\section{矩阵的运算}

\subsection{矩阵的线性运算}
\begin{frame}[allowframebreaks]{矩阵的线性运算}
\begin{defn}
设有两个 $m\times n$ 矩阵 $A=(a_{ij})$ 和 $B=(b_{ij})$, 矩阵 $A$ 与 $B$
的\textbf{和}记作 $A+B$, 规定为
\[
A+B=(a_{ij}+b_{ij})_{m\times n}=\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n}\\
a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn}
\end{bmatrix}.
\]
\end{defn}

\begin{rem*}
只有两个矩阵是同型矩阵时, 才能进行矩阵的加法运算. 两个同型矩阵的和, 即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵.
\end{rem*}
\begin{defn}
设矩阵 $A=\left(a_{ij}\right)$, 记
\[
-A=\left(-a_{ij}\right),
\]
称 $-A$ 为矩阵 $A$ 的\textbf{负矩阵}, 显然有
\[
A+(-A)=O\text{. }
\]
由此规定矩阵的减法为
\[
A-B=A+(-B).
\]
\end{defn}

\begin{defn}
数 $k$ 与矩阵 $A$ 的乘积记作 $kA$ 或 $Ak$, 规定为
\[
kA=Ak=(ka_{ij})=\begin{bmatrix}ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1n}\\
ka_{21} & ka_{22} & \cdots & ka_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
ka_{m1} & ka_{m2} & \cdots & ka_{mn}
\end{bmatrix}.
\]
数与矩阵的乘积运算称为\textbf{数乘运算}.

\end{defn}

矩阵的加法与矩阵的数乘两种运算统称为\textbf{矩阵的线性运算}. 它满足下列运算规律:

设 $A,B,C,O$ 都是同型矩阵, $k,l$ 是常数, 则
\begin{enumerate}
\item $A+B=B+A$;
\item $(A+B)+C=A+(B+C)$;
\item $A+O=A$;
\item $A+(-A)=O$;
\item $1A=A$;
\item $(kl)A=k(lA)$;
\item $(k+l)A=kA+lA$;
\item $k(A+B)=kA+kB$.
\end{enumerate}
\begin{rem*}
在数学中, 把满足上述八条规律的运算称为\textbf{线性运算}.
\end{rem*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{矩阵的线性运算}
\begin{example}
已知 $A=\begin{bmatrix}-1 & 2 & 3 & 1\\
0 & 3 & -2 & 1\\
4 & 0 & 3 & 2
\end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}4 & 3 & 2 & -1\\
5 & -3 & 0 & 1\\
1 & 2 & -5 & 0
\end{bmatrix}$, 求 $3A-2B$.
\end{example}

\begin{sol*}
\begin{align*}
3A-2B & =3\begin{bmatrix}-1 & 2 & 3 & 1\\
0 & 3 & -2 & 1\\
4 & 0 & 3 & 2
\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}4 & 3 & 2 & -1\\
5 & -3 & 0 & 1\\
1 & 2 & -5 & 0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3-8 & 6-6 & 9-4 & 3+2\\
0-10 & 9+6 & -6-0 & 3-2\\
12-2 & 0-4 & 9+10 & 6-0
\end{bmatrix}\\
 & =\begin{bmatrix}-11 & 0 & 5 & 5\\
-10 & 15 & -6 & 1\\
10 & -4 & 19 & 6
\end{bmatrix}.
\end{align*}
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{矩阵的线性运算}
\begin{example}
已知 $A=\begin{bmatrix}3 & -1 & 2 & 0\\
1 & 5 & 7 & 9\\
2 & 4 & 6 & 8
\end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}7 & 5 & -2 & 4\\
5 & 1 & 9 & 7\\
3 & 2 & -1 & 6
\end{bmatrix}$, 且 $A+2X=B$, 求 $X$.
\end{example}

\begin{sol*}
$X=\frac{1}{2}(B-A)=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}4 & 6 & -4 & 4\\
4 & -4 & 2 & -2\\
1 & -2 & -7 & -2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 & 3 & -2 & 2\\
2 & -2 & 1 & -1\\
\frac{1}{2} & -1 & -\frac{7}{2} & -1
\end{bmatrix}$.
\end{sol*}
\begin{rem*}
$n$ 阶数量矩阵 $A=\begin{bmatrix}a & 0 & \cdots & 0\\
0 & a & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & a
\end{bmatrix}=aE_{n}$.
\end{rem*}
\end{frame}

\subsection{矩阵的相乘}
\begin{frame}[allowframebreaks]{矩阵的相乘}
\begin{defn}
设\vspace{-5mm}
\[
A=\left(a_{ij}\right)_{m\times s}=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1s}\\
a_{2s} & a_{2s} & \cdots & a_{2s}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{ms}
\end{bmatrix},\quad B=\left(b_{ij}\right)_{s\times n}=\begin{bmatrix}b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
b_{s1} & b_{s2} & \cdots & b_{sn}
\end{bmatrix}
\]
矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ 的\textcolor{red}{乘积}记作 $AB$, 规定为\vspace{-5mm}
\[
AB=\left(c_{ij}\right)_{m\times n}=\begin{bmatrix}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n}\\
c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
c_{m1} & c_{m2} & \cdots & c_{mn}
\end{bmatrix},
\]
其中 \vspace{-5mm}
\[
c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}={\color{gray}\sum_{k=1}^{s}}{\color{red}a_{ik}b_{kj}},\quad(i=1,2,\cdots,m;\ j=1,2,\cdots,n).
\]
记号 $AB$ 常读作 $A$ 左乘 $B$ 或 $B$ 右乘 $A$.
\end{defn}

\begin{rem*}
只有当\textcolor{magenta}{左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数}时, 两个矩阵才能进行乘法运算.
\end{rem*}
若 $C=AB$, 则矩阵 $C$ 的元素 $c_{ij}$ 即为矩阵$A$ 的第 $i$ 行元素与矩阵 $B$ 的第
$j$ 列对应元素乘积的和. 即\vspace{-10mm} 
\begin{columns}[c]

\column{6cm}

\hspace{24mm}$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}.$

\column{7cm}

\usetikzlibrary{fit}
		\tikzset{highlight/.style={rectangle,
				fill=red!15,
				blend mode = multiply,
				rounded corners = 0.5 mm,
				inner sep=1pt,
				fit = #1}}
		\tikzset{mes-options/.style={remember picture,
				overlay,
				name prefix = exemple-,
				highlight/.style = {fill = red!15,
					blend mode = multiply,
					inner sep = 0pt,
					fit = #1}}}
		$$
		\begin{NiceArray}{*{6}{c}@{\hspace{6mm}}*{5}{c}}[nullify-dots]
 			\CodeBefore
			\SubMatrix[{2-7}{6-11}]
			\SubMatrix[{7-2}{11-6}]
			\SubMatrix[{7-7}{11-11}]
			\Body
			&        &        &        &        &        &        &        & \color{blue}\scriptstyle C_j \\
			&        &        &        &        &        & b_{11} & \Cdots & b_{1j} & \Cdots & b_{1n} \\
			&        &        &        &        &        & \Vdots &        & \Vdots &        & \Vdots \\
			&        &        &        &        &        &        &        & b_{kj} \\
			&        &        &        &        &        &        &        & \Vdots \\
			&        &        &        &        &        & b_{n1} & \Cdots & b_{nj} & \Cdots & b_{nn} \\[3mm]
			& a_{11} & \Cdots &        &        & a_{1n} \\
			& \Vdots &        &        &        & \Vdots &        &        & \Vdots \\
			\color{blue}\scriptstyle L_i      & a_{i1} & \Cdots & a_{ik} & \Cdots & a_{in} & \Cdots &        & c_{ij} \\
			& \Vdots &        &        &        & \Vdots \\ 			& a_{n1} & \Cdots &        &        & a_{nn}  \\
			\CodeAfter
 			\begin{tikzpicture}
				\node [highlight = (9-2) (9-6)] { } ;
				\node [highlight = (2-9) (6-9)] { } ;
				\draw [gray,shorten > = 1mm, shorten < = 1mm] (9-4.north) to [bend left] (4-9.west) ;
			\end{tikzpicture}
		\end{NiceArray}
		$$
\end{columns}

矩阵的乘法满足下列运算规律 (假定运算都是可行的):
\begin{enumerate}
\item $(AB)C=A(BC)$;
\item $(A+B)C=AC+BC$;
\item $C(A+B)=CA+CB$;
\item $k(AB)=(kA)B=A(kB)$.
\end{enumerate}
\begin{rem*}
矩阵的乘法一般不满足交换律, 即 $AB\neq BA$;
\end{rem*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{矩阵乘法}
\begin{example}
设 $A=\begin{bmatrix}-2 & 4\\
1 & -2
\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}2 & 4\\
-3 & -6
\end{bmatrix}$, 则
\[
\begin{aligned}AB & =\begin{bmatrix}-2 & 4\\
1 & -2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & 4\\
-3 & -6
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-16 & -32\\
8 & 16
\end{bmatrix}\text{, }\\
BA & =\begin{bmatrix}2 & 4\\
-3 & -6
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-2 & 4\\
1 & -2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix},
\end{aligned}
\]
于是 $AB\neq BA;$ 且 $BA=O$, 而$A\ne O$, $B\ne O$.
\end{example}

从上例还可看出: \textcolor{red}{两个非零矩阵相乘, 可能是零矩阵, 故不能从 $AB=O$ 必然推出 $A=O$
或 $B=O$.}

此外, 矩阵乘法一般也不满足消去律, 即不能从 $AC=BC$ 必然推出 $A=B$. 例如, 
\begin{example}[矩阵乘法不满足消去率的反例]
设
\[
\begin{gathered}A=\begin{bmatrix}1 & 2\\
0 & 3
\end{bmatrix},\ B=\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 4
\end{bmatrix},\ C=\begin{bmatrix}1 & 1\\
0 & 0
\end{bmatrix},\\
AC=\begin{bmatrix}1 & 2\\
0 & 3
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 1\\
0 & 0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 1\\
0 & 0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 4
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 1\\
0 & 0
\end{bmatrix}=BC,
\end{gathered}
\]
但 $A\neq B$.
\end{example}

\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{乘法可交换的矩阵乘积性质}
\begin{defn}
如果两矩阵相乘, 有
\[
AB=BA
\]
则称矩阵 $A$ 与矩阵 $B$ \textbf{可交换}. 简称 $A$ 与 $B$ \textbf{可换}.
\end{defn}

\begin{rem}
对于单位矩阵 $E$, 容易证明
\[
E_{m}A_{m\times n}=A_{m\times n},\quad A_{m\times n}E_{n}=A_{m\times n}.
\]
当 $m\ne n$ 时, 我们不能说 $A_{m\times n}$ 与 $E_{m}$ 可交换, 或 $A_{m\times n}$
与 $E_{n}$ 可交换. 特别地, 当 $m=n$ 时, 有 
\[
EA=AE=A.
\]
此时称 $n$ 阶方阵 $A$ 与 $n$ 阶单位阵 $E_{n}$ 可交换, 且乘积 $AE$, $EA$ 等于矩阵
$A$ 自身.
\end{rem}

可见单位矩阵 $E$ 在矩阵乘法中的作用类似于数 $1$.

更进一步我们有
\begin{prop}
设 $B$ 是一个 $n$ 阶矩阵, 则 $B$ 是一个数量矩阵的充分必要条件是 $B$ 与任何 $n$ 阶矩阵 $A$
可换.
\end{prop}

\begin{sol*}[Hint]
 取矩阵 $A=\begin{bNiceMatrix}[last-col,last-row]
0&\cdots&0&\cdots&0&\\
\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots&\\
0&\cdots&1&\cdots&0&\leftarrow p\text{ 行}\\
\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots&\\
0&\cdots&0&\cdots&0&\\
&&\overset{\uparrow}{q\text{ 列}}&&&
\end{bNiceMatrix}
$,  所以若矩阵 $B=(b_{ij})_{n\times n}$ 与矩阵 $A$ 交换, 则必然有
\[
b_{pp}=b_{qq},\ \begin{cases}
b_{pk}\equiv0, & k\ne p\\
b_{kq}\equiv0, & k\ne q
\end{cases}.
\]
\end{sol*}
%
\begin{prop}
设 $A,B$ 均为 $n$ 阶矩阵, 则下列命题等价:
\begin{enumerate}
\item $AB=BA$;
\item $(A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}$;
\item $(A-B)^{2}=A^{2}-2AB+B^{2}$;
\item $(A+B)(A-B)=(A-B)(A+B)=A^{2}-B^{2}$.
\end{enumerate}
\end{prop}

\end{frame}
%
\begin{frame}{乘法可交换的矩阵}
\begin{example}
证明: 如果 $CA=AC$, $CB=BC$, 则有

\[
(A+B)C=C(A+B);\quad(AB)C=C(AB).
\]
\end{example}

\begin{proof}
由于 $CA=AC$, $CB=BC$, 所以
\[
(A+B)C=AC+BC=CA+CB=C(A+B);
\]
\[
(AB)C=A(BC)=A(CB)=(AC)B=(CA)B=C(AB).
\]
\end{proof}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{矩阵乘法}
\begin{example}
若 $A=\begin{bmatrix}2 & 3\\
1 & -2\\
3 & 1
\end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}1 & -2 & -3\\
2 & -1 & 0
\end{bmatrix}$, 求 $AB$.
\end{example}

\begin{sol*}
\begin{align*}
AB & =\begin{bmatrix}2 & 3\\
1 & -2\\
3 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & -2 & -3\\
2 & -1 & 0
\end{bmatrix}\\
 & =\begin{bmatrix}2\times1+3\times2 & 2\times(-2)+3\times(-1) & 2\times(-3)+3\times0\\
1\times1+(-2)\times2 & 1\times(-2)+(-2)\times(-1) & 1\times(-3)+(-2)\times0\\
3\times1+1\times2 & 3\times(-2)+1\times(-1) & 3\times(-3)+1\times0
\end{bmatrix}\\
 & =\begin{bmatrix}8 & -7 & -6\\
-3 & 0 & -3\\
5 & -7 & -9
\end{bmatrix}.
\end{align*}
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
就此例顺便求一下 $BA$.
\begin{align*}
BA & =\begin{bmatrix}1 & -2 & -3\\
2 & -1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & 3\\
1 & -2\\
3 & 1
\end{bmatrix}\\
 & =\begin{bmatrix}1\times2+(-2)\times1+(-3)\times3 & 1\times3+(-2)\times(-2)+(-3)\times1\\
2\times2+(-1)\times1+0\times3 & 2\times3+(-1)\times(-2)+0\times1
\end{bmatrix}\\
 & =\begin{bmatrix}-9 & 4\\
3 & 8
\end{bmatrix}.
\end{align*}
显然 $AB\neq BA$.
\end{sol*}
\begin{example}
设 $A=(1,0,4)$, $B=\begin{bmatrix}1\\
1\\
0
\end{bmatrix}$. $A$ 是一个 $1\times3$ 矩阵, $B$ 是 $3\times1$ 矩阵, 因此 $AB$ 有意义, $BA$也有意义;
但\vspace{-5mm}
\begin{align*}
AB & =(1,0,4)\begin{bmatrix}1\\
1\\
0
\end{bmatrix}=1\times1+0\times1+4\times0=1,\\
BA & =\begin{bmatrix}1\\
1\\
0
\end{bmatrix}(1,0,4)=\begin{bmatrix}1\times1 & 1\times0 & 1\times4\\
1\times1 & 1\times0 & 1\times4\\
0\times1 & 0\times0 & 0\times4
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 4\\
1 & 0 & 4\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
\end{align*}
\end{example}

\begin{example}
设 $A=\begin{bmatrix}a_{1}\\
 & a_{2}\\
 &  & \ddots\\
 &  &  & a_{n}
\end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}b_{1}\\
 & b_{2}\\
 &  & \ddots\\
 &  &  & b_{n}
\end{bmatrix}$. (这种记法表示主对角线以外没有注明的元素均为零), 则

(1) $k\begin{bmatrix}a_{1}\\
 & a_{2}\\
 &  & \ddots\\
 &  &  & a_{n}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}ka_{1}\\
 & ka_{2}\\
 &  & \ddots\\
 &  &  & ka_{n}
\end{bmatrix}$;

(2) $\begin{bmatrix}a_{1}\\
 & a_{2}\\
 &  & \ddots\\
 &  &  & a_{n}
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}b_{1}\\
 & b_{2}\\
 &  & \ddots\\
 &  &  & b_{n}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1}+b_{1}\\
 & a_{2}+b_{2}\\
\\
 &  &  & a_{n}+b_{n}
\end{bmatrix}$;

(3) $\begin{bmatrix}a_{1}\\
 & a_{2}\\
 &  & \ddots\\
 &  &  & a_{n}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_{1}\\
 & b_{2}\\
 &  & \ddots\\
 &  &  & b_{n}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}\\
 & a_{2}b_{2}\\
 &  & \ddots\\
 &  &  & a_{n}b_{n}
\end{bmatrix};$

可见, 如果 $A,B$ 为\textbf{同阶对角矩阵}, 则 $kA$, $A+B$, $A\times B$ 仍为\textbf{同阶对角矩阵}.

\end{example}

\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{乘法可交换的矩阵 (中心化子)}
\begin{example}
求与矩阵 $A=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$ 可交换的一切矩阵.
\end{example}

\begin{sol*}
设与 $A$ 可交换的矩阵为 $B=\begin{bmatrix}a & b & c & d\\
a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1}\\
a_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2}\\
a_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3}
\end{bmatrix}$, 则 
\[
AB=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & b & c & d\\
a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1}\\
a_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2}\\
a_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1}\\
a_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2}\\
a_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3}\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix};
\]
\[
BA=\begin{bmatrix}a & b & c & d\\
a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1}\\
a_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2}\\
a_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & a & b & c\\
0 & a_{1} & b_{1} & c_{1}\\
0 & a_{2} & b_{2} & c_{2}\\
0 & a_{3} & b_{3} & c_{3}
\end{bmatrix}.
\]
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
由 
\begin{align*}
AB=BA & \Longrightarrow a_{1}=0,\ b_{1}=a,\ c_{1}=b,\ d_{1}=c,\\
 & \qquad a_{2}=0,\ b_{2}=a_{1}=0,\ c_{2}=b_{1}=a,\ d_{2}=c_{1}=b,\\
 & \qquad a_{3}=0,\ b_{3}=a_{2}=0,\ c_{3}=b_{2}=0,\ d_{3}=c_{2}=a.
\end{align*}
于是可得 $B=\begin{bmatrix}a & b & c & d\\
0 & a & b & c\\
0 & 0 & a & b\\
0 & 0 & 0 & a
\end{bmatrix}$, 其中 $a,b,c$ 为任意实数.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{矩阵乘法定义的来源}

关于矩阵乘法的定义的来源, 一种解释是源于变量替换, 对于从 $x=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})$ 到 $y=(y_{1},y_{2},\cdots,y_{m})$
的变量替换
\begin{equation}
\begin{cases}
y_{1}=b_{11}x_{1}+b_{12}x_{2}+\cdots+b_{1n}x_{n},\\
y_{2}=b_{21}x_{1}+b_{22}x_{2}+\cdots+b_{2n}x_{n},\\
\vdots\\
y_{m}=b_{m1}x_{1}+b_{m2}x_{2}+\cdots+b_{mn}x_{n},
\end{cases}\Longleftrightarrow y_{k}=\sum_{j=1}^{n}b_{kj}x_{j}.\label{eq:x2y}
\end{equation}
一般简写为 $y=Bx$. 而从 $y$ 到 $z=(z_{1},z_{2},\cdots,z_{t})$ 的变量替换
\begin{equation}
\begin{cases}
z_{1}=a_{11}y_{1}+a_{12}y_{2}+\cdots+a_{1m}y_{m},\\
z_{2}=a_{21}y_{1}+a_{22}y_{2}+\cdots+a_{2m}y_{m},\\
\vdots\\
z_{t}=a_{t1}y_{1}+a_{t2}y_{2}+\cdots+a_{tm}y_{m},
\end{cases}\Longleftrightarrow z_{i}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}y_{k}.\label{eq:y2z}
\end{equation}
一般简写为 $z=Ay$, 于是从变量 $x$ 直接变换到 $z$ 的变量替换为
\[
z=Ay=A(Bx).
\]

为此希望记直接从 $x$ 到 $z$ 的变换为 $z=Cx\coloneqq(AB)\cdot x$, 也即
\[
\begin{cases}
z_{1}=c_{11}x_{1}+c_{12}x_{2}+\cdots+c_{1n}x_{n},\\
z_{2}=c_{21}x_{1}+c_{22}x_{2}+\cdots+c_{2n}x_{n},\\
\vdots\\
z_{t}=c_{t1}x_{1}+c_{t2}x_{2}+\cdots+c_{tn}x_{n},
\end{cases}\Longleftrightarrow z_{i}=\sum_{j=1}^{n}c_{ij}x_{j}.
\]
为了得到 $c_{ij}$ 的具体表达式, 这相当于直接将 (\ref{eq:x2y}) 代入 (\ref{eq:y2z}),
所以有
\[
z_{i}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}y_{k}=\sum_{k=1}^{m}a_{ik}\sum_{j=1}^{n}b_{kj}x_{j}=\sum_{j=1}^{n}\boxed{{\color{red}\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}}}x_{j}=\sum_{j=1}^{n}\boxed{{\color{red}c_{ij}}}x_{j}.
\]
因此为了能使变量替换与通常实数时的情况一致, 矩阵乘法中的元素 $c_{ij}$ 是由矩阵 $A$ 的第 $i$ 行元素与矩阵
$B$ 的第 $j$ 列元素对应相乘的累和. \footnote{矩阵乘法的定义归功于Cayley, 参考: 莫里斯·克莱因,《古今数学思想》, vol. 3, p.207-216.}
\end{frame}
%
\begin{frame}{矩阵乘法}
\begin{example}
某地区有四个工厂 I、II、III、IV, 生产甲、乙、丙三种产品, 矩阵 $A$ 表示一年中各工厂生产各种产品的数量, 矩阵 $B$
表示各种产品的单位价格 (元) 及单位利润 (元), 矩阵 $C$ 表示各工厂的总收入及总利润.

$$A=\begin{bNiceArray}{ccc}[last-row,last-col]
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \text{I} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & \text{II} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & \text{III} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & \text{IV} \\
\text{甲} & \text{乙} & \text{丙} &  
\end{bNiceArray}\ \;,\ 
B=\begin{bNiceArray}{cc}[last-row,last-col]
b_{11} & b_{12} & \text{甲} \\
b_{21} & b_{22} & \text{乙} \\
b_{31} & b_{32} & \text{丙} \\
\text{单位价格} & \text{单位利润} &   
\end{bNiceArray}\ \;,\ 
C=\begin{bNiceArray}{cc}[last-row,last-col]
c_{11} & c_{12} & \text{I} \\
c_{21} & c_{22} & \text{II} \\
c_{31} & c_{32} & \text{III} \\
c_{41} & c_{42} & \text{IV} \\
\text{总收入} & \text{总利润} &   
\end{bNiceArray}.
$$其中, $a_{ik}$ ($i=1,2,3,4$; $k=1,2,3$) 是第 $i$ 个工厂生产第 $k$ 种产品的数量,
$b_{k1}$ 及 $b_{k2}$ ($k=1,2,3$) 分别是第 $k$ 种产品的单位价格及单位利润, $c_{i1}$
及 $c_{i2}$ (\textrm{$i=1,2,3,4$}) 分别是第 $i$ 个工厂生产三种产品的总收入及总利润. 则矩阵
$A,B,C$ 的元素之间有下列关系:

$$\begin{bmatrix}
a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32} \\
a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32} \\
a_{31}b_{11}+a_{32}b_{21}+a_{33}b_{31} & a_{31}b_{12}+a_{32}b_{22}+a_{33}b_{32} \\
a_{41}b_{11}+a_{42}b_{21}+a_{43}b_{31} & a_{41}b_{12}+a_{42}b_{22}+a_{43}b_{32}
\end{bmatrix}=\begin{bNiceArray}{cc}[last-row]
c_{11} & c_{12} \\
c_{21} & c_{22} \\
c_{31} & c_{32} \\
c_{41} & c_{42} \\
\text{总收入} & \text{总利润}  
\end{bNiceArray}.$$其中 $c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+a_{i3}b_{3j}$ ($i=1,2,3,4$;
$j=1,2$), 即 $C=AB$.
\end{example}

\end{frame}

\subsection{线性方程组的矩阵表示}
\begin{frame}{线性方程组的矩阵表示}

设有线性方程组\vspace{-5mm}

\begin{equation}
\left\{ \begin{array}{l}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\
\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m}
\end{array}\right.\label{eq:2.3-1}
\end{equation}

若记\vspace{-5mm}

\[
A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix},\quad x=\begin{bmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
\vdots\\
x_{n}
\end{bmatrix},\quad b=\begin{bmatrix}b_{1}\\
b_{2}\\
\vdots\\
b_{m}
\end{bmatrix},
\]
则利用矩阵的乘法, 线性方程组 (\ref{eq:2.3-1}) 可表示为矩阵形式:\vspace{-5mm}

\begin{equation}
Ax=b.\label{eq:2.3-2}
\end{equation}
\vspace{-5mm}

其中矩阵 $A$ 称为线性方程组 (\ref{eq:2.3-1}) 的\textbf{系数矩阵}. 方程 (\ref{eq:2.3-2})
又称为\textbf{矩阵方程}.
\end{frame}
%
\begin{frame}{线性方程组的矩阵表示}

如果 $x_{j}=c_{j}$, ($j=1,2,\cdots,n$) 是方程组 (\ref{eq:2.3-1}) 的解,
记列矩阵\vspace{-5mm}
\[
c=\begin{bmatrix}c_{1}\\
c_{2}\\
\vdots\\
c_{n}
\end{bmatrix},
\]
\vspace{-5mm}

则 $Ac=b$. 这时也称 $c$ 是矩阵方程 (\ref{eq:2.3-2}) 的解; 

反之, 如果列矩阵 $c$ 是矩阵方程 (\ref{eq:2.3-2}) 的解, 即有矩阵等式 $Ac=b$ 成立, 则 $x=c$,
即 $x_{j}=c_{j}$, ($j=1,2,\cdots,n$) 也是线性方程组 (\ref{eq:2.3-1}) 的解. 

这样, 对线性方程组 (\ref{eq:2.3-1}) 的讨论便等价于对矩阵方程 (\ref{eq:2.3-2}) 的讨论. 
\end{frame}
%
\begin{frame}{齐次线性方程组的矩阵表示}

特别地, 齐次线性方程组可以表示为

\[
Ax=O.
\]

将线性方程组写成矩阵方程的形式, 不仅\textbf{书写方便}, 而且可以把线性方程组的理论与矩阵理论联系起来, 这给线性方程组的讨论带来很大的便利.
\end{frame}
%
\begin{frame}{矩阵方程的例子}
\begin{example}
解矩阵方程 $\begin{bmatrix}2 & 1\\
1 & 2
\end{bmatrix}X=\begin{bmatrix}1 & 2\\
-1 & 4
\end{bmatrix}$, 其中 $X$ 为二阶矩阵.
\end{example}

\begin{sol*}
设 $X=\begin{bmatrix}x_{11} & x_{12}\\
x_{21} & x_{22}
\end{bmatrix}$, 由题设, 有\vspace{-3mm}
\[
\begin{bmatrix}2 & 1\\
1 & 2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{11} & x_{12}\\
x_{21} & x_{22}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 2\\
-1 & 4
\end{bmatrix},\quad\begin{bmatrix}2x_{11}+x_{21} & 2x_{12}+x_{22}\\
x_{11}+2x_{21} & x_{12}+2x_{22}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 2\\
-1 & 4
\end{bmatrix}.
\]
\vspace{-3mm}即 
\[
\begin{cases}
2x_{11}+x_{21}=1 & (1)\\
x_{11}+2x_{21}=-1 & (2)
\end{cases},\qquad\begin{cases}
2x_{12}+x_{22}=2 & (3)\\
x_{12}+2x_{22}=4 & (4)
\end{cases}.
\]
\vspace{-3mm}分别解 (1), (2) 和 (3), (4) 两个方程组得
\[
x_{11}=1,\quad x_{12}=0,\quad x_{21}=-1,\quad x_{22}=2\Longrightarrow X=\begin{bmatrix}1 & 0\\
-1 & 2
\end{bmatrix}.
\]
\end{sol*}
\end{frame}

\subsection{线性变换的概念}
\begin{frame}[allowframebreaks]{线性变换的概念}

变量 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ 与变量 $y_{1},y_{2},\cdots,y_{m}$ 之间的关系式:

\begin{equation}
\begin{cases}
y_{1}=a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}\\
y_{2}=a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}\\
\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\
y_{m}=a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}.
\end{cases}\label{eq:2.4-2}
\end{equation}

称为从变量 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ 到变量 $y_{1},y_{2},\cdots,y_{m}$
的\textbf{线性变换}. 其中 $a_{ij}$ ($i=1,2,\cdots,m;\ j=1,2,\cdots,n$)
为常数. 线性变换 (\ref{eq:2.4-2}) 的系数 $a_{ij}$ 构成矩阵 $A=\left(a_{ij}\right)_{m\times n}$,
称其为线性变换 (\ref{eq:2.4-2}) 的\textbf{系数矩阵}.

易见

\noindent\fbox{\begin{minipage}[t]{1\columnwidth - 2\fboxsep - 2\fboxrule}%
线性变换与其系数矩阵之间存在一一对应关系.%
\end{minipage}}

因而可利用矩阵来研究线性变换, 亦可利用线性变换来研究矩阵.

线性变换

\[
\begin{cases}
y_{1}=x_{1}\\
y_{2}=x_{2}\\
\vdots\\
y_{n}=x_{n}
\end{cases}
\]

称为\textbf{恒等变换}, 其系数矩阵就是\textbf{单位矩阵}.
\end{frame}
%
\begin{frame}{线性变换的几何意义}
\begin{example}
设有线性变换 $y=Ax$, 其中 $A=\begin{bmatrix}1 & 2\\
0 & 1
\end{bmatrix}$, $x=\begin{bmatrix}1\\
1
\end{bmatrix}$, 试求出向量 $y$, 并指出该变换的几何意义.
\end{example}

\begin{sol*}
$y=Ax=\begin{bmatrix}1 & 2\\
0 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\
1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\
1
\end{bmatrix}$. 其几何意义是: 线性变换 $y=Ax$ 将平面 $x_{1}Ox_{2}$ 上的向量 $x=\begin{bmatrix}1\\
1
\end{bmatrix}$ 变换为该平面上的另一向量 $y=\begin{bmatrix}3\\
1
\end{bmatrix}$, (见下图).

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[remember picture]
	\draw[help lines] (0,0) grid (3,3);
	\draw[red,fill=red!20] (0,0)--(2,0)--(2,2)--(0,2)--(0,0); 
	
	\filldraw [gray] (1.5,1.5) circle [radius=2pt] 
		node[above] (n3) at (1.5,1.5) {$x$};
\end{tikzpicture}
\hspace{3mm}
\begin{tikzpicture}[remember picture]
	\draw[help lines] (0,0) grid (7.5,3);
	\draw[gray,fill=gray!20] (0,0)--(2,0)--(2,2)--(0,2)--(0,0); 
	\draw[red,fill=red!20,opacity=0.7] (0,0)--(2,0)--(6,2)--(4,2)--(0,0); 

	\filldraw [gray] (4.5,1.5) circle [radius=2pt]
		node[above] (n2) at (4.5,1.5) {$Ax$};
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay]
	\draw[overlay,->,very thick,yshift=5mm] (n3) to[bend left] (n2);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{线性变换的几何意义}
\begin{example}
设 $A=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$, 为三维空间一向量, 试讨论矩阵变换 $x\rightarrow Ax$ 的几何意义.
\end{example}

\begin{sol*}
如图所示, 设 $x=\overrightarrow{OP}=\begin{bmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}
\end{bmatrix}$, 则
\[
\begin{bmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}
\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}
\end{bmatrix}=\boxed{{\color{red}\begin{bmatrix}1\\
0\\
0
\end{bmatrix}x_{1}+\begin{bmatrix}0\\
1\\
0
\end{bmatrix}x_{2}+\begin{bmatrix}0\\
0\\
0
\end{bmatrix}x_{3}}}=\begin{bmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
0
\end{bmatrix},
\]
从几何上看, 在变换 $x\rightarrow Ax$ 下, 空间中的点 $P\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$
被投影到了 $x_{1}Ox_{2}$ 平面上.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{矩阵的转置}
\begin{defn}
把矩阵 $A$ 的行换成同序数的列得到的新矩阵, 称为 $A$ 的\textbf{转置矩阵}, 记作 $A^{T}$ (或 $A'$).
即若
\[
A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix},
\]

则

\[
A^{T}=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1}\\
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}.
\]
\end{defn}

\begin{example}
(1) 设 $A=\begin{bmatrix}1 & 2 & -1 & 0\\
-1 & 0 & 1 & 4\\
2 & 5 & -3 & 1
\end{bmatrix}$, 则 $A^{T}=\begin{bmatrix}1 & -1 & 2\\
2 & 0 & 5\\
-1 & 1 & -3\\
0 & 4 & 1
\end{bmatrix}$.

(2) 设 $A=(1,2,3,-1)$, 则 $A^{T}=\begin{bmatrix}1\\
2\\
3\\
-1
\end{bmatrix}$.
\end{example}

\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{矩阵的转置}

矩阵的转置满足以下运算规律 (假设运算都是可行的):

(1) $\left(A^{T}\right)^{T}=A$;

(2) $(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$;

(3) $(kA)^{T}=kA^{T}$;

(4) $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$.
\begin{example}
已知 $A=\begin{bmatrix}2 & 0 & -1\\
1 & 3 & 2
\end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}1 & 7 & -1\\
4 & 2 & 3\\
2 & 0 & 1
\end{bmatrix}$, 求 $(AB)^{T}$.
\end{example}

\begin{sol*}
$AB=\begin{bmatrix}2 & 0 & -1\\
1 & 3 & 2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 7 & -1\\
4 & 2 & 3\\
2 & 0 & 1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 14 & -3\\
17 & 13 & 10
\end{bmatrix}$, 所以
\[
(AB)^{T}=\begin{bmatrix}0 & 17\\
14 & 13\\
-3 & 10
\end{bmatrix}.
\]
另一方面, 也可以按下式计算

\[
(AB)^{T}=B^{T}A^{T}=\begin{bmatrix}1 & 4 & 2\\
7 & 2 & 0\\
-1 & 3 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & 1\\
0 & 3\\
-1 & 2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 17\\
14 & 13\\
-3 & 10
\end{bmatrix}.
\]
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{方阵的幂}
\begin{defn}
设方阵 $A=\left(a_{ij}\right)_{n\times n}$, 规定
\[
A^{0}=E,\quad A^{k}=\underbrace{A\cdot A\cdot\cdots\cdot A}_{k\text{个}A},\quad k\text{ 为自然数. }
\]
$A^{k}$ 称为 \textbf{$A$ 的 $k$ 次幂}.
\end{defn}

方阵的幂满足以下运算规律 (假设运算都是可行的):

(1). $A^{m}A^{n}=A^{m+n}$, ($m,n$ 为非负整数);

(2). $\left(A^{m}\right)^{n}=A^{mn}$.
\begin{rem*}
一般地, $(AB)^{m}\neq A^{m}B^{m}$, $m$ 为自然数.
\end{rem*}
\begin{prop}
设 $A,B$ 均为 $n$ 阶矩阵, 且有$AB=BA$, 则 $(AB)^{m}=A^{m}B^{m}$, 其中 $m$
为自然数, 反之不成立.
\end{prop}

\begin{example}
设 $A=\begin{bmatrix}\lambda & 1 & 0\\
0 & \lambda & 1\\
0 & 0 & \lambda
\end{bmatrix}$, 求 $A^{3}$.
\end{example}

\begin{sol*}
\[
A^{2}=\begin{bmatrix}\lambda & 1 & 0\\
0 & \lambda & 1\\
0 & 0 & \lambda
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\lambda & 1 & 0\\
0 & \lambda & 1\\
0 & 0 & \lambda
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda^{2} & 2\lambda & 1\\
0 & \lambda^{2} & 2\lambda\\
0 & 0 & \lambda^{2}
\end{bmatrix},
\]
\[
A^{3}=A^{2}A=\begin{bmatrix}\lambda^{2} & 2\lambda & 1\\
0 & \lambda^{2} & 2\lambda\\
0 & 0 & \lambda^{2}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\lambda & 1 & 0\\
0 & \lambda & 1\\
0 & 0 & \lambda
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda^{3} & 3\lambda^{2} & 3\lambda\\
0 & \lambda^{3} & 3\lambda^{2}\\
0 & 0 & \lambda^{3}
\end{bmatrix}.
\]
.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{方阵的行列式}
\begin{defn}
由 $n$ 阶方阵 $A$ 的元素所构成的行列式 (各元素的位置不变), 称为方阵 $A$ 的行列式, 记作 $|A|$ 或
$\mathrm{det}A$.
\end{defn}

\begin{rem*}
方阵与行列式是两个不同的概念, $n$ 阶方阵是 $n^{2}$ 个数按一定方式排成的数表, 而 $n$ 阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数值
(实数或复数).
\end{rem*}
方阵 $A$ 的行列式 $|A|$ 满足以下运算规律 (设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵, $k$ 为常数):

(1) $\left|A^{T}\right|=|A|$, (行列式性质1);

(2) $|kA|=k^{n}|A|$;

(3) $|AB|=|A||B|$. 进一步 $|A||B|=|AB|=|B||A|$.
\end{frame}
%
\begin{frame}{方阵的行列式}
\begin{example}
设 $A=\begin{bmatrix}1 & 0 & -1\\
2 & 1 & 0\\
3 & 2 & -1
\end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}-2 & 1 & 0\\
0 & 3 & 1\\
0 & 0 & 2
\end{bmatrix}$, 则

\[
AB=\begin{bmatrix}-2 & 1 & -2\\
-4 & 5 & 1\\
-6 & 9 & 0
\end{bmatrix},\quad|AB|=\begin{vmatrix}-2 & 1 & -2\\
-4 & 5 & 1\\
-6 & 9 & 0
\end{vmatrix}=24.
\]
又

\[
|A|=\begin{vmatrix}1 & 0 & -1\\
2 & 1 & 0\\
3 & 2 & -1
\end{vmatrix}=-2,\quad|B|=\begin{vmatrix}-2 & 1 & 0\\
0 & 3 & 1\\
0 & 0 & 2
\end{vmatrix}=-12\text{, }
\]
因此 $|AB|=24=(-2)(-12)=|A||B|$.
\end{example}

\end{frame}
%
\begin{frame}{对称矩阵}
\begin{defn}
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵, 如果 $A^{T}=A$, 即
\[
a_{ij}=a_{ji},\quad(i,j=1,2,\cdots,n),
\]
则称 $A$ 为\textbf{对称矩阵}.
\end{defn}

显然, 对称矩阵 $A$ 的元素关于主对角线对称. 例如

\[
\begin{bmatrix}0 & -1\\
-1 & 0
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}8 & 6 & 1\\
6 & 9 & 0\\
1 & 0 & 5
\end{bmatrix}
\]

均为对称矩阵.

如果 $A^{T}=-A$, 则称 $A$ 为\textbf{反对称矩阵}.
\end{frame}
%
\begin{frame}{对称阵}
\begin{example}
设列矩阵 $X=\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)^{T}$ 满足 $X^{T}X=1$,
$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵, $H=E-2XX^{T}$, 证明 $H$ 是对称矩阵, 且 $HH^{T}=E$.
\end{example}

\begin{proof}
由于 $H^{T}=\left(E-2XX^{T}\right)^{T}=E^{T}-2\left(XX^{T}\right)^{T}=E-2XX^{T}=H$,
所以 $H$ 是对称矩阵.
\[
\begin{aligned}HH^{T} & =H^{2}=\left(E-2XX^{T}\right)^{2}\\
 & =E-4XX^{T}+4\left(XX^{T}\right)\left(XX^{T}\right)\\
 & =E-4XX^{T}+4X\left(X^{T}X\right)X^{T}\\
 & =E-4XX^{T}+4XX^{T}=E.
\end{aligned}
\]
\end{proof}
由此可知: 矩阵方程 $X^{2}=E$ 有无穷多解, 称满足矩阵方程 $X^{2}=E$ 的矩阵为幂等矩阵.
\end{frame}
%
\begin{frame}{反对称阵}
\begin{example}
设 $A$ 与 $B$ 是两个 $n$ 阶反对称矩阵, 证明: 当且仅当 $AB=-BA$ 时, $AB$ 是反对称矩阵.
\end{example}

\begin{sol*}
由于 $A$ 与 $B$ 是反对称矩阵 $\Longrightarrow A=-A^{T}$, $B=-B^{T}$.
\begin{itemize}
\item 若 $AB=-BA$, 则 $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}=BA=-AB\Longrightarrow AB$ 反对称.
\item 反之, 若 $AB$ 反对称, 即 $(AB)^{T}=-AB\Longrightarrow AB=-(AB)^{T}=-B^{T}A^{T}=-(-B)(-A)=-BA$. 
\end{itemize}
证毕.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{共轭矩阵}
\begin{defn}
设 $A=\left(a_{ij}\right)$ 为复 (数) 矩阵, 记
\[
\overline{A}=\left(\overline{a_{ij}}\right),
\]
其中 $\overline{a_{ij}}$ 表示 $a_{ij}$ 的共轭复数, 称 $\overline{A}$ 为 $A$
的\textbf{共轭矩阵}.
\end{defn}

共轭矩阵满足以下运算规律 (设 $A,B$ 为复矩阵, $k$ 为复数, 且运算都是可行的):

(1) $\overline{A+B}=\overline{A}+\overline{B}$;

(2) $\overline{\lambda A}=\overline{\lambda A}$;

(3) $\overline{AB}=\overline{A}\overline{B}$.
\begin{example}
设 $A=\begin{bmatrix}1+i & 0 & 1-\sqrt{2}i\\
2i & -1 & -4i\\
-4-i & \sqrt{3}i & i
\end{bmatrix}$, $i=\sqrt{-1}$, 则 $\overline{A}=\begin{bmatrix}1-i & 0 & 1+\sqrt{2}i\\
-2i & -1 & 4i\\
-4+i & -\sqrt{3}i & -i
\end{bmatrix}$.
\end{example}

\end{frame}

\subsection{作业}
\begin{frame}[allowframebreaks]{作业}
\begin{problem}
设 $A=\left(a_{ij}\right)$ 为三阶矩阵, 若已知 $|A|=-2$, 求 $\left|\vphantom{\int}|A|\cdot A\right|$.
\end{problem}

\begin{problem}
设 
\[
A=\begin{bmatrix}\lambda_{1}\\
 & \ddots\\
 &  & \lambda_{n}
\end{bmatrix},
\]
$B=\left(b_{ij}\right)$, 求 $AB$, $BA$.
\end{problem}

\begin{problem}
设 
\[
E_{23}=\begin{bmatrix}1\\
 &  & 1\\
 & 1\\
 &  &  & 1
\end{bmatrix},\ E_{2(\lambda)}=\begin{bmatrix}1\\
 & \lambda\\
 &  & 1\\
 &  &  & 1
\end{bmatrix},\ E_{24(k)}=\begin{bmatrix}1\\
 & 1 &  & k\\
 &  & 1\\
 &  &  & 1
\end{bmatrix}.
\]
若记矩阵 $A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & a_{35}\\
a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & a_{45}
\end{bmatrix}$. 

(1). 试求 $E_{23}A$, $E_{2(\lambda)}A$ 与 $E_{24(k)}A$ 并比较它们与矩阵 $A$
的不同 (并写出不同点). 

(2). 试求 $AE_{23}$, $AE_{2(\lambda)}$ 与 $AE_{24(k)}$ 并比较它们与矩阵 $A$
的不同 (并写出不同点). 
\end{problem}

\begin{problem}
设 $A=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\
-1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1
\end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}1 & 2 & 1\\
1 & 3 & -1\\
2 & 1 & 4
\end{bmatrix}$. 

(1). 计算 $AB-2A$, $AB-BA$;

(2). 问： $(A+B)(A-B)$ 是否等于 $A^{2}-B^{2}$?
\end{problem}

\begin{problem}
计算方阵 $A$ 的矩阵多项式 $f(A)$, 其中 

(1). $A=\begin{bmatrix}2 & -1\\
-3 & 3
\end{bmatrix}$, $f(x)=x^{2}-x-1$; 

(2). $A=\begin{bmatrix}2 & 1 & 1\\
3 & 1 & 2\\
1 & -1 & 0
\end{bmatrix}$, $f(x)=x^{2}-5x+3$.
\end{problem}

\begin{problem}
举例说明下列命题是错误的: 

(1). 如果 $A^{2}=O$, 则 $A=O$; 

(2). 如果 $A^{2}=A$, 则 $A=O$ 或者 $A=E$; 

(3). 如果 $AX=AY$ 且 $A\neq O$, 则 $X=Y$.
\end{problem}

\begin{problem}
设 $k$ 为正整数, 计算：

(1). 
\[
\begin{bmatrix}\cos\theta & \sin\theta\\
-\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}^{k};
\]

(2). 
\[
\begin{bmatrix}1 & 0\\
\lambda & 1
\end{bmatrix}^{k};
\]

(3). 
\[
\begin{bmatrix}\lambda & 1\\
 & \lambda & 1\\
 &  & \lambda
\end{bmatrix}^{k}.
\]
\end{problem}

\begin{problem}
计算矩阵乘积 $\begin{bmatrix}b_{1} & b_{2} & b_{3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_{1}\\
b_{2}\\
b_{3}
\end{bmatrix}$.
\end{problem}

\begin{problem}
(1). 证明两个上三角形方阵的积仍为上三角形 ($A=\left(a_{ij}\right)$ 为上三角形是指当 $i>j$
时, $a_{ij}=0$). 

(2). 证明两个下三角形方阵的积仍为下三角形 (若当 $i<j$ 时 $a_{ij}=0$, 则称 $A$ 为下三角形).
\end{problem}

\begin{problem}
证明任一 $n$ 阶矩阵 $A$ 都可表示成对称阵与反对称阵之和.
\end{problem}

\begin{problem}[{*}{*}{*}]
 设 $A$ 为 $n\times m$ 矩阵, $B$ 为 $m\times n$ 矩阵, 如果 $E_{n}-AB$
可逆, 证明: $E_{m}-BA$ 也可逆, 并求 $\left(E_{m}-BA\right)^{-1}$.
\end{problem}

\end{frame}