\section{分块矩阵}

\subsection{分块矩阵的概念}
\begin{frame}{分块矩阵的概念}
\begin{itemize}
\item 对于行数和列数较高的矩阵;
\item 为了简化运算, 经常采用分块法;
\item 使大矩阵的运算化成若干小矩阵间的运算;
\item 同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰. 
\end{itemize}
具体做法是: 将大矩阵用若干条纵线和横线分成多个小矩阵. 每个小矩阵称为 $A$ 的\textbf{子块}, \textbf{以子块为元素}的形式上的矩阵称为\textbf{分块矩阵}.

矩阵的分块有多种方式, 可根据具体需要而定.
\begin{rem*}
一个矩阵也可看作以 $m\times n$ 个元素为 $1$ 阶子块的分块矩阵.
\end{rem*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{分块矩阵}
\begin{example}
设 $A=\begin{bNiceArray}{ccc:c}
1 & 3 & -1 & 0 \\ 
2 & 5 & 0 & -2 \\
\hdottedline
3 & 1 & -1 & 3
\end{bNiceArray}$, 则 $A$ 就是一个分块矩阵. 若记
\[
\begin{array}{ll}
A_{11}=\begin{bmatrix}1 & 3 & -1\\
2 & 5 & 0
\end{bmatrix}, & A_{12}=\begin{bmatrix}0\\
-2
\end{bmatrix},\\
A_{21}=(3,1,-1), & A_{22}=(3),
\end{array}
\]
则 $A$ 可表示为
\[
A=\begin{bmatrix}A_{11} & A_{12}\\
A_{21} & A_{22}
\end{bmatrix},
\]
这是一个分成了 4 块的分块矩阵.
\end{example}

\end{frame}
%
\begin{frame}{分块矩阵}
\begin{example}
设 $A=\begin{bNiceArray}{cc:cc:c}
1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 
-1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
\hdottedline
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
\hdottedline
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{bNiceArray}$, 则 $A$ 是一个分了块的矩阵, 且 $A$ 的分块有一个特点, 若记
\[
A_{1}=\begin{bmatrix}1 & 1\\
-1 & 1
\end{bmatrix},\ A_{2}=\begin{bmatrix}1 & 0\\
1 & 1
\end{bmatrix},\ A_{3}=(1),
\]
\[
A=\begin{bmatrix}A_{1} & O & O\\
O & A_{2} & O\\
O & O & A_{3}
\end{bmatrix},
\]
即 $A$ 作为分块矩阵来看, 除了主对角线上的块外, 其余各块都是零矩阵, 以后我们会看到这种分块成对角形状的矩阵在运算上是比较简便的.
\end{example}

\end{frame}

\subsection{分块矩阵的运算}
\begin{frame}[allowframebreaks]{分块矩阵的运算}

分块矩阵的运算与普通矩阵的运算规则相似. 分块时要注意, 运算的两矩阵按块能运算, 并且参与运算的子块也能运算, 即, 内外都能运算.
\begin{enumerate}
\item 设矩阵 $A$ 与 $B$ 的行数相同, 列数相同, 采用相同的分块法, 若
\[
A=\begin{bmatrix}A_{11} & \cdots & A_{1t}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
A_{s1} & \cdots & A_{st}
\end{bmatrix},\ B=\begin{bmatrix}B_{11} & \cdots & B_{1t}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
B_{s1} & \cdots & B_{st}
\end{bmatrix},
\]
其中 $A_{ij}$ 与 $B_{ij}$ 的行数相同, 列数相同, 则
\[
A+B=\begin{bmatrix}A_{11}+B_{11} & \cdots & A_{1t}+B_{1t}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
A_{s1}+B_{s1} & \cdots & A_{st}+B_{st}
\end{bmatrix}.
\]
\item 设 $A=\begin{bmatrix}A_{11} & \cdots & A_{1t}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
A_{s1} & \cdots & A_{st}
\end{bmatrix}$, $k$ 为数, 则 $kA=\begin{bmatrix}kA_{11} & \cdots & kA_{1t}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
kA_{s1} & \cdots & kA_{st}
\end{bmatrix}$.
\item 设 $A$ 为 $m\times l$ 矩阵, $B$ 为 $l\times n$ 矩阵, 分块成
\[
A=\begin{bmatrix}A_{11} & \cdots & A_{1t}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
A_{s1} & \cdots & A_{st}
\end{bmatrix},\ B=\begin{bmatrix}B_{11} & \cdots & B_{1r}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
B_{t1} & \cdots & B_{tr}
\end{bmatrix},
\]
其中 $A_{p1},A_{p2},\cdots,A_{pt}$ 的列数分别等于 $B_{1q},B_{2q},\cdots,B_{tq}$
的行数, 则
\[
AB=\begin{bmatrix}C_{11} & \cdots & C_{1r}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
C_{s1} & \cdots & C_{sr}
\end{bmatrix},
\]
其中 $C_{pq}=\sum_{k=1}^{t}A_{pk}B_{kq}$, ($p=1,2,\cdots,s;\ q=1,2,\cdots,r$).
\item \textbf{分块矩阵的转置}, 设 $A=\begin{bmatrix}A_{11} & \cdots & A_{1t}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
A_{s1} & \cdots & A_{st}
\end{bmatrix}$, 则 $A^{T}=\begin{bmatrix}A_{11}^{T} & \cdots & A_{s1}^{T}\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
A_{1t}^{T} & \cdots & A_{st}^{T}
\end{bmatrix}$.
\item 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵, 若 $A$ 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且在对角线上的子块都是方阵,
即
\[
A=\begin{bmatrix}A_{1} &  &  & O\\
 & A_{2}\\
 &  & \ddots\\
O &  &  & A_{s}
\end{bmatrix},
\]
其中 $A_{i}$ ($i=1,2,\cdots,s$) 都是方阵, 则称 $A$ 为\textbf{分块对角矩阵}. \\
分块对角矩阵具有以下性质: 
\begin{enumerate}
\item 若 $\left|A_{i}\right|\neq0$, ($i=1,2,\cdots,s$), 则 $|A|\neq0$,
且 $|A|=\left|A_{1}\right|\left|A_{2}\right|\cdots\left|A_{s}\right|$;
\item $A^{-1}=\begin{bmatrix}A_{1}^{-1} &  &  & O\\
 & A_{2}^{-1}\\
 &  & \ddots\\
O &  &  & A_{s}^{-1}
\end{bmatrix}$.
\item 同结构的对角分块矩阵的和、差、积、商仍是对角分块矩阵. 且运算表现为对应子块的运算.
\end{enumerate}
\item 形如
\end{enumerate}
\[
\begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1s}\\
0 & A_{22} & \cdots & A_{2s}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & A_{ss}
\end{bmatrix}\text{ 或 }\begin{bmatrix}A_{11} & 0 & \cdots & 0\\
A_{21} & A_{22} & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
A_{s1} & A_{s2} & \cdots & A_{ss}
\end{bmatrix}
\]
的分块矩阵, 分别称为\textbf{上三角分块矩阵}或\textbf{下三角分块矩阵}, 其中 $A_{pp}$ ($p=1,2,\cdots,s$)
是方阵. 同结构的上 (下) 三角分块矩阵的和、差、积、商仍是上 (下) 三角分块矩阵.
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{分块矩阵的运算}
\begin{example}
设矩阵 $A=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 3\\
0 & 1 & 2 & 4\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 0\\
2 & 0 & 0 & 0\\
6 & 3 & 1 & 0\\
0 & -2 & 0 & 1
\end{bmatrix}$, 用分块矩阵计算 $kA,A+B$.
\end{example}

\begin{sol*}
将矩阵计算 $A,B$ 分块如下:

\[
A=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 3\\
0 & 1 & 2 & 4\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}E & C\\
O & -E
\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 0\\
2 & 0 & 0 & 0\\
6 & 3 & 1 & 0\\
0 & -2 & 0 & 1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}D & O\\
F & E
\end{bmatrix},
\]
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
\textcolor{gray}{将矩阵计算 $A,B$ 分块如下:}

\textcolor{gray}{
\[
A=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 3\\
0 & 1 & 2 & 4\\
0 & 0 & -1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}E & C\\
O & -E
\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 0\\
2 & 0 & 0 & 0\\
6 & 3 & 1 & 0\\
0 & -2 & 0 & 1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}D & O\\
F & E
\end{bmatrix},
\]
}则 $A=k\begin{bmatrix}E & C\\
O & -E
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}kE & kC\\
O & -kE
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}k & 0 & k & 3k\\
0 & k & 2k & 4k\\
0 & 0 & -k & 0\\
0 & 0 & 0 & -k
\end{bmatrix}$, 

\[
A+B=\begin{bmatrix}E & C\\
O & -E
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}D & O\\
F & E
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}E+D & C\\
F & O
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 & 2 & 1 & 3\\
2 & 1 & 2 & 4\\
6 & 3 & 0 & 0\\
0 & -2 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
\]
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{分块矩阵的运算}
\begin{example}
设 $A=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
-1 & 2 & 1 & 0\\
1 & 1 & 0 & 1
\end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 0\\
-1 & 2 & 0 & 1\\
1 & 0 & 4 & 1\\
-1 & -1 & 2 & 0
\end{bmatrix}$, 求 $AB$.
\end{example}

\begin{sol*}
把 $A,B$ 分块成
\[
A=\begin{bmatrix}E & O\\
A_{1} & E
\end{bmatrix},\ B=\begin{bmatrix}B_{11} & E\\
B_{21} & B_{22}
\end{bmatrix},
\]
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
\textcolor{gray}{把 $A,B$ 分块成
\[
A=\begin{bmatrix}E & O\\
A_{1} & E
\end{bmatrix},\ B=\begin{bmatrix}B_{11} & E\\
B_{21} & B_{22}
\end{bmatrix},
\]
}则 $AB=\begin{bmatrix}E & O\\
A_{1} & E
\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}B_{11} & E\\
B_{21} & B_{22}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}B_{11} & E\\
A_{1}B_{11}+B_{21} & A_{1}+B_{22}
\end{bmatrix}$. 又
\begin{align*}
A_{1}B_{11}+B_{21} & =\begin{bmatrix}-1 & 2\\
1 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0\\
-1 & 2
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1 & 0\\
-1 & -1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3 & 4\\
0 & 2
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1 & 0\\
-1 & -1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2 & 4\\
-1 & 1
\end{bmatrix}\\
A_{1}+B_{22} & =\begin{bmatrix}-1 & 2\\
1 & 1
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}4 & 1\\
2 & 0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3 & 3\\
3 & 1
\end{bmatrix},\\
AB & =\begin{bmatrix}B_{11} & E\\
A_{1}B_{11}+B_{21} & A_{1}+B_{22}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1 & 0\\
-1 & 2 & 0 & 1\\
-2 & 4 & 3 & 3\\
-1 & 1 & 3 & 1
\end{bmatrix}.
\end{align*}
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{分块矩阵的运算}
\begin{example}
设 $A=\begin{bNiceArray}{cc|c|cc}
1 & 0 & 2 & -1 & 0 \\ 
0 & 1 & 1 & -2 & 1 \\
\hline
0 & 0 & 3 & 1 & 0 \\
1 & 0 & -2 & 0 & 1
\end{bNiceArray}$, $B=\begin{bNiceArray}{cc|c}
1 & 0 & 2 \\ 
0 & 1 & 0 \\
\hline
-1 & 1 & 3 \\
\hline
2 & 0 & 1
\end{bNiceArray}$, 也可写为
\[
A=\begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} & A_{13}\\
A_{21} & A_{22} & A_{23}
\end{bmatrix},\ B=\begin{bmatrix}B_{11} & B_{12}\\
B_{21} & B_{22}\\
B_{31} & B_{32}
\end{bmatrix}.
\]
设 $C=AB$, 易见 $C$ 是 $2\times2$ 分块矩阵, 若记 $C=\begin{bmatrix}C_{11} & C_{12}\\
C_{21} & C_{22}
\end{bmatrix}$, 则 
\begin{align*}
C_{11} & =A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}+A_{13}B_{31}\\
 & =\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\\
1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1 & 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-1 & 0\\
-2 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 1\\
2 & 0
\end{bmatrix}\\
 & =\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-2 & 2\\
-1 & 1
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 & -1\\
2 & -2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1 & 1\\
1 & 0
\end{bmatrix},
\end{align*}
\end{example}

\begin{example}
$A=\begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} & A_{13}\\
A_{21} & A_{22} & A_{23}
\end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}B_{11} & B_{12}\\
B_{21} & B_{22}\\
B_{31} & B_{32}
\end{bmatrix}$, $C=\begin{bmatrix}C_{11} & C_{12}\\
C_{21} & C_{22}
\end{bmatrix}$,
\begin{align*}
C_{12} & =A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}+A_{13}B_{32}\\
 & =\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\
2
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\\
1
\end{bmatrix}(3)+\begin{bmatrix}-1 & 0\\
-2 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\\
1
\end{bmatrix}\\
 & =\begin{bmatrix}2\\
0
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}6\\
3
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\\
3
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}9\\
6
\end{bmatrix},
\end{align*}
\begin{align*}
C_{21} & =A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21}+A_{23}B_{31}\\
 & =\begin{bmatrix}0 & 0\\
1 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\\
-2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1 & 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 1\\
2 & 0
\end{bmatrix}\\
 & =\begin{bmatrix}0 & 0\\
1 & 0
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-3 & 3\\
2 & -2
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 & 1\\
2 & 0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3 & 4\\
5 & -2
\end{bmatrix},
\end{align*}
\end{example}

\begin{example}
$A=\begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} & A_{13}\\
A_{21} & A_{22} & A_{23}
\end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}B_{11} & B_{12}\\
B_{21} & B_{22}\\
B_{31} & B_{32}
\end{bmatrix}$, $C=\begin{bmatrix}C_{11} & C_{12}\\
C_{21} & C_{22}
\end{bmatrix}$,
\begin{align*}
C_{22} & =A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22}+A_{23}B_{32}\\
 & =\begin{bmatrix}0 & 0\\
1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\
0
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\\
-2
\end{bmatrix}(3)+\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\\
1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8\\
-3
\end{bmatrix},
\end{align*}
则 $C_{11}=\begin{bmatrix}-1 & 1\\
1 & 0
\end{bmatrix}$, $C_{12}=\begin{bmatrix}9\\
6
\end{bmatrix}$, $C_{21}=\begin{bmatrix}-3 & 4\\
5 & -2
\end{bmatrix}$, $C_{22}=\begin{bmatrix}8\\
-3
\end{bmatrix}$, 

于是 $C=\begin{bmatrix}C_{11} & C_{12}\\
C_{21} & C_{22}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1 & 1 & 9\\
1 & 0 & 6\\
-3 & 4 & 8\\
5 & -2 & -3
\end{bmatrix}$.
\end{example}

\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{分块矩阵的运算}
\begin{example}[\textrm{$\star\star\star\star\star$}]
 如果将矩阵 $A_{m\times n}$, $E_{n}$ 分块为$$A=\begin{bNiceArray}{c|c|c|c}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bNiceArray}=\begin{bmatrix}
A_1 & A_2 & \cdots & A_n
\end{bmatrix},\ E=\begin{bNiceArray}{c|c|c|c}
1 & 0 & \cdots & 0 \\ 
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{bNiceArray}=\begin{bmatrix}
\varepsilon_1 & \varepsilon_2 & \cdots & \varepsilon_n
\end{bmatrix},$$则
\[
\begin{aligned}AE_{n} & =A\begin{bmatrix}\varepsilon_{1} & \varepsilon_{2} & \cdots & \varepsilon_{n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A\varepsilon_{1} & A\varepsilon_{2} & \cdots & A\varepsilon_{n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_{1} & A_{2} & \cdots & A_{n}\end{bmatrix}\\
 & \Rightarrow A\varepsilon_{j}=A_{j},\quad(j=1,2,\cdots,n).
\end{aligned}
\]
\end{example}

\begin{rem}
已知点 $P(x,y)$, 点 $P'$ 是点 $P$ 绕原点 $O$ 顺时针旋转 $\theta$ 角得到的, 求点 $P'$
的坐标. 先用复数法推导, 设点 $P$ 的复坐标为 $z=x+\ui y$, 旋转后 $P'$ 的复坐标为 $z'=x'+\ui y'$,
由于 $P'$ 为 $P$ 绕原点 $O$ 顺时针旋转 $\theta$ 得到, 所以
\[
z'=z\ue^{-\ui\theta}\Longrightarrow x'+\ui y'=(x+\ui y)\ue^{-\ui\theta}=\left(x+\ui y\right)\left(\cos\theta-\ui\sin\theta\right),
\]
比较实虚部便得
\[
\begin{cases}
x'=x\cos\theta+y\sin\theta\\
y'=-x\sin\theta+y\cos\theta
\end{cases}\Longrightarrow\begin{bmatrix}x'\\
y'
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta & \sin\theta\\
-\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\
y
\end{bmatrix}.
\]

根据前面的表述, 矩阵 $A=\begin{bmatrix}\cos\theta & \sin\theta\\
-\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}$ 为旋转矩阵, 将其每一列进行分块 $A=\begin{bmatrix}A_{1} & A_{2}\end{bmatrix}$,
则有 $A_{1}=A\varepsilon_{1}$, $A_{2}=A\varepsilon_{2}$. 从几何上来看, 矩阵的列
$A_{1},A_{2}$ 分别是两个坐标轴上的单位向量 $\varepsilon_{1},\varepsilon_{2}$ 经过旋转矩阵
$A$ 左乘得到的点, 也就是经过顺时针旋转 $\theta$ 角之后的位置. 使用类似的方法, 可以给出逆时针旋转 $\theta$
角的旋转矩阵.
\end{rem}

\begin{rem*}
{\color{red}{矩阵按行 (列) 分块是最常见的一种分块方法. 一般地, $m\times n$ 矩阵 $A$ 有
$m$ 行, 称为\textbf{矩阵 $A$ 的 $m$ 个行向量}, 若第 $i$ 行记作
\[
\alpha_{i}^{T}=\left(\alpha_{i1},\alpha_{i2},\cdots,\alpha_{in}\right),
\]

则矩阵 $A$ 就可表示为\vspace{-3mm}

\[
A=\begin{bmatrix}\alpha_{1}^{T}\\
\alpha_{2}^{T}\\
\vdots\\
\alpha_{m}^{T}
\end{bmatrix}.
\]

$m\times n$ 矩阵 $A$ 有 $n$ 列, 称为\textbf{矩阵 $A$ 的 $n$ 个列向量}, 若第
$j$ 列记作\vspace{-3mm}

\[
\alpha_{j}=\begin{bmatrix}\alpha_{1j}\\
\alpha_{2j}\\
\vdots\\
\alpha_{mj}
\end{bmatrix},
\]

则 $A=\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\right)$.}}
\end{rem*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{分块矩阵的运算}
\begin{example}
设 $A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵, $B$ 是一个 $n\times l$ 矩阵, 同样, 可对 $A$
作行分块, 即将 $A$ 的每一行作为一块, 则
\[
A=\begin{bmatrix}\alpha_{1}\\
\alpha_{2}\\
\vdots\\
\alpha_{m}
\end{bmatrix},
\]
其中 $\alpha_{i}=\left(\alpha_{i1},\alpha_{i2},\cdots,\alpha_{in}\right)$,
($i=1,2,\cdots,m$), 是 $A$ 的第 $i$ 行. 这时也将 $B$ 看成 $1\times1$ 分块矩阵,
则有 
\[
AB=\begin{bmatrix}\alpha_{1}B\\
\alpha_{2}B\\
\vdots\\
\alpha_{4}B
\end{bmatrix}.
\]
\end{example}

\end{frame}
%
\begin{frame}{分块矩阵的运算}
\begin{example}
\label{exa:4.2-8} 设有二个分块对角阵:
\[
A=\begin{bmatrix}A_{1} &  &  & 0\\
 & A_{2}\\
 &  & \ddots\\
0 &  &  & A_{k}
\end{bmatrix},\ B=\begin{bmatrix}B_{1} &  &  & 0\\
 & B_{2}\\
 &  & \ddots\\
0 &  &  & B_{k}
\end{bmatrix}.
\]
其中矩阵 $A_{i}$ 与 $B_{i}$ 都是 $n_{i}$ 阶方阵 (因此 $A,B$ 是同阶方阵), 因此 $A_{i}$
与 $B_{i}$ 可以相乘, 用分块矩阵的乘法不难求得
\[
AB=\begin{bmatrix}A_{1}B_{1} &  &  & 0\\
 & A_{2}B_{2}\\
 &  & \ddots\\
0 &  &  & A_{k}B_{k}
\end{bmatrix},
\]
即分块对角阵相乘时只需将主对角线上的块乘起来即可.
\end{example}

\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{分块矩阵的运算}
\begin{example}
设 $A$ 是一个分块对角矩阵: $A=\begin{bmatrix}A_{1} &  &  & O\\
 & A_{2}\\
 &  & \ddots\\
O &  &  & A_{k}
\end{bmatrix}$, 且每块 $A_{i}$ 都是非奇异方阵 (因此 $A$ 也是方阵), 则 $A$ 也是非奇异方阵且 $A^{-1}=\begin{bmatrix}A_{1}^{-1} &  &  & O\\
 & A_{2}^{-1}\\
 &  & \ddots\\
O &  &  & A_{k}^{-1}
\end{bmatrix}$.
\end{example}

\begin{sol*}
\textrm{事实是由例 \ref{exa:4.2-8} 知}
\[
A\begin{bmatrix}A_{1}^{-1} &  &  & 0\\
 & A_{2}^{-1}\\
 &  & \ddots\\
0 &  &  & A_{k}^{-1}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_{1}A_{1}^{-1}\\
 & A_{2}A_{2}^{-1}\\
 &  & \ddots\\
 &  &  & A_{k}A_{k}^{-1}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}E_{n_{1}}\\
 & E_{n_{2}}\\
 &  & \ddots\\
 &  &  & E_{n_{k}}
\end{bmatrix}=E,
\]
其中 $E_{n_{k}}$ 表示与 $A_{k}$ 同阶的单位阵, 一个分块对角阵主对角线上的块都是单位阵, 则它自己也是一个单位阵,
故 
\[
A^{-1}=\begin{bmatrix}A_{1}^{-1} &  &  & O\\
 & A_{2}^{-1}\\
 &  & \ddots\\
O &  &  & A_{k}^{-1}
\end{bmatrix}.
\]
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{用分块矩阵求逆矩阵}
\begin{example}
设 $A=\begin{bmatrix}5 & 0 & 0\\
0 & 3 & 1\\
0 & 2 & 1
\end{bmatrix}$, 求 $A^{-1}$.
\end{example}

\begin{sol*}
$A=\begin{bmatrix}5 & 0 & 0\\
0 & 3 & 1\\
0 & 2 & 1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_{1} & O\\
O & A_{2}
\end{bmatrix}$, $A_{1}=(5)$, $A_{2}=\begin{bmatrix}3 & 1\\
2 & 1
\end{bmatrix}$, $A_{1}^{-1}=\left(\frac{1}{5}\right)$, $A_{2}^{-1}=\begin{bmatrix}1 & -1\\
-2 & 3
\end{bmatrix}$; 所以
\[
A^{-1}=\begin{bmatrix}A_{1}^{-1} & O\\
O & A_{2}^{-1}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1}{5} & 0 & 0\\
0 & 1 & -1\\
0 & -2 & 3
\end{bmatrix}.
\]
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{如何证明矩阵是零矩阵 (\sout{矩阵的迹})}
\begin{example}
已知实矩阵 $A$ 满足 $A^{T}A=O$, 证明 $A=O$.
\end{example}

\begin{proof}
设 $A=\left(a_{ij}\right)_{m\times n}$, 把 $A$ 用列向量表示为 $A=\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\right)$,
则 \vspace{-3mm}
\[
A^{T}A=\begin{bmatrix}\alpha_{1}^{T}\\
\alpha_{2}^{T}\\
\vdots\\
\alpha_{n}^{T}
\end{bmatrix}\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\right)=\begin{bmatrix}\alpha_{1}^{T}\alpha_{1} & \alpha_{1}^{T}\alpha_{2} & \cdots & \alpha_{1}^{T}\alpha_{n}\\
\alpha_{2}^{T}\alpha_{1} & \alpha_{2}^{T}\alpha_{2} & \cdots & \alpha_{2}^{T}\alpha_{n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
\alpha_{n}^{T}\alpha_{1} & \alpha_{n}^{T}\alpha_{2} & \cdots & \alpha_{n}^{T}\alpha_{n}
\end{bmatrix},
\]
即 $A^{T}A$ 的 $(i,j)$ 元为 $\alpha_{i}^{T}\alpha_{j}$, 因 $A^{T}A=O$,
故 $\alpha_{i}^{T}\alpha_{j}=0$, ($i,j=1,2,\cdots,n$).

特别地, 有 $\alpha_{j}^{T}\alpha_{j}=0$, ($j=1,2,\cdots,n$), 而\vspace{-3mm}
\[
\alpha_{j}^{T}\alpha_{j}=\left(a_{1j},a_{2j},\cdots,a_{mj}\right)\begin{bmatrix}a_{1j}\\
a_{2j}\\
\vdots\\
a_{mj}
\end{bmatrix}=a_{1j}^{2}+a_{2j}^{2}+\cdots+a_{mj}^{2},
\]
由 $a_{1j}^{2}+a_{2j}^{2}+\cdots+a_{mj}^{2}=0$, (因 $a_{ij}$ 为实数)
得 $a_{1j}=a_{2j}=\cdots=a_{mj}=0$, ($j=1,2,\cdots,n$), 即 $A=O$.
证毕.
\end{proof}
\end{frame}
%

\subsection{作业}
\begin{frame}[allowframebreaks]{作业}
\begin{problem}
设 $A=\begin{bmatrix}a & 1 & 0 & 0\\
0 & a & 0 & 0\\
0 & 0 & b & 1\\
0 & 0 & 1 & b
\end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}a & 0 & 0 & 0\\
1 & a & 0 & 0\\
0 & 0 & b & 0\\
0 & 0 & 1 & b
\end{bmatrix}$, 用分块矩阵的方式求 $ABA$.
\end{problem}

\begin{problem}
设 $A$ 和 $B$ 是 $n$ 阶方阵, 计算 
\[
\begin{bmatrix}O & E_{n}\\
E_{n} & O
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A & O\\
O & B
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}O & E_{n}\\
E_{n} & O
\end{bmatrix}.
\]
\end{problem}

\begin{problem}
设方阵 $A$ 和 $B$ 可交换, 求 $\begin{bmatrix}A & B\\
O & A
\end{bmatrix}^{n}$.
\end{problem}

\begin{problem}
设方阵 $A$ 和 $B$ 分别为 $p$ 阶方阵和 $q$ 阶方阵, 证明:
\[
\begin{bmatrix}A & E\\
E & O
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}B & E\\
O & -A
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}AB & O\\
B & E
\end{bmatrix}.
\]
\end{problem}

\begin{problem}
分块方阵 $D=\begin{bmatrix}A & C\\
O & B
\end{bmatrix}$, 其中 $A,B$ 均为可逆方阵, 证明 $D$ 可逆, 并求 $D^{-1}$.
\end{problem}

\begin{problem}
\label{prob:2.4-19} 称方阵 
\[
C=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0
\end{bmatrix}_{n\times n}=\begin{bmatrix}0 & E_{n-1}\\
1 & 0
\end{bmatrix}
\]
为 $n$ 阶循环移位矩阵. 证明: 

(1). 用 $C$ 左乘矩阵, 相当于将这个矩阵的行向上移一行, 而第一行移到最后一行; 用 $C$ 右乘矩阵, 相当于将这个矩阵的列向右移一列,
而最后一列移到第一列; 

(2). $C^{k}=\begin{cases}
\begin{bmatrix}O & E_{n-k}\\
E_{k} & O
\end{bmatrix}, & k=1,2,\ldots,n-1,\\
E_{n}, & k=n.
\end{cases}$(接下一页.)
\end{problem}

\begin{problem*}[\ref{prob:2.4-19}]
 (3). 设 $J$ 是所有元素为 $1$ 的 $n$ 阶方阵, 则 
\[
E+C+C^{2}+\cdots+C^{n-1}=J;
\]

(4). 设 
\[
A=\begin{bmatrix}a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-1} & a_{n}\\
a_{n} & a_{1} & \cdots & a_{n-2} & a_{n-1}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
a_{3} & a_{4} & \cdots & a_{1} & a_{2}\\
a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n} & a_{1}
\end{bmatrix}
\]
称 $A$ 是循环矩阵, 则 
\[
A=a_{1}E+a_{2}C+a_{3}C^{2}+\cdots+a_{n}C^{n-1};
\]

(5) 两个 $n$ 阶循环阵的乘积仍是循环阵;
\end{problem*}
\end{frame}