\section{矩阵的概念}

\subsection{矩阵的概念}
\begin{frame}{引言}
\begin{itemize}
\item 线性方程组求解的一般性理论;
\item 关系型数据库的表格形数据;
\item 图论中顶点间连接情况的邻接矩阵;
\item 通信纠错问题与纠错码.
\end{itemize}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{矩阵的概念}
\begin{defn}
由 $m\times n$ 个数 $a_{ij}$ ($i=1,2,\cdots,m$; $j=1,2,\cdots,n$)
排成的 $m$ 行 $n$ 列的数表\vspace{-2mm}
\[
\begin{array}{llll}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{array}
\]
称为 $m$ 行 $n$ 列\textbf{矩阵}, 简称 \textbf{$m\times n$ }矩阵. 为表示它是一个整体,
总是加一个括弧 (或方括号), 并用大写字母表示它, 记为
\[
A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}
\]
这 $m\times n$ 个数称为矩阵 $A$ 的元素, $a_{ij}$ 称为矩阵 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$
列元素. 一个 $m\times n$ 矩阵 $A$ 也可简记为
\[
A=A_{m\times n}=(a_{ij})_{m\times n}\text{ 或 }A=(a_{ij}).
\]
\end{defn}

\begin{defn}
元素是实数的矩阵称为\textbf{实矩阵}, 元素是复数的矩阵称为\textbf{复矩阵}, 本课程中的矩阵都指实矩阵 (除非有特殊说明).

所有元素均为零的矩阵称为\textbf{零矩阵}, 记为 $O$.

所有元素均为非负数的矩阵称为\textbf{非负矩阵}.

若矩阵 $A=(a_{ij})$ 的行数与列数都等于 $n$, 则称 $A$ 为 \textbf{$n$ 阶方阵}, 记为
$A_{n}$.

如果两个矩阵具有相同的行数与相同的列数, 则称这两个矩阵为\textbf{同型矩阵}.

如果矩阵 $A,B$ 为同型矩阵, 且对应元素均相等, 则称矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 相等, 记为 $A=B$.
\end{defn}

\begin{example}
设 $A=\begin{bmatrix}1 & 2-x & 3\\
2 & 6 & 5z
\end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}1 & x & 3\\
y & 6 & z-8
\end{bmatrix}$, 已知 $A=B$, 求 $x,y,z$.
\end{example}

\begin{sol*}
因为 $2-x=x$, $2=y$, $5z=z-8$, 所以
\[
x=1,\ y=2,\ z=-2.
\]
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{矩阵概念的应用}
\begin{itemize}
\item 广义逆矩阵求解超定方程;
\item 人工智能领域中的神经网络, 卷积神经网络 (CNN), 循环神经网络 (RNN), 深度神经网络 (DNN), 长短期记忆 (LSTM),
强化学习等模型的简化书写;
\item 图论领域中的应用, 如最短路径问题;
\item 运筹学中的应用, 如线性规划, 整数规划;
\item 数论加密算法领域;
\item 时间序列分析, 如应用于投资领域.
\end{itemize}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{几种特殊矩阵}
\begin{itemize}
\item 只有一行的矩阵
\[
A=\begin{pmatrix}a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n}\end{pmatrix}
\]
称为\textbf{行矩阵}或\textbf{行向量}. 为避免元素间的混淆, 行矩阵也记作
\[
A=\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right).
\]
\item 只有一列的矩阵
\[
B=\begin{bmatrix}b_{1}\\
b_{2}\\
\vdots\\
b_{m}
\end{bmatrix}
\]
称为\textbf{列矩阵}或\textbf{列向量}.
\item $n$ 阶方阵
\[
\begin{bmatrix}\lambda_{1} & 0 & \cdots & 0\\
0 & \lambda_{2} & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & \lambda_{n}
\end{bmatrix}
\]
称为 \textbf{$n$ 阶对角矩阵}, 对角矩阵也记为
\[
A=\mathrm{diag}\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right).
\]
\item $n$ 阶方阵
\[
\begin{bmatrix}1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 1 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{bmatrix}
\]
称为 \textbf{$n$ 阶单位矩阵}, $n$ 阶单位矩阵也记为
\[
E=E_{n},\quad(\text{或 }I=I_{n}).
\]
\item 当一个 $n$ 阶对角矩阵 $A$ 的对角元素全部相等且等于某一数 $a$ 时, 称 $A$ 为 \textbf{$n$
阶数量矩阵}, 即
\[
A=\begin{bmatrix}a & 0 & \cdots & 0\\
0 & a & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & a
\end{bmatrix}
\]
\end{itemize}
\end{frame}
%

\subsection{例题}
\begin{frame}[allowframebreaks]{例题}
\begin{example}
甲、乙、丙、丁、戊五人各从图书馆借来一本小说, 他们约定读完后互相交换, 这五本书的厚度以及他们五人的阅读速度差不多, 因此, 五人总是同时交换书,
经四次交换后, 他们五人读完了这四本书, 现已知:
\begin{enumerate}
\item 甲最后读的书是乙读的第二本书;
\item 丙最后读的书是乙读的第四本书;
\item 丙读的第二本书甲在一开始就读了;
\item 丁最后读的书是丙读的第三本;
\item 乙读的第四本书是戊读的第三本书;
\item 丁第三次读的书是丙一开始读的那本书.
\end{enumerate}
试根据以上情况说出丁第二次读的书是谁最先读的书?

\end{example}

\begin{sol*}
设甲、乙、丙、丁、戊最后读的书的代号依次为 $A$, $B$, $C$, $D$, $C$, $E$, 则根据题设条件可以列出下列初始矩阵为

$$\begin{bNiceArray}{ccccc}[first-row,first-col]
&\text{甲} & \text{乙} & \text{丙} & \text{丁} & \text{戊} \\
1 & x &   & y &   &   \\
2 &   & A & x &   &   \\
3 &   &   & D & y & C \\
4 &   & C &   &   &   \\
5 & A & B & C & D & E
\end{bNiceArray}
$$

上述矩阵中的 $x,y$ 表示尚未确定的书名代号. 两个 $x$ 代表同一本书, 两个 $y$ 代表另外的同一本书. 由题意知,
经 $5$ 次阅读后乙将五本书全都阅读了, 则从上述矩阵可以看出, 乙第 3 次读的书不可能是 $A,B$ 或 $C$. 另外由于丙在第
$3$ 次阅读的是 $D$, 所以乙第 $3$ 次读的书也不可能是 $D$. 
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
因此, 乙第 $3$ 次读的书是 $E$, 从而乙第 $1$ 次读的书是 $D$. 同理可推出甲第 $3$ 次读的书是 $B$.
因此上述矩阵中的 $y$ 为 $A$, $x$ 为 $E$. 由此可得到各个人的阅读顺序, 如下述矩阵所示:

$$\begin{bNiceArray}{ccccc}[first-row,first-col]
&\text{甲} & \text{乙} & \text{丙} & \text{丁} & \text{戊} \\
1 & E & D & A & C & B \\
2 & C & A & E & B & D \\
3 & B & E & D & A & C \\
4 & D & C & B & E & A \\
5 & A & B & C & D & E
\end{bNiceArray}
$$

由此矩阵知, 丁第 2 次读的书是戊一开始读的那一本书.
\end{sol*}
\end{frame}