\section{矩阵的初等变换}

\subsection{矩阵的初等变换}
\begin{frame}{矩阵的初等变换}

在计算行列式时, 利用行列式的性质可以将给定的行列时化为上 (下) 三角形行列式, 从而简化行列式的计算, 把行列式的某些性质引用到矩阵上,
会给我们研究矩阵带来很大的方便, 这些性质反映到矩阵上就是矩阵的初等变换.
\begin{defn}
矩阵的下列三种变换称为\textbf{矩阵的初等行变换}:

(1) 交换矩阵的两行 (交换 $i,j$ 两行, 记作 $r_{i}\leftrightarrow r_{j}$);

(2) 以一个非零的数 $k$ 乘矩阵的某一行 (第 $i$ 行乘数 $k$, 记作 $r_{i}\times k$);

(3) 把矩阵的某一行的 $k$ 倍加到另一行 (第 $j$ 行乘 $k$ 加到 $i$ 行, 记为 $r_{i}+kr_{j}$).

把定义中的 “行” 换成 “列”, 即得\textbf{矩阵的初等列变换}的定义 (相应记号中把 $r$ 换成 $c$).

初等行变换与初等列变换统称为\textbf{初等变换}.
\end{defn}

\begin{rem*}
初等变换的逆变换仍是初等变换, 且变换类型相同.
\end{rem*}
例如, 变换 $r_{i}\leftrightarrow r_{j}$ 的逆变换即为其本身; 变换 $r_{i}\times k$
的逆变换为 $r_{i}\times1/k$; 变换 $r_{i}+kr_{j}$ 的逆变换为 $r_{i}+(-k)r_{j}$
或 $r_{i}-kr_{j}$.
\end{frame}
%
\begin{frame}{矩阵之间的等价关系}
\begin{defn}
若矩阵 $A$ 经过有限次初等变换变成矩阵 $B$, 则称\textbf{矩阵 $A$ 与 $B$ 等价}, 记为 $A\sim B$,
(或 $A\rightarrow B$).
\end{defn}

\begin{rem*}
在理论表述或证明中, 常用记号 “$\sim$”, 在对矩阵作初等变换运算的过程中常用记号 “$\rightarrow$”.
\end{rem*}
矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:

(1) 反身性: $A\sim A$;

(2) 对称性: 若 $A\sim B$, 则 $B\sim A$;

(3) 传递性: 若 $A\sim B$, $B\sim C$, 则 $A\sim C$.

\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{行阶梯形矩阵}

一般地, 称满足下列条件的矩阵为\textbf{行阶梯形矩阵}:

(1). 零行 (元素全为零的行) 位于矩阵的下方;

(2). 各非零行的首非零元 (从左至右的一个不为零的元素) 的列标随着行标的增大而严格增大 (或说其列标一定不小于行标).

例如:

$$
\begin{bNiceMatrix}
\CodeBefore
\tikz \draw [fill=red!15] (2-|1) |- (4-|1) |- (4-|3) |- (3-|3) |- (3-|2) |- (2-|2) |- cycle ;
\tikz \draw [fill=blue!15] (1-|1) |- (2-|2) |- (3-|3) |- (4-|5) |- cycle ;
\Body
*&*&*&*\\
0&*&*&*\\
0&0&*&*
\end{bNiceMatrix},\ \begin{bNiceMatrix}
\CodeBefore
\tikz \draw [fill=red!15] (2-|1) |- (2-|3) |- (3-|3) |- (3-|5) |- (4-|5) |- (4-|1) |- cycle ;
\tikz \draw [fill=blue!15] (1-|1) |- (2-|3) |- (3-|3) |- (3-|5) |- cycle ;
\Body
*&*&*&*\\
0&0&*&*\\
0&0&0&0
\end{bNiceMatrix},\ \begin{bNiceMatrix}
\CodeBefore
\tikz \draw [fill=red!15] (1-|2) |- (2-|2) |- (2-|4) |- (3-|4) |- (3-|6) |- (4-|6) |- (4-|1) |- cycle ;
\tikz \draw [fill=blue!15] (1-|2) |- (2-|4) |- (3-|6) |- cycle ;
\Body
0&*&*&*&0\\
0&0&0&*&0\\
0&0&0&0&0
\end{bNiceMatrix}.
$$
\end{frame}
%
\begin{frame}{行最简形矩阵}

一般地, 称满足下列条件的阶梯形矩阵为\textbf{行最简形矩阵}:

(1). 各非零行的首非零元都是 $1$;

(2). 每个首非零元所在列的其余元素都是零.

例如:$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix},\ \begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 1\\
0 & 0
\end{bmatrix},\ \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix},\ \begin{bNiceMatrix}
\CodeBefore
\tikz \draw [fill=red!15] (2-|1) |- (2-|3) |- (3-|3) |- (3-|5) |- (4-|5) |- (4-|1) |- cycle ;
\tikz \draw [fill=blue!15] (1-|1) |- (2-|3) |- (3-|5) |- cycle ;
\Body
1 & * & 0 & *\\
0 & 0 & 1 & *\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bNiceMatrix},\ \begin{bNiceMatrix}
\CodeBefore
\tikz \draw [fill=red!15] (1-|2) |- (2-|2) |- (2-|4) |- (3-|4) |- (3-|6) |- (4-|6) |- (4-|1) |- cycle ;
\tikz \draw [fill=blue!15] (1-|2) |- (2-|4) |- (3-|6) |- cycle ;
\Body
0 & 1 & * & 0 & *\\
0 & 0 & 0 & 1 & *\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 
\end{bNiceMatrix}.
$$
\end{frame}
%
\begin{frame}{矩阵的标准形}

一般地, \textbf{矩阵 $A$ 的标准形 $D$} 具有如下特点: 

$D$ 的左上角是一个单位矩阵, 其余元素全为 $0$.

例如:$$
\begin{bNiceMatrix}
\CodeBefore
\rectanglecolor{blue!15}{1-1}{3-3}
\Body
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{bNiceMatrix},\ \begin{bNiceMatrix}
\CodeBefore
\rectanglecolor{blue!15}{1-1}{2-2}
\Body
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&0
\end{bNiceMatrix},\ \begin{bNiceMatrix}
\CodeBefore
\rectanglecolor{blue!15}{1-1}{2-2}
\Body
1&0&0\\
0&1&0
\end{bNiceMatrix},\ \begin{bNiceMatrix}
\CodeBefore
\rectanglecolor{blue!15}{1-1}{2-2}
\Body
1&0\\
0&1\\
0&0
\end{bNiceMatrix}.
$$
\end{frame}
%
\begin{frame}{阶梯型矩阵}
\begin{example}
已知矩阵 $A=\begin{bmatrix}3 & 2 & 9 & 6\\
-1 & -3 & 4 & -17\\
1 & 4 & -7 & 3\\
-1 & -4 & 7 & -3
\end{bmatrix}$, 对其作初等行变换, 先化为行阶梯形矩阵.
\end{example}

\begin{sol*}
\[
\begin{aligned}A= & \begin{bmatrix}3 & 2 & 9 & 6\\
-1 & -3 & 4 & -17\\
1 & 4 & -7 & 3\\
-1 & -4 & 7 & -3
\end{bmatrix}\xrightarrow{r_{1}\leftrightarrow r_{3}}\begin{bmatrix}1 & 4 & -7 & 3\\
-1 & -3 & 4 & -17\\
3 & 2 & 9 & 6\\
-1 & -4 & 7 & -3
\end{bmatrix}\\
 & \xrightarrow[r_{4}+r_{1}]{{r_{2}+r_{1}\atop r_{3}-3r_{1}}}\begin{bmatrix}1 & 4 & -7 & 3\\
0 & 1 & -3 & -14\\
0 & -10 & 30 & -3\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\xrightarrow{r_{3}+10r_{2}}\begin{bmatrix}1 & 4 & -7 & 3\\
0 & 1 & -3 & -14\\
0 & 0 & 0 & -143\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\xlongequal{\text{ 记作 }}B.
\end{aligned}
\]
\end{sol*}
这里的矩阵 $B$ 依其形状的特征称为\textbf{行阶梯形矩阵}.
\end{frame}
%
\begin{frame}{矩阵的标准形}
\begin{example}
\textrm{用初等变换化矩阵 $\begin{bmatrix}0 & 2 & -4\\
-1 & -4 & 5\\
3 & 1 & 7\\
0 & 5 & -10\\
2 & 3 & 0
\end{bmatrix}$ 为标准形.}
\end{example}

\begin{sol*}
\[
\begin{aligned}\begin{bmatrix}0 & 2 & -4\\
-1 & -4 & 5\\
3 & 1 & 7\\
0 & 5 & -10\\
2 & 3 & 0
\end{bmatrix} & \xrightarrow{r_{1}\leftrightarrow r_{2}}\begin{bmatrix}-1 & -4 & 5\\
0 & 2 & -4\\
3 & 1 & 7\\
0 & 5 & -10\\
2 & 3 & 0
\end{bmatrix}\xrightarrow[r_{5}+2r_{1}]{r_{3}+3r_{1}}\begin{bmatrix}-1 & -4 & 5\\
0 & 2 & -4\\
0 & -11 & 22\\
0 & 5 & -10\\
0 & -5 & 10
\end{bmatrix}\\
 & \hspace{-8em}\xrightarrow[c_{3}+5c_{1}]{c_{2}-4c_{1}}\begin{bmatrix}-1 & 0 & 0\\
0 & 2 & -4\\
0 & -11 & 22\\
0 & 5 & -10\\
0 & -5 & 10
\end{bmatrix}\xrightarrow{c_{3}+2c_{2}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & -11 & 0\\
0 & 5 & 0\\
0 & -5 & 0
\end{bmatrix}\xrightarrow[{c_{4}-5/2c_{2}\atop c_{5}+5/2c_{2}}]{c_{3}+11/2c_{2}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\xrightarrow{c_{2}/2}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
\end{aligned}
\]
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{矩阵的标准形}
\begin{example}
将矩阵 $A=\begin{bmatrix}2 & 1 & 2 & 3\\
4 & 1 & 3 & 5\\
2 & 0 & 1 & 2
\end{bmatrix}$ 化为标准形. 
\end{example}

\begin{sol*}
\[
\begin{aligned}A & =\begin{bmatrix}2 & 1 & 2 & 3\\
4 & 1 & 3 & 5\\
2 & 0 & 1 & 2
\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}2 & 1 & 2 & 3\\
0 & -1 & -1 & -1\\
0 & -1 & -1 & -1
\end{bmatrix}\\
 & \longrightarrow\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & -1 & -1\\
0 & -1 & -1 & -1
\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & -1 & -1\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\\
 & \longrightarrow\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
\end{aligned}
\]
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{化为标准型矩阵}
\begin{thm}
\label{thm:2.5-1} 任意一个矩阵 $A=\left(a_{ij}\right)_{m\times n}$ 经过有限次初等变换,
可以化为下列标准形矩阵

$$
A=\begin{bNiceMatrix}[last-row,last-col,xdots/line-style={dashed,blue}]
1 & & & & & & \\ 
 & \ddots & \Vdots & & & & \\
 & \Cdots & 1 & \Cdots & & & \leftarrow r\text{行} \\
 & & \Vdots & 0 & & & \\
 & & & & \ddots & & \\
 & & & & & 0 & \\
 & & \overset{\uparrow}{r\text{列}} & & & & 
\end{bNiceMatrix}=\begin{bmatrix}
E_r & O_{r\times(n-r)} \\
O_{(m-r)\times r} & O_{(m-r)\times(n-r)}
\end{bmatrix}. 
$$
\end{thm}

\begin{rem*}
定理 \ref{thm:2.5-1} 的证明也实质上给出了下列结论:
\end{rem*}
\begin{thm*}[\ref{thm:2.5-1}']
 任一矩阵 $A$ 总可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵, 并进而化为行最简形矩阵.
\end{thm*}
根据定理 \ref{thm:2.5-1} 的证明及初等变换的可逆性, 有
\begin{cor}
\label{cor:5.7} 如果 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, 则矩阵 $A$ 经过有限次初等变换可化为单位矩阵 $E$,
即 $A\sim E$.
\end{cor}

\end{frame}

\subsection{初等矩阵}
\begin{frame}[allowframebreaks]{初等矩阵}
\begin{defn}
对单位矩阵 $E$ 施以一次初等变换得到矩阵称为\textbf{初等矩阵}.
\end{defn}

三种初等变换分别对应着三种初等矩阵.
\end{frame}
%
\begin{frame}{初等矩阵-1}

(1). $E$ 的第 $i,j$ 行 (列) 互换得到的矩阵

\vspace{-3mm}
$$
\setcounter{MaxMatrixCols}{12}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}
E(i,j)=\begin{bNiceMatrix}[last-row,last-col,nullify-dots,xdots/line-style={dashed,blue}]
1& & & \Vdots & & & & \Vdots \\
& \Ddots[line-style=standard] \\
& & 1 \\
\Cdots[color=blue,line-style=dashed]& & & \blue 0 & \Cdots & & & \blue 1 & & & \Cdots & \blue \leftarrow i \\
& & & & 1 \\
& & &\Vdots & & \Ddots[line-style=standard] & & \Vdots \\
& & & & & & 1 \\
\Cdots & & & \blue 1 & \Cdots & & \Cdots & \blue 0 & & & \Cdots & \blue \leftarrow j \\
& & & & & & & & 1 \\
& & & & & & & & & \Ddots[line-style=standard] \\
& & & \Vdots & & & & \Vdots & & & 1 \\
& & & \blue \overset{\uparrow}{i} & & & & \blue \overset{\uparrow}{j} \\ 
\end{bNiceMatrix}\quad.
$$
\end{frame}
%
\begin{frame}{初等矩阵-2}

(2). $E$ 的第 $i$ 行 (列) 乘以非零数 $k$ 得到的矩阵

$$E\left(i(k)\right)=\begin{bNiceMatrix}[last-row,last-col,xdots/line-style={dashed,blue}]
1&&&&&&&\\
&\ddots&&&&&&\\
&&1&\Vdots&&&&\\
&&\Cdots&k&\Cdots&&&i\text{ 行}\\
&&&\Vdots&1&&&\\
&&&&&\ddots&&\\
&&&&&&1&\\
&&&i\text{ 列}&&&&
\end{bNiceMatrix}.
$$
\end{frame}
%
\begin{frame}{初等矩阵-3}

(3). $E$ 的第 $j$ 行乘以数 $k$ 加到第 $i$ 行上, 或 $E$ 的第 $i$ 列乘以数 $k$
加到第 $j$ 列上得到的矩阵

$$E\left(i+j(k)\right)=\begin{bNiceMatrix}[last-row,last-col,xdots/line-style={dashed,blue}]
1&&&&&&&\\
&\ddots&\Vdots&&\Vdots&&&\\
&\Cdots&1&\Cdots&k&\Cdots&&i\text{ 行}\\
&&\Vdots&\ddots&\Vdots&&&\\
&&&&1&\Cdots&&j\text{ 行}\\
&&&&\Vdots&\ddots&&\\
&&&&&&1&\\
&&&&&&&\\
&&i\text{ 列}&&j\text{ 列}&&&
\end{bNiceMatrix}
$$
\end{frame}
%
\begin{frame}{初等矩阵}
\begin{prop}
关于初等矩阵有下列性质:

(1). $E(i,j)^{-1}=E(i,j)$; $E(i(k))^{-1}=E\left(i\left(k^{-1}\right)\right)$;
$E(i+j(k))^{-1}=E(i+j(-k))$;

(2). $|E(i,j)|=-1$; $|E(i(k))|=k$; $|E(i+j(k))|=1$.
\end{prop}

\begin{thm}
设 $A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵, 对 $A$ 施行一次初等行 (列) 变换, 相当于用同种的 $m(n)$
阶初等矩阵左 (右) 乘 $A$.
\end{thm}

\begin{itemize}
\item $E(i,j)A$: 交换矩阵 $A$ 的第 $i,j$ 两行;
\item $E(i(k))A$: 对矩阵 $A$ 的第 $i$ 行乘以 $k$;
\item $E(i+j(k))A$: 对矩阵 $A$ 的第 $j$ 行乘以 $k$ 加到第 $i$ 行上.
\end{itemize}
\end{frame}
%
\begin{frame}{初等矩阵}
\begin{example}
设有矩阵 $A=\begin{bmatrix}3 & 0 & 1\\
1 & -1 & 2\\
0 & 1 & 1
\end{bmatrix}$, 而 $E_{3}(1,2)=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$, $E_{3}(3+1(2))=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
2 & 0 & 1
\end{bmatrix}$,
\end{example}

则 $E_{3}(1,2)A=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3 & 0 & 1\\
1 & -1 & 2\\
0 & 1 & 1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & -1 & 2\\
3 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1
\end{bmatrix}$.

即用 $E_{3}(1,2)$ 左乘 $A$, 相当于交换矩阵 $A$ 的第 $1$ 行与第 $2$ 行.

又 $AE_{3}(31(2))=\begin{bmatrix}3 & 0 & 1\\
1 & -1 & 2\\
0 & 1 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
2 & 0 & 1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5 & 0 & 1\\
5 & -1 & 2\\
2 & 1 & 1
\end{bmatrix}$,

即用 $E_{3}(31(2))$ 右乘 $A$, 相当于将矩阵 $A$ 的第 $3$ 列乘 $2$ 加到第 $1$ 列.
\end{frame}
%
\begin{frame}{求逆矩阵的初等变换法}

在第二章第三节中, 给出了矩阵 $A$ 可逆的充要条件, 也给出了利用伴随矩阵求逆矩阵 $A^{-1}$ 的方法, 即

\[
A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*}.
\]

该方法称为\textbf{伴随矩阵法}.
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{求逆矩阵的初等变换法}

对于较高阶的矩阵, 用伴随矩阵法求逆矩阵计算量太大, 下面介绍一种较为简便的方法:\textbf{ 初等变换法}.
\begin{thm}
$n$ 阶矩阵 $A$ 可逆的充分必要条件是 $A$ 可以表示为若干初等矩阵的乘积.
\end{thm}

\begin{proof}[Hint]
 由推论 \ref{cor:5.7}, 当 $A$ 可逆时, 矩阵 $A$ 可以经过有限次初等变换得到 $n$ 阶单位阵
$E$, 即
\[
P_{s}P_{s-1}\cdots P_{2}P_{1}A=E,
\]
其中 $P_{1},\cdots,P_{s}$ 表示对矩阵 $A$ 的初等变换矩阵. 故 $A=P_{1}^{-1}P_{2}^{-1}\cdots P_{s}^{-1}$
为 $s$ 个初等矩阵的乘积.
\end{proof}
因此, 求矩阵 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ 时, 可构造 $n\times2n$ 阶矩阵
\[
\begin{bmatrix}A & E\end{bmatrix},
\]

然后对其施以初等行变换将矩阵 $A$ 化为单位矩阵 $E$, 则上述初等变换同时也将其中的单位矩阵 $E$ 化为 $A^{-1}$,
即
\[
\begin{bmatrix}A & E\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{ 初等行变换 }}\begin{bmatrix}E & A^{-1}\end{bmatrix},
\]

这就是求逆矩阵的\textbf{初等变换法}. 再详细点来说, 就是
\begin{align*}
\begin{bmatrix}A & E\end{bmatrix} & \xrightarrow{P_{1}}\begin{bmatrix}P_{1}A & P_{1}E\end{bmatrix}\\
 & \xrightarrow{P_{2}}\begin{bmatrix}P_{2}P_{1}A & P_{2}P_{1}E\end{bmatrix}\\
 & \xrightarrow{P_{3}}\cdots\xrightarrow{P_{s}}\begin{bmatrix}P_{s}\cdots P_{2}P_{1}A & P_{s}\cdots P_{2}P_{1}E\end{bmatrix}\\
 & =\begin{bmatrix}E & P_{s}\cdots P_{2}P_{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}E & A^{-1}\end{bmatrix}.
\end{align*}
再或者, 用矩阵乘法的语言来说
\[
P_{s}P_{s-1}\cdots P_{1}\begin{bmatrix}A & E\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}P_{s}P_{s-1}\cdots P_{1}A & P_{s}P_{s-1}\cdots P_{1}E\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}E & A^{-1}\end{bmatrix}.
\]

\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{求逆矩阵}
\begin{example}
设 $A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\
2 & 2 & 1\\
3 & 4 & 3
\end{bmatrix}$, 求 $A^{-1}$.
\end{example}

\begin{sol*}
\begin{align*}
\begin{bmatrix}A & E\end{bmatrix} & =\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\
2 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0\\
3 & 4 & 3 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\xrightarrow[r_{3}-3r_{1}]{r_{2}-2r_{1}}\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\
0 & -2 & -5 & -2 & 1 & 0\\
0 & -2 & -6 & -3 & 0 & 1
\end{bmatrix}\\
 & \xrightarrow[r_{3}-r_{2}]{r_{1}+r_{2}}\begin{bmatrix}1 & 0 & -2 & -1 & 1 & 0\\
0 & -2 & -5 & -2 & 1 & 0\\
0 & 0 & -1 & -1 & -1 & 1
\end{bmatrix}\xrightarrow[r_{2}-5r_{3}]{r_{1}-2r_{3}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 & 3 & -2\\
0 & -2 & 0 & 3 & 6 & -5\\
0 & 0 & -1 & -1 & -1 & 1
\end{bmatrix}\\
 & \xrightarrow[r_{3}\div(-1)]{r_{2}\div(-2)}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 & 3 & -2\\
0 & 1 & 0 & -3/2 & -3 & 5/2\\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1
\end{bmatrix},
\end{align*}
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
\begin{align*}
\begin{bmatrix}A & E\end{bmatrix} & \xrightarrow{}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 & 3 & -2\\
0 & 1 & 0 & -3/2 & -3 & 5/2\\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1
\end{bmatrix},
\end{align*}
所以
\[
A^{-1}=\begin{bmatrix}1 & 3 & -2\\
-3/2 & -3 & 5/2\\
1 & 1 & -1
\end{bmatrix}.
\]
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{求逆矩阵}
\begin{example}
已知矩阵 $A=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\
2 & 1 & 0\\
-3 & 2 & -5
\end{bmatrix}$, 求 $(E-A)^{-1}$.
\end{example}

\begin{sol*}
$A=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\
2 & 1 & 0\\
-3 & 2 & -5
\end{bmatrix}$, $E-A=\begin{bmatrix}0 & 0 & -1\\
-2 & 0 & 0\\
3 & -2 & 6
\end{bmatrix}$, \vspace{-3mm}
\[
\begin{aligned}\begin{bmatrix}E-A & E\end{bmatrix} & =\begin{bmatrix}0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0\\
-2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
3 & -2 & 6 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}-2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0\\
3 & -2 & 6 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\\
 & \longrightarrow\begin{bmatrix}-2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
3 & -2 & 6 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0
\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & -1/2 & 0\\
3 & -2 & 6 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0
\end{bmatrix}\\
 & \longrightarrow\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & -1/2 & 0\\
0 & 1 & -3 & 0 & -3/4 & -1/2\\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0
\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & -1/2 & 0\\
0 & 1 & 0 & -3 & -3/4 & -1/2\\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0
\end{bmatrix},
\end{aligned}
\]
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
\[
\begin{aligned}\begin{bmatrix}E-A & E\end{bmatrix} & \longrightarrow\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & -1/2 & 0\\
0 & 1 & 0 & -3 & -3/4 & -1/2\\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0
\end{bmatrix},\end{aligned}
\]
所以
\[
(E-A)^{-1}=\begin{bmatrix}0 & -1/2 & 0\\
-3 & -3/4 & -1/2\\
-1 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
\]
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{求逆矩阵}
\begin{example}
求下列 $n$ 阶方阵的逆矩阵:
\[
A=\begin{bmatrix} &  &  & a_{1}\\
 &  & a_{2}\\
 & \iddots\\
a_{n}
\end{bmatrix},\ a_{i}\neq0,\ (i=1,2,\cdots,n),
\]
$A$ 中空白处表示为零.
\end{example}

\begin{sol*}
\begin{align*}
\begin{bmatrix} &  &  & a_{1} & 1\\
 &  & a_{2} &  &  & 1\\
 & \iddots &  &  &  &  & \ddots\\
a_{n} &  &  &  &  &  &  & 1
\end{bmatrix} & \rightarrow\begin{bmatrix}a_{n} &  &  &  &  &  &  & 1\\
 & a_{n-1} &  &  &  &  & \iddots\\
 &  & \ddots &  &  & 1\\
 &  &  & a_{1} & 1
\end{bmatrix}\\
 & \rightarrow\begin{bmatrix}1 &  &  &  &  &  &  & 1/a_{n}\\
 & 1 &  &  &  &  & \iddots\\
 &  & \ddots &  &  & 1/a_{2}\\
 &  &  & 1 & 1/a_{1}
\end{bmatrix},
\end{align*}
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
\begin{align*}
\begin{bmatrix}A & E\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix} &  &  & a_{1} & 1\\
 &  & a_{2} &  &  & 1\\
 & \iddots &  &  &  &  & \ddots\\
a_{n} &  &  &  &  &  &  & 1
\end{bmatrix} & \rightarrow\begin{bmatrix}1 &  &  &  &  &  &  & 1/a_{n}\\
 & 1 &  &  &  &  & \iddots\\
 &  & \ddots &  &  & 1/a_{2}\\
 &  &  & 1 & 1/a_{1}
\end{bmatrix},
\end{align*}
所以 $A^{-1}=\begin{bmatrix} &  &  & 1/a_{n}\\
 &  & \iddots\\
 & 1/a_{2}\\
1/a_{1}
\end{bmatrix}$. 
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{求逆矩阵的初等变换法}
\begin{example}
把可逆矩阵 $A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 0\\
-1 & 1 & 1\\
3 & -2 & 0
\end{bmatrix}$ 分解为初等矩阵的乘积.
\end{example}

\begin{sol*}
对 $A$ 进行如下初等变换:
\begin{align*}
\begin{bmatrix}1 & 2 & 0\\
-1 & 1 & 1\\
3 & -2 & 0
\end{bmatrix} & \xrightarrow{c_{2}-2c_{1}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
-1 & 3 & 1\\
3 & -8 & 0
\end{bmatrix}\xrightarrow{r_{2}+r_{1}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 3 & 1\\
3 & -8 & 0
\end{bmatrix}\xrightarrow{r_{3}-3r_{1}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 3 & 1\\
0 & -8 & 0
\end{bmatrix}\\
 & \xrightarrow{c_{3}\leftrightarrow c_{2}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 3\\
0 & 0 & -8
\end{bmatrix}\xrightarrow{c_{3}-3c_{2}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & -8
\end{bmatrix}\xrightarrow{\left(-\frac{1}{8}\right)c_{3}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}.
\end{align*}
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
与每次初等交换对应的矩阵分别为:
\[
\begin{aligned}P_{1}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}, & P_{2}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
-3 & 0 & 1
\end{bmatrix}, & P_{3}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & -1/8
\end{bmatrix},\\
Q_{1}=\begin{bmatrix}1 & -2 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}, & Q_{2}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}, & Q_{3}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 1 & -3\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix},
\end{aligned}
\]
其中 $P_{i}$ 为行变换的初等矩阵, $Q_{i}$ 为列变换的初等矩阵, 其逆矩阵分别为:
\[
\begin{aligned}P_{1}^{-1}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
-1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}, & P_{2}^{-1}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
3 & 0 & 1
\end{bmatrix}, & P_{3}^{-1}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & -8
\end{bmatrix},\\
Q_{1}^{-1}=\begin{bmatrix}1 & 2 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}, & Q_{2}^{-1}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}, & Q_{3}^{-1}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 3\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix},
\end{aligned}
\]
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
于是 
\begin{align*}
A & =P_{1}^{-1}P_{2}^{-1}P_{3}^{-1}Q_{3}^{-1}Q_{2}^{-1}Q_{1}^{-1}\\
 & =\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
-1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
3 & 0 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & -8
\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 3\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}.
\end{align*}
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{用初等变换法求解矩阵方程 $AX=B$}

设矩阵 $A$ 可逆, 则求解矩阵方程 $AX=B$ 等价于求矩阵
\[
X=A^{-1}B,
\]

为此, 可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法, 构造矩阵 $\begin{pmatrix}A & B\end{pmatrix}$,
对其施以\textbf{初等行变换}\footnote{且只能做初等行变换, 而不能做初等列变换}将矩阵
$A$ 化为单位矩阵 $E$, 则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵 $B$ 化为 $A^{-1}B$, 即

\[
\begin{pmatrix}A & B\end{pmatrix}\xrightarrow{\text{ 初等行变换 }}\begin{pmatrix}E & A^{-1}B\end{pmatrix}.
\]

这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程 $AX=B$ 的方法.
\end{frame}
%
\begin{frame}{用初等变换法求解矩阵方程 $XA=B$}

同理, 求解矩阵方程 $XA=B$, 等价于计算矩阵 $BA^{-1}$, 亦可利用\textbf{初等列变换}\footnote{且只能做初等列变换, 而不能做初等行变换}求矩阵
$BA^{-1}$. 即

\[
\begin{pmatrix}A\\
B
\end{pmatrix}\xrightarrow{\text{ 初等列变换 }}\begin{pmatrix}E\\
BA^{-1}
\end{pmatrix}.
\]

\noindent\fbox{\begin{minipage}[t]{1\columnwidth - 2\fboxsep - 2\fboxrule}%
\textcolor{red}{\vspace{-5mm}\begin{center}
左乘变行, 右乘变列.
\end{center}}%
\end{minipage}}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{解矩阵方程}
\begin{example}
求矩阵 $X$, 使 $AX=B$, 其中 $A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\
2 & 2 & 1\\
3 & 4 & 3
\end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}2 & 5\\
3 & 1\\
4 & 3
\end{bmatrix}$.
\end{example}

\begin{sol*}
若 $A$ 可逆, 则 $X=A^{-1}B$.
\begin{align*}
\begin{bmatrix}A & B\end{bmatrix} & =\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 2 & 5\\
2 & 2 & 1 & 3 & 1\\
3 & 4 & 3 & 4 & 3
\end{bmatrix}\xrightarrow[r_{3}-3r_{1}]{r_{2}-2r_{1}}\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 2 & 5\\
0 & -2 & -5 & -1 & -9\\
0 & -2 & -6 & -2 & -12
\end{bmatrix}\\
 & \xrightarrow[r_{3}-r_{2}]{r_{1}+r_{2}}\begin{bmatrix}1 & 0 & -2 & 1 & -4\\
0 & -2 & -5 & -1 & -9\\
0 & 0 & -1 & -1 & -3
\end{bmatrix}\xrightarrow[r_{2}-5r_{3}]{r_{1}-2r_{3}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 3 & 2\\
0 & -2 & 0 & 4 & 6\\
0 & 0 & -1 & -1 & -3
\end{bmatrix}\\
 & \xrightarrow[r_{3}\div(-1)]{r_{2}\div(-2)}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 3 & 2\\
0 & 1 & 0 & -2 & -3\\
0 & 0 & 1 & 1 & 3
\end{bmatrix},
\end{align*}
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
\begin{align*}
\begin{bmatrix}A & B\end{bmatrix} & \xrightarrow{}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 3 & 2\\
0 & 1 & 0 & -2 & -3\\
0 & 0 & 1 & 1 & 3
\end{bmatrix}\leftrightarrow\begin{bmatrix}E & A^{-1}B\end{bmatrix},
\end{align*}
所以 $X=\begin{bmatrix}3 & 2\\
-2 & -3\\
1 & 3
\end{bmatrix}$.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{解矩阵方程}
\begin{example}
求解矩阵方程 $AX=A+X$, 其中 $A=\begin{bmatrix}2 & 2 & 0\\
2 & 1 & 3\\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}$.
\end{example}

\begin{sol*}
把所给方程变形为 $(A-E)X=A$, 则 $X=(A-E)^{-1}A$.
\begin{align*}
\begin{bmatrix}A-E & A\end{bmatrix} & =\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 2 & 2 & 0\\
2 & 0 & 3 & 2 & 1 & 3\\
0 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0
\end{bmatrix}\xrightarrow[r_{2}\leftrightarrow r_{3}]{r_{2}-2r_{1}}\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 2 & 2 & 0\\
0 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0\\
0 & -4 & 3 & -2 & -3 & 3
\end{bmatrix}\\
 & \xrightarrow[r_{3}\div(-1)]{r_{3}+4r_{2}}\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 2 & 2 & 0\\
0 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 2 & 1 & -3
\end{bmatrix}\xrightarrow{r_{2}+r_{3}}\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 2 & 2 & 0\\
0 & 1 & 0 & 2 & 0 & -3\\
0 & 0 & 1 & 2 & -1 & -3
\end{bmatrix}\\
 & \xrightarrow{r_{1}-2r_{2}}\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 2 & 2 & 0\\
0 & 1 & 0 & 2 & 0 & -3\\
0 & 0 & 1 & 2 & -1 & -3
\end{bmatrix}
\end{align*}
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
\begin{align*}
\begin{bmatrix}A-E & A\end{bmatrix} & \xrightarrow{}\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 2 & 2 & 0\\
0 & 1 & 0 & 2 & 0 & -3\\
0 & 0 & 1 & 2 & -1 & -3
\end{bmatrix}
\end{align*}
即得 $X=\begin{bmatrix}-2 & 2 & 6\\
2 & 0 & -3\\
2 & -1 & -3
\end{bmatrix}$.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{解矩阵方程}
\begin{example}
求解矩阵方程 $XA=A+2X$, 其中 $A=\begin{bmatrix}4 & 2 & 3\\
1 & 1 & 0\\
-1 & 2 & 3
\end{bmatrix}$.
\end{example}

\begin{sol*}
先将原方程作恒等变形:
\[
XA=A+2X\Longleftrightarrow XA-2X=A\Longleftrightarrow X(A-2E)=A,
\]
由于 $A-2E=\begin{bmatrix}2 & 2 & 3\\
1 & -1 & 0\\
-1 & 2 & 1
\end{bmatrix}$, 而 $|A-2E|=-1\neq0$, 故 $A-2E$ 可逆. 从而 $X=A(A-2E)^{-1}$.
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
\begin{align*}
\begin{bmatrix}A-2E\\
A
\end{bmatrix} & =\begin{bmatrix}2 & 2 & 3\\
1 & -1 & 0\\
-1 & 2 & 1\\
4 & 2 & 3\\
1 & 1 & 0\\
-1 & 2 & 3
\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}-1 & 2 & 3\\
1 & -1 & 0\\
-2 & 2 & 1\\
1 & 2 & 3\\
1 & 1 & 0\\
-4 & 2 & 3
\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}-1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 3\\
-2 & -2 & -5\\
1 & 4 & 6\\
1 & 3 & 3\\
-4 & -6 & -9
\end{bmatrix}\\
 & \longrightarrow\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
-1 & 1 & 0\\
2 & -2 & 1\\
-1 & 4 & -6\\
-1 & 3 & -6\\
4 & -6 & 9
\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
-1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
11 & -8 & -6\\
11 & -9 & -6\\
-14 & 12 & 9
\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
3 & -8 & -6\\
2 & -9 & -6\\
-2 & 12 & 9
\end{bmatrix},
\end{align*}
即 $X=\begin{bmatrix}3 & -8 & -6\\
2 & -9 & -6\\
-2 & 12 & 9
\end{bmatrix}$.
\end{sol*}
\end{frame}
%

\subsection{作业}
\begin{frame}[allowframebreaks]{作业}
\begin{problem}
化矩阵 $A=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\
2 & 1 & 0\\
-3 & 2 & -5
\end{bmatrix}$ 为矩阵的标准形式.
\end{problem}

\begin{problem}
求下面矩阵的逆矩阵: (1). $\begin{bmatrix}2 & 0 & 0\\
0 & 3 & 4\\
0 & 1 & 1
\end{bmatrix}$; (2). $A=\begin{bmatrix}1 & 0 & 1\\
2 & 1 & 0\\
-3 & 2 & -5
\end{bmatrix}$; 

(3). $\begin{bmatrix}0 & a_{1} & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & a_{2} & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n-1}\\
a_{n} & 0 & 0 & \cdots & 0
\end{bmatrix}$.
\end{problem}

\begin{problem}
已知 $n$ 方阵 $A=\begin{bmatrix}2 & 2 & 2 & \cdots & 2\\
0 & 1 & 1 & \cdots & 1\\
0 & 0 & 1 & \cdots & 1\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1
\end{bmatrix}$, 求 $A$ 中所有元素的代数余子式之和 $\sum_{i,j=1}^{n}A_{ij}$. 

\textbf{Hint}: 要求所有代数余子式的和, 这相当于求
\[
\begin{bmatrix}1 & 1 & \cdots & 1\end{bmatrix}A^{*}\begin{bmatrix}1\\
1\\
\vdots\\
1
\end{bmatrix},
\]
并注意使用 $A^{*}A=\left|A\right|E$ 消去不易计算的伴随矩阵.
\end{problem}

\begin{problem}
设 $A,B$ 和 $C$ 是可逆方阵, 证明: 方阵 $X=\begin{bmatrix}O & O & A\\
O & B & O\\
C & O & O
\end{bmatrix}$ 也可逆, 并求 $X^{-1}$.
\end{problem}

\begin{problem}
设 $M=\begin{bmatrix}A & B\\
C & D
\end{bmatrix}$, 其中 $A$ 和 $D$ 是方阵, 证明: 

(1). 当 $A$ 可逆时, $M$ 可逆当且仅当 $D-CA^{-1}B$ 可逆; 

(2). 当 $D$ 可逆时, $M$ 可逆当且仅当 $A-BD^{-1}C$ 可逆;

(3). 当 $A$ 可逆时, 行列式的计算有如下降阶法:
\[
\left|M\right|=\left|A\right|\cdot\left|D-CA^{-1}B\right|.
\]
\end{problem}

\end{frame}