\neq0$. 
\end{xca}

\begin{xca}[{*}]
设 $n$ 阶行列式 $D_{n}=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 & \cdots & n\\
1 & 2 & 0 & \cdots & 0\\
1 & 0 & 3 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
1 & 0 & 0 & \cdots & n
\end{vmatrix}$, 求第一行各元素的代数余子式之和 
\[
A_{11}+A_{12}+\cdots+A_{1n}.
\]
\end{xca}

\begin{xca}[{*}]
设 $A=\left(\alpha_{ij}\right)$, $A_{ij}$ 是 $\alpha_{ij}$ 在 $\mathrm{det}A$
中的代数余子式, 在求行列式的各种方法中, 我们有时会通过``升阶''来简化计算, 比如在一些问题中计算 $n$ 阶行列式的值比较困难,
我们考虑一个 $n+1$ 阶的``升阶''行列式来简化求解次数, 进而降低计算上的错误概率.
\end{xca}

(1). 求证 
\[
(-1)^{n}\begin{vmatrix}1 & 1 & \cdots & 1 & 0 & 1\\
\alpha_{11} & \alpha_{12} & \cdots & \alpha_{1,n-1} & 1 & \alpha_{1n}\\
\alpha_{21} & \alpha_{22} & \cdots & \alpha_{2,n-1} & 1 & \alpha_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots\\
\alpha_{n1} & \alpha_{n2} & \cdots & \alpha_{n,n-1} & 1 & \alpha_{nn}
\end{vmatrix}_{(n+1)\times(n+1)}=\begin{vmatrix}\alpha_{11}-\alpha_{12} & \alpha_{12}-\alpha_{13} & \cdots & \alpha_{1,n-1}-\alpha_{1n} & 1\\
\alpha_{21}-\alpha_{22} & \alpha_{22}-\alpha_{23} & \cdots & \alpha_{2,n-1}-\alpha_{2n} & 1\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
\alpha_{n1}-\alpha_{n2} & \alpha_{n2}-\alpha_{n3} & \cdots & \alpha_{n,n-1}-\alpha_{nn} & 1
\end{vmatrix}_{n\times n}.
\]

(2). 证明: 
\[
\sum_{i,j=1}^{n}A_{ij}=\begin{vmatrix}\alpha_{11}-\alpha_{12} & \alpha_{12}-\alpha_{13} & \cdots & \alpha_{1,n-1}-\alpha_{1n} & 1\\
\alpha_{21}-\alpha_{22} & \alpha_{22}-\alpha_{23} & \cdots & \alpha_{2,n-1}-\alpha_{2n} & 1\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
\alpha_{n1}-\alpha_{n2} & \alpha_{n2}-\alpha_{n3} & \cdots & \alpha_{n,n-1}-\alpha_{nn} & 1
\end{vmatrix}.
\]

\begin{xca}[{*}]
 证明: 行列式 
\[
\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}
\]
所有元素的代数余子式的和等于行列式
\[
\begin{vmatrix}1 & 1 & \cdots & 1\\
a_{21}-a_{11} & a_{22}-a_{12} & \cdots & a_{2n}-a_{1n}\\
a_{31}-a_{11} & a_{32}-a_{12} & \cdots & a_{3n}-a_{1n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1}-a_{11} & a_{n2}-a_{12} & \cdots & a_{nn}-a_{1n}
\end{vmatrix}.
\]
\end{xca}

\begin{xca}[{*}{*}]
 证明: 如果行列式的某一行 (或列) 的所有元素等于 $1$, 则这行列式所有元素的代数余子式之和等于该行列式自己.
\end{xca}

\end{frame}