\section{逆矩阵}

\subsection{逆矩阵的概念}
\begin{frame}[allowframebreaks]{逆矩阵的概念}

在数的运算中, 对于数 $a\neq0$, 总存在唯一一个数 $a^{-1}$, 使得
\[
a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=1.
\]

数的逆在解方程中起着重要作用, 例如, 解一元线性方程

\[
ax=b.
\]

当 $a\neq0$ 时, 其解为

\[
x=a^{-1}b.
\]

对一个矩阵 $A$, 是否也存在类似的运算? 在回答这个问题之前, 我们先引入可逆矩阵与逆矩阵的概念.
\begin{defn}
逆矩阵的运算性质对于 $n$ 阶矩阵 $A$, 如果存在一个 $n$ 阶矩阵 $B$, 使得
\[
AB=BA=E,
\]
则称矩阵 $A$ 为\textbf{可逆矩阵}, 而矩阵 $B$ 称为 \textbf{$A$ 的逆矩阵}. 
\end{defn}

\begin{prop}
若矩阵 $A$ 是可逆的, 则 $A$ 的逆矩阵是唯一的.
\end{prop}

\begin{defn}
如果 $n$ 阶矩阵 $A$ 的行列式 $|A|\ne0$, 则称 $A$ 为\textbf{非奇异的}, 否则称为\textbf{奇异的}.
\end{defn}

\end{frame}
%
\begin{frame}{逆矩阵的概念}
\begin{example}
设 $A=\begin{bmatrix}2 & 1\\
-1 & 0
\end{bmatrix}$, 求 $A$ 的逆矩阵. 
\end{example}

\begin{sol*}
利用待定系数法, 设 $A$ 的逆矩阵 $B=\begin{bmatrix}a & b\\
c & d
\end{bmatrix}$, 则\vspace{-5mm}
\[
AB=\begin{bmatrix}2 & 1\\
-1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a & b\\
c & d
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}\Longrightarrow\begin{bmatrix}2a+c & 2b+d\\
-a & -b
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}\Longrightarrow\begin{cases}
2a+c=1\\
2b+d=0\\
-a=0\\
-b=1
\end{cases}\hspace{-2em}\Longrightarrow\begin{cases}
a=0\\
b=-1\\
c=1\\
d=2
\end{cases}
\]
又因为 $\begin{bmatrix}2 & 1\\
-1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & -1\\
1 & 2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & -1\\
1 & 2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & 1\\
-1 & 0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}$, 所以 $A^{-1}=\begin{bmatrix}0 & -1\\
1 & 2
\end{bmatrix}$.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{逆矩阵的概念}
\begin{example}
证明矩阵 $A$ 无逆矩阵: $A=\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix}$.
\end{example}

\begin{proof}
假定 $A$ 有逆矩阵 $B=\left(b_{ij}\right)_{2\times2}$ 使 $AB=BA=E_{2}$,
则
\[
\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_{11} & b_{12}\\
b_{21} & b_{22}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b_{11} & b_{12}\\
0 & 0
\end{bmatrix}=E_{2}=\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}\text{. }
\]
但这是不可能的, 因为由 $\begin{bmatrix}b_{11} & b_{12}\\
0 & 0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}$, 将推出 $0=1$ 的谬论来. 因此 $A$ 无逆矩阵.
\end{proof}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{逆矩阵的概念}
\begin{example}
如果 $A=\begin{bmatrix}a_{1} & 0 & \cdots & 0\\
0 & a_{2} & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & a_{n}
\end{bmatrix}$, 其中 $a_{i}\neq0$, ($i=1,2,\cdots,n$). 验证
\[
A^{-1}=\begin{bmatrix}1/a_{1} & 0 & \cdots & 0\\
0 & 1/a_{2} & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & 1/a_{n}
\end{bmatrix}.
\]
\end{example}

\begin{proof}
由于\vspace{-3mm}
\begin{align*}
\begin{bmatrix}a_{1} & 0 & \cdots & 0\\
0 & a_{2} & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & a_{n}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1/a_{1} & 0 & \cdots & 0\\
0 & 1/a_{2} & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & 1/a_{n}
\end{bmatrix} & =\begin{bmatrix}1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 1 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{bmatrix}\\
 & \hspace{-5em}=\begin{bmatrix}1/a_{1} & 0 & \cdots & 0\\
0 & 1/a_{2} & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & 1/a_{n}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{1} & 0 & \cdots & 0\\
0 & a_{2} & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & a_{n}
\end{bmatrix},
\end{align*}
所以\vspace{-3mm}
\[
A^{-1}=\begin{bmatrix}1/a_{1} & 0 & \cdots & 0\\
0 & 1/a_{2} & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & 1/a_{n}
\end{bmatrix}.
\]
\end{proof}
\end{frame}

\subsection{伴随矩阵及其与逆矩阵的关系}
\begin{frame}[allowframebreaks]{伴随矩阵及其与逆矩阵的关系}
\begin{defn}
行列式 $|A|$ 的各个元素 $a_{ij}$ 对应的代数余子式 $A_{ij}$ 所构成的矩阵
\begin{equation}
A^{*}=\begin{bmatrix}A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1}\\
A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}
\end{bmatrix}\label{eq:Aadj}
\end{equation}
称为矩阵 \textbf{$A$ 的伴随矩阵}.
\end{defn}

由定义与代数余子式的性质, 可以证明伴随矩阵满足的一个基本性质
\[
AA^{*}=A^{*}A=|A|E.
\]

\begin{proof}[简证]
 设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$, $A^{*}=(A_{ji})_{n\times n}$, (或用
$(A^{*})_{ij}=A_{ji}$ 来表示矩阵 $A^{*}$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素), 则 $A\cdot A^{*}$
的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素为
\[
\sum_{k=1}^{n}(A)_{ik}\cdot(A^{*})_{kj}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\cdot A_{jk}=\left|A\right|\cdot\delta_{ij}=\left|A\right|(E)_{ij}.
\]
\end{proof}
\begin{thm}
$n$ 阶矩阵 $A$ 可逆的充分必要条件是其行列式 $|A|\neq0$. 且当 $A$ 可逆时, 有

\[
A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*},
\]
其中 $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵.
\end{thm}

\begin{cor}
\label{cor:3.2-1} 若 $AB=E$ (或 $BA=E$), 则 $B=A^{-1}$.
\end{cor}

\begin{cor}
若存在 $n$ 阶方阵 $B$, 使得 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $AB=E$, 则有 $BA=E$. 反之亦然,
也即两个 $n$ 阶方阵 $A,B$ 若满足 $BA=E$, 则有 $AB=E$. 即对于满足 $AB=E$ 的两个 $n$
阶方阵 $A,B$ 是可交换的.
\end{cor}

\begin{rem}
用伴随矩阵求矩阵的逆一般不推荐, 但对于初学者应当经历几次用伴随矩阵求逆的繁琐计算, 然后记住前面的 (\ref{eq:Aadj})
式及以上性质才是本小节的目标.
\end{rem}

\end{frame}
%
\begin{frame}{逆矩阵的概念}
\begin{example}
设 $A,B,C$ 均为 $n$ 阶矩阵, 且满足 $ABC=E$, 则下式中哪些必定成立, 理由是什么? 

(1) $BCA=E$; 

(2) $BAC=E$; 

(3) $ACB=E$; 

\textrm{(4) }$CBA=E$;

(5) $CAB=E$.
\end{example}

\begin{sol*}
由 $ABC=E$; 有 $(AB)C=E$ 或 $A(BC)=E$. 根据可逆矩阵的定义, 前者表明 $AB$ 与 $C$
互为逆矩阵, 则有 $(AB)C=C(AB)=CAB=E$; 

后者表明 $A$ 与 $BC$ 互为逆矩阵, 可推出 $A(BC)=(BC)A=BCA=E$. 因此 (1) 与 (5) 必定成立.

至于 (2), (3), (4), 当 $A=\begin{bmatrix}1 & 2\\
2 & 1
\end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}-1 & 2\\
2 & 1
\end{bmatrix}$, $C=\begin{bmatrix}\frac{7}{15} & -\frac{8}{15}\\
\frac{1}{15} & \frac{1}{15}
\end{bmatrix}$ 时, 可以验证 $ABC=E$, 而 (2), (3), (4) 均不成立.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{求伴随矩阵}
\begin{example}
\label{exa:3.2-4} 矩阵 $A=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\
2 & 1 & 0\\
-3 & 2 & -5
\end{bmatrix}$, 求矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $A^{*}$.
\end{example}

\begin{sol*}
按定义, 因为
\[
\begin{array}{ccc}
A_{11}=\begin{vmatrix}1 & 0\\
2 & -5
\end{vmatrix}=-5, & A_{12}=-\begin{vmatrix}2 & 0\\
-3 & -5
\end{vmatrix}=10, & A_{13}=\begin{vmatrix}2 & 1\\
-3 & 2
\end{vmatrix}=7,\\
A_{21}=-\begin{vmatrix}0 & 1\\
2 & -5
\end{vmatrix}=2, & A_{22}=\begin{vmatrix}1 & 1\\
-3 & -5
\end{vmatrix}=-2, & A_{23}=-\begin{vmatrix}1 & 0\\
-3 & 2
\end{vmatrix}=-2,\\
A_{31}=\begin{vmatrix}0 & 1\\
1 & 0
\end{vmatrix}=-1, & A_{32}=-\begin{vmatrix}1 & 1\\
2 & 0
\end{vmatrix}=2, & A_{33}=\begin{vmatrix}1 & 0\\
2 & 1
\end{vmatrix}=1.
\end{array}
\]
所以
\[
\begin{gathered}A^{*}=\begin{bmatrix}A_{11} & A_{21} & A_{31}\\
A_{12} & A_{22} & A_{32}\\
A_{13} & A_{23} & A_{33}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-5 & 2 & -1\\
10 & -2 & 2\\
7 & -2 & 1
\end{bmatrix}.\end{gathered}
\]
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{用伴随矩阵求逆矩阵}
\begin{example}
求例 \ref{exa:3.2-4} 中矩阵 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$.
\end{example}

\begin{sol*}
由于 $|A|=\begin{vmatrix}1 & 0 & 1\\
2 & 1 & 0\\
-3 & 2 & -5
\end{vmatrix}=2\neq0$, 利用例 \ref{exa:3.2-4} 的结果, 知 $A^{*}=\begin{bmatrix}-5 & 2 & -1\\
10 & -2 & 2\\
7 & -2 & 1
\end{bmatrix}$, 所以
\[
A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}-5 & 2 & -1\\
10 & -2 & 2\\
7 & -2 & 1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\frac{5}{2} & 1 & -\frac{1}{2}\\
5 & -1 & 1\\
\frac{7}{2} & -1 & \frac{1}{2}
\end{bmatrix}.
\]
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{用伴随矩阵求逆矩阵}
\begin{example}
求 $A=\begin{bmatrix}1 & 1 & -1\\
1 & 2 & -3\\
0 & 1 & 1
\end{bmatrix}$ 的逆矩阵.
\end{example}

\begin{sol*}
由于 $|A|=\begin{vmatrix}1 & 1 & -1\\
1 & 2 & -3\\
0 & 1 & 1
\end{vmatrix}=3\neq0$,
\[
\begin{array}{ccc}
A_{11}=(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}2 & -3\\
1 & 1
\end{vmatrix}, & A_{12}=(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}1 & -3\\
0 & 1
\end{vmatrix}, & A_{13}=(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}1 & 2\\
0 & 1
\end{vmatrix},\\
A_{21}=(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}1 & -1\\
1 & 1
\end{vmatrix}, & A_{22}=(-1)^{2+2}\begin{vmatrix}1 & -1\\
0 & 1
\end{vmatrix}, & A_{23}=(-1)^{2+3}\begin{vmatrix}1 & 1\\
0 & 1
\end{vmatrix},\\
A_{31}=(-1)^{3+1}\begin{vmatrix}1 & -1\\
2 & -3
\end{vmatrix}, & A_{32}=(-1)^{3+2}\begin{vmatrix}1 & -1\\
1 & -3
\end{vmatrix}, & A_{33}=(-1)^{3+3}\begin{vmatrix}1 & 1\\
1 & 2
\end{vmatrix}.
\end{array}
\]
\[
A_{11}=5,\ A_{12}=-1,\ A_{13}=1,\ A_{21}=-2,\ A_{22}=1,\ A_{23}=-1,\ A_{31}=-1,\ A_{32}=2,\ A_{33}=1.
\]
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
于是 $A$ 的伴随矩阵 $A^{*}=\begin{bmatrix}5 & -2 & -1\\
-1 & 1 & 2\\
1 & -1 & 1
\end{bmatrix}$, $A$ 的逆矩阵为
\[
A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*}=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}5 & -2 & -1\\
-1 & 1 & 2\\
1 & -1 & 1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{5}{3} & -\frac{2}{3} & -\frac{1}{3}\\
-\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3}\\
\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3}
\end{bmatrix}.
\]
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{用伴随矩阵求逆矩阵}
\begin{example}
已知 $A=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 3 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 4 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 5
\end{bmatrix}$, 试用伴随矩阵法求 $A^{-1}$.
\end{example}

\begin{sol*}
因 $|A|=5!\neq0$, 故 $A^{-1}$ 存在. 由伴随矩阵法得
\[
\begin{aligned}A^{-1}= & \frac{A^{*}}{|A|}=\frac{1}{5!}\begin{bmatrix}2\cdot3\cdot4\cdot5 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1\cdot3\cdot4\cdot5 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\cdot2\cdot4\cdot5 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\cdot2\cdot3\cdot5 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1\cdot2\cdot3\cdot4
\end{bmatrix}\\
 & =\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1/2 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1/3 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1/4 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1/5
\end{bmatrix}.
\end{aligned}
\]
\end{sol*}
\end{frame}

\subsection{逆矩阵的运算性质}
\begin{frame}{逆矩阵的运算性质}

(1) 若矩阵 $A$ 可逆, 则 $A^{-1}$ 也可逆, 且 $\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$;

(2) 若矩阵 $A$ 可逆, 数 $k\neq0$, 则 $(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$;

(3) 两个同阶可逆矩阵 $A,B$ 的乘积是可逆矩阵, 且

\[
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\text{; }
\]

(4) 若矩阵 $A$ 可逆, 则 $A^{T}$ 也可逆, 且有 $\left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}$;

(5) 若矩阵 $A$ 可逆, 则 $\left|A^{-1}\right|=|A|^{-1}$.
\end{frame}

\subsection{矩阵方程}
\begin{frame}{矩阵方程}

对标准矩阵方程

\[
\begin{aligned}AX & =B,\\
XA & =B,\\
AXB & =C,
\end{aligned}
\]

利用矩阵乘法的运算规律和逆矩阵的运算性质, 通过在方程两边左乘或右乘相应的矩阵的逆矩阵, 可求出其解分别为

\[
\begin{aligned}X & =A^{-1}B,\\
X & =BA^{-1},\\
X & =A^{-1}CB^{-1},
\end{aligned}
\]

而其它形式的矩阵方程, 则可通过矩阵的有关运算性质转化为标准矩阵方程后进行求解.
\end{frame}
%
\begin{frame}{矩阵方程}
\begin{example}
设有线性方程组:

\begin{equation}
\begin{cases}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\
\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\
a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}=b_{n}
\end{cases}\label{eq:3.4-1}
\end{equation}

假定这个方程组的系数矩阵为 $A$, 则方程组可改写为 
\begin{equation}
Ax=b,\label{eq:3.4-2}
\end{equation}
其中 $x=\begin{bmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
\vdots\\
x_{n}
\end{bmatrix}$, $b=\begin{bmatrix}b_{1}\\
b_{2}\\
\vdots\\
b_{n}
\end{bmatrix}$.

当 $|A|\neq0$ 时, $A^{-1}$ 存在. 用 $A^{-1}$ 左乘 (\ref{eq:3.4-2}) 式得
$A^{-1}(Ax)=A^{-1}b$, 即 $x=A^{-1}b$.
\end{example}

\end{frame}
%
\begin{frame}{矩阵方程}
\begin{example}
设 $A,B,C$ 是同阶矩阵, 且 $A$ 可逆, 下列结论如果正确, 试证明之, 如果不正确, 试举反例说明之.

(1) 若 $AB=AC$, 则 $B=C$;

(2) 若 $AB=CB$, 则 $A=C$.
\end{example}

\begin{sol*}
(1) 正确. 因为若 $AB=AC$, 等式两边同时左乘以 $A^{-1}$, 有
\[
A^{-1}AB=A^{-1}AC\Longrightarrow EB=EC\Longrightarrow B=C.
\]
证毕.

(2) 不正确. 例如, 设
\[
A=\begin{bmatrix}1 & 2\\
0 & 1
\end{bmatrix},\ B=\begin{bmatrix}1 & 1\\
1 & 1
\end{bmatrix},\ C=\begin{bmatrix}3 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix},
\]
则 $AB=\begin{bmatrix}1 & 2\\
0 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 1\\
1 & 1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3 & 3\\
1 & 1
\end{bmatrix},$ $CB=\begin{bmatrix}3 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 1\\
1 & 1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3 & 3\\
1 & 1
\end{bmatrix}$. 显然有 $AB=AC$, 但 $A\neq C$.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{矩阵方程}
\begin{example}
设 $A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\
2 & 2 & 1\\
3 & 4 & 3
\end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}2 & 1\\
5 & 3
\end{bmatrix}$, $C=\begin{bmatrix}1 & 3\\
2 & 0\\
3 & 1
\end{bmatrix}$, 求矩阵 $X$ 使满足 $AXB=C$.
\end{example}

\begin{sol*}
由于 $|A|=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\
2 & 2 & 1\\
3 & 4 & 3
\end{vmatrix}=2\neq0$, $|B|=\begin{vmatrix}2 & 1\\
5 & 3
\end{vmatrix}=1\neq0$, 所以 $A^{-1},B^{-1}$ 都存在. 且 $A^{-1}=\begin{bmatrix}1 & 3 & -2\\
-3/2 & -3 & 5/2\\
1 & 1 & -1
\end{bmatrix}$. 同理 $B^{-1}=\begin{bmatrix}3 & -1\\
-5 & 2
\end{bmatrix}$,

又由 $AXB=C\Longrightarrow A^{-1}AXBB^{-1}=A^{-1}CB^{-1}$.

即 $X=A^{-1}CB^{-1}=\begin{bmatrix}1 & 3 & -2\\
-3/2 & -3 & 5/2\\
1 & 1 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 3\\
2 & 0\\
3 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3 & -1\\
-5 & 2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2 & 1\\
10 & -4\\
-10 & 4
\end{bmatrix}$.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{矩阵方程}
\begin{example}
设矩阵 $A,B$ 满足 $A^{*}BA=2BA-8E$, 其中 $A=\begin{bmatrix}1\\
 & -2\\
 &  & 1
\end{bmatrix}$, $A^{*}$ 为 $A$ 的的伴随矩阵, $E$为单位矩阵, 求矩阵 $B$.
\end{example}

\begin{sol*}
由于 $|A|=-2\neq0$, 故 $A$ 可逆, 从而 $A^{*}=|A|\cdot A^{-1}=-2A^{-1}$.
又 
\[
A^{*}BA=2BA-8E\Longleftrightarrow A^{*}BA-2BA=-8E\Longleftrightarrow\left(A^{*}-2E\right)BA=-8E,
\]
其中, $A^{*}-2E=-2A^{-1}-2E=-2\left(\begin{bmatrix}1\\
 & -1/2\\
 &  & 1
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\\
 & 1\\
 &  & 1
\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}-4\\
 & -1\\
 &  & -4
\end{bmatrix}$,
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
显然可逆, 因此得到
\[
\begin{aligned}B & =\left(A^{*}-2E\right)^{-1}(-8E)A^{-1}=-8\left(A^{*}-2E\right)^{-1}A^{-1}\\
 & =(-8)\begin{bmatrix}-1/4\\
 & -1\\
 &  & -1/4
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\
 & -1/2\\
 &  & 1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\
 & -4\\
 &  & 2
\end{bmatrix}.
\end{aligned}
\]
\end{sol*}
\begin{rem*}
当对角矩阵 $A=\mathrm{diag}\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)$ 可逆时,
其逆矩阵 $A^{-1}=\mathrm{diag}\left(\frac{1}{a_{1}},\frac{1}{a_{2}},\cdots,\frac{1}{a_{n}}\right)$.
\end{rem*}
%
\begin{rem*}
在矩阵运算中, 提取因式中 $A^{*}-2E$ 不能忘记后面一项中的单位阵 $E$, 尽管有时默认 $A^{*}-2$ 意味着
$A^{*}-2E$, 但不能与 $A^{*}-\begin{bmatrix}2 & 2 & 2\\
2 & 2 & 2\\
2 & 2 & 2
\end{bmatrix}$ 混淆.
\end{rem*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{矩阵方程}
\begin{example}
设三阶矩阵 $A,B$ 满足关系: $A^{-1}BA=6A+BA$, 且

\[
A=\begin{bmatrix}1/2 & 0 & 0\\
0 & 1/4 & 0\\
0 & 0 & 1/7
\end{bmatrix},
\]

求 $B$.
\end{example}

\begin{sol*}
由 $A^{-1}BA-BA=6A\Longrightarrow\left(A^{-1}-E\right)BA=6A\Longrightarrow\left(A^{-1}-E\right)B=6E$,
所以
\begin{align*}
B & =6\left(A^{-1}-E\right)^{-1}=6\left(\begin{bmatrix}2 & 0 & 0\\
0 & 4 & 0\\
0 & 0 & 7
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\right)^{-1}=6\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 3 & 0\\
0 & 0 & 6
\end{bmatrix}^{-1}\\
 & =6\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 1/3 & 0\\
0 & 0 & 1/6
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}.
\end{align*}
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{矩阵的幂}
\begin{example}
设 $P=\begin{bmatrix}1 & 2\\
1 & 4
\end{bmatrix}$, $\Lambda=\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 2
\end{bmatrix}$, $AP=P\Lambda$, 求 $A^{n}$.
\end{example}

\begin{sol*}
$|P|=2$, $P^{-1}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}4 & -2\\
-1 & 1
\end{bmatrix}$.
\[
A=P\Lambda P^{-1},\ A^{2}=P\Lambda P^{-1}P\Lambda P^{-1}=P\Lambda^{2}P^{-1},\ \cdots,\!A^{n}=P\Lambda^{n}P^{-1},
\]
而 $\Lambda^{2}=\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 2^{2}
\end{bmatrix}$, $\cdots$, $\Lambda^{n}=\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 2^{n}
\end{bmatrix}$, 故
\begin{align*}
A^{n} & =\begin{bmatrix}1 & 2\\
1 & 4
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 2^{n}
\end{bmatrix}\frac{1}{2}\begin{bmatrix}4 & -2\\
-1 & 1
\end{bmatrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1 & 2^{n+1}\\
1 & 2^{n+2}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4 & -2\\
-1 & 1
\end{bmatrix}\\
 & =\frac{1}{2}\begin{bmatrix}4-2^{n+1} & 2^{n+1}-2\\
4-2^{n+2} & 2^{n+2}-2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2-2^{n} & 2^{n}-1\\
2-2^{n+1} & 2^{n+1}-1
\end{bmatrix}.
\end{align*}
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{矩阵的逆}
\begin{example}
设方阵 $A$ 满足方程 $aA^{2}+bA+cE=O$, 证明 $A$ 为可逆矩阵, 并求 $A^{-1}$, ($a,b,c$
为常数, $c\neq0)$.
\end{example}

\begin{proof}
由
\[
aA^{2}+bA+cE=O\Longrightarrow aA^{2}+bA=-cE\text{, }
\]
又由于$c\neq0$, 所以 $-\frac{a}{c}A^{2}-\frac{b}{c}A=E\Longrightarrow\left(-\frac{a}{c}A-\frac{b}{c}E\right)A=E$,
由推论 \ref{cor:3.2-1} 知, $A$ 可逆, 且 $A^{-1}=-\frac{a}{c}A-\frac{b}{c}E$.
\end{proof}
\end{frame}

\subsection{作业}
\begin{frame}[allowframebreaks]{作业}
\begin{problem}
求方阵 $A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\
2 & 2 & 1\\
3 & 4 & 3
\end{bmatrix}$ 的逆矩阵.
\end{problem}

\begin{problem}
设 $A,B,C$ 是同阶矩阵, 且 $A$ 可逆, 下列结论如果正确, 试证明之, 如果不正确, 试举反例说明之.

(1) 若 $AB=O$, 则 $B=O$;

(2) 若 $BC=O$, 则 $B=O$.
\end{problem}

\begin{problem}
设 $A,B$ 是 $n$ 阶方阵, 满足 $A,B$ 和 $AB-E$ 都可逆, 证明: 

(1). $A-B^{-1}$ 可逆, 并求其逆阵; 

(2). $\left(A-B^{-1}\right)^{-1}-A^{-1}$ 也可逆, 并求其逆阵.
\end{problem}

\begin{problem}
设 $n$ 阶方阵 $A$ 适合 
\[
a_{0}A^{m}+a_{1}A^{m-1}+\cdots+a_{m-1}A+a_{m}E_{n}=0,
\]
其中 $m\ge1$, $a_{0}a_{m}\neq0$. 证明: 方阵 $A$ 可逆, 并求 $A^{-1}$. 
\end{problem}

\begin{problem}
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵, 如果存在正整数 $k$, 使得 $A^{k}=O$, 则称 $A$ 是幂零阵. 此时,
使得 $A^{k}=O$ 成立的最小正整数称为方阵 $A$ 的幂零指数. 

设 $A$ 为幂零矩阵, 且幂零指数是 $k$, 证明: $E-A$ 可逆, 并求 $(E-A)^{-1}$. 
\end{problem}

\begin{problem}
设 $A$ 是 $n$ 阶方阵. 

(1). 如果 $A$ 满足 $A^{3}+3A^{2}+3A=O$, 证明: $A+2E$ 可逆, 并求 $(A+2E)^{-1}$; 

(2). 如果 $A$ 满足 $A^{3}+E=O$, 证明: $A^{2}+E$ 可逆, 并求 $\left(A^{2}+E\right)^{-1}$.
\end{problem}

\begin{problem}
求解矩阵方程 $\begin{bmatrix}1 & -5\\
-1 & 4
\end{bmatrix}X=\begin{bmatrix}3 & 2\\
1 & 4
\end{bmatrix}$.
\end{problem}

\end{frame}