\section{向量组的线性组合}

\subsection{$n$ 维向量}
\begin{frame}{$n$ 维向量及其线性运算}
\begin{defn}
$n$ 个有次序的数 $\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)$ 所组成的数组称为 $n$
维向量, 这 $n$ 个数称为该\textbf{向量的 $n$ 个分量}, 第 $i$ 个数 $a_{i}$ 称为\textbf{第
$i$ 个分量}.
\end{defn}

\begin{rem*}
在解析几何中, 我们把 “既有大小又有方向的量” 称为\textbf{向量}, 并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 

引入坐标系后, 又定义了向量的坐标表示式 (三个有序实数), 此即上面定义的 $3$ 维向量. 

因此, 当 $n\leq3$ 时, $n$ 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当 $n>3$ 时, $n$ 维向量没有直观的几何形象.
\end{rem*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{列向量组与行向量组}

若干个同维数的列向量 (或行向量) 所组成的集合称为\textbf{向量组}. 例如, 一个 $m\times n$ 矩阵
\[
A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix},
\]
\vspace{-5mm}

每一列\vspace{-5mm}

\[
\alpha_{j}=\begin{bmatrix}a_{1j}\\
a_{2j}\\
\vdots\\
a_{mj}
\end{bmatrix},\quad(j=1,2,\cdots,n)
\]

组成的向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ 称为\textbf{矩阵 $A$
的列向量组}. 而由矩阵 $A$ 的每一行\vspace{-5mm}

\[
\beta_{i}=\left(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}\right),\quad(i=1,2,\cdots,m)
\]

组成的向量组 $\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{m}$ 称为\textbf{矩阵 $A$ 的行向量组}.
\end{frame}
%
\begin{frame}{列向量组与行向量组}

根据上述讨论, 矩阵 $A$ 记为

\[
A=\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\right)\text{ 或 }A=\begin{bmatrix}\beta_{1}\\
\beta_{2}\\
\vdots\\
\beta_{n}
\end{bmatrix}.
\]

这样, 矩阵 $A$ 就与其\textbf{列向量组}或\textbf{行向量组}之间建立了一一对应关系.
\end{frame}
%
\begin{frame}{线性方程组的解其解空间{*}}

矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组. 而线性方程组\vspace{-4mm} 

\[
A_{m\times n}x=0
\]

的全体解
\[
\left\{ x:Ax=0\right\} ,
\]
当 $r(A)<n$ 时是一个含有无限多个 $n$ 维列向量的向量组. 比如
\[
A=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0
\end{bmatrix},\qquad A=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
\]

\end{frame}
%
\begin{frame}{$n$ 维向量的线性运算}
\begin{defn}
两个 $n$ 维向量 $\alpha=\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)$ 与 $\beta=\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)$
的各对应分量之和组成的向量, 称为向量 $\alpha$ 与 $\beta$ 的\textbf{和}, 记为 $\alpha+\beta$,
即
\[
\alpha+\beta=\left(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\cdots,a_{n}+b_{n}\right).
\]
由加法和\textbf{负向量的定义}, 可定义向量的减法:
\[
\begin{aligned}\alpha-\beta= & \alpha+(-\beta)\\
 & =\left(a_{1}-b_{1},a_{2}-b_{2},\cdots,a_{n}-b_{n}\right).
\end{aligned}
\]
\end{defn}

\end{frame}
%
\begin{frame}{$n$ 维向量的线性运算}
\begin{defn}
$n$ 维向量 $\alpha=\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)$ 的各个分量都乘以实数
$k$ 所组成的向量, 称为数 $k$ 与向量 $\alpha$ 的乘积 (又简称为\textbf{数乘}), 记为 $k\alpha$,
即
\[
k\alpha=\left(ka_{1},ka_{2},\cdots,ka_{n}\right).
\]
\end{defn}

向量的加法和数乘运算统称为\textbf{向量的线性运算}.
\end{frame}
%
\begin{frame}{$n$ 维向量的运算规律}
\begin{rem*}
向量的线性运算与行 (列) 矩阵的运算规律相同, 从而也满足下列运算规律:

(1) $\alpha+\beta=\beta+\alpha$;

(2) $(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)$;

(3) $\alpha+0=\alpha$;

(4) $\alpha+(-\alpha)=0$;

(5) $1\alpha=\alpha$;

(6) $k(l\alpha)=(kl)\alpha$;

(7) $k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta$;

(8) $(k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha$.
\end{rem*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{求向量方程}
\begin{example}
设 $\alpha_{1}=\begin{bmatrix}2\\
-4\\
1\\
-1
\end{bmatrix}$, $\alpha_{2}=\begin{bmatrix}-3\\
-1\\
2\\
-\frac{5}{2}
\end{bmatrix}$, 如果向量满足 $3\alpha_{1}-2\left(\beta+\alpha_{2}\right)=0$, 求 $\beta$.

\pause{}

\end{example}

\begin{sol*}
由题设条件, 有 $3\alpha_{1}-2\beta-2\alpha_{2}=0$, 所以有
\begin{align*}
\beta & =-\frac{1}{2}\left(2\alpha_{2}-3\alpha_{1}\right)=-\alpha_{2}+\frac{3}{2}\alpha_{1}\\
 & =-\begin{bmatrix}-3\\
-1\\
2\\
-\frac{5}{2}
\end{bmatrix}+\frac{3}{2}\begin{bmatrix}2\\
-4\\
1\\
-1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6\\
-5\\
-\frac{1}{2}\\
1
\end{bmatrix}.
\end{align*}
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{求向量方程}
\begin{example}
设 $\alpha=(2,0,-1,3)^{T}$, $\beta=(1,7,4,-2)^{T}$, $\gamma=(0,1,0,1)^{T}$. 

(1) 求 $2\alpha+\beta-3\gamma$; 

(2) 若有 $x$, 满足 $3\alpha-\beta+5\gamma+2x=0$, 求 $x$. 

\pause{}

\end{example}

\begin{sol*}
(1) $2\alpha+\beta-3\gamma=2(2,0,-1,3)^{T}+(1,7,4,-2)^{T}-3(0,1,0,1)^{T}=(5,4,2,1)^{T}$.

(2) 由 $3\alpha-\beta+5\gamma+2x=0$, 得
\begin{align*}
x & =\frac{1}{2}(-3\alpha+\beta-5\gamma)\\
 & =\frac{1}{2}\left[-3(2,0,-1,3)^{T}+(1,7,4,-2)^{T}-5(0,1,0,1)^{T}\right]=(-5/2,1,7/2,-8)^{T}.
\end{align*}
\end{sol*}
\end{frame}

\subsection{向量组的线性组合}
\begin{frame}{非齐次线性方程组与向量组的线性组合}

考察非齐次线性方程组\vspace{-4mm}
\begin{equation}
\begin{cases}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\
\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m}
\end{cases}\label{eq:3.2-1}
\end{equation}
令\vspace{-4mm}
\[
\alpha_{j}=\begin{bmatrix}a_{1j}\\
a_{2j}\\
\vdots\\
a_{mj}
\end{bmatrix},\quad(j=1,2,\cdots,n),\quad\beta=\begin{bmatrix}b_{1}\\
b_{2}\\
\vdots\\
b_{m}
\end{bmatrix},
\]
则线性方程组 (\ref{eq:3.2-1}) 可表为如下向量形式:\vspace{-4mm}
\[
\alpha_{1}x_{1}+\alpha_{2}x_{2}+\cdots+\alpha_{n}x_{n}=\beta.
\]
于是, 线性方程组 (\ref{eq:3.2-1}) 是否有解, 就相当于是否存在一组数 $k_{1},k_{2},\cdots,k_{n}$
使得下列线性关系式成立:\vspace{-4mm}
\[
\beta=k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+\cdots+k_{n}\alpha_{n}.
\]

\end{frame}
%
\begin{frame}{向量组的线性组合与线性表示}
\begin{defn}
给定向量组 $A:\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$, 对于任何一组实数 $k_{1},k_{2},\cdots,k_{s}$,
表达式
\[
k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+\cdots+k_{s}\alpha_{s}
\]
称为\textbf{向量组 $A$ 的一个线性组合}, $k_{1},k_{2},\cdots,k_{s}$ 称为这个\textbf{线性组合的系数}.
\end{defn}

\begin{itemize}
\item 实数 $k_{1},k_{2},\cdots,k_{s}$: 线性组合的系数;
\item $k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+\cdots+k_{s}\alpha_{s}$: 向量组 $A$
的一个线性表示.
\end{itemize}
\end{frame}
%
\begin{frame}{向量组的线性组合与线性表示}
\begin{defn}
给定向量组 $A:\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 和向量 $\beta$, 若存在一组数
$k_{1},k_{2},\cdots,k_{s}$, 使
\[
\beta=k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+\cdots+k_{s}\alpha_{s},
\]
则称\textbf{向量 $\beta$ 是向量组 $A$ 的线性组合}, 又称\textbf{向量 $\beta$ 能由向量组
$A$ 线性表示}(或\textbf{线性表出}).
\end{defn}

\begin{itemize}
\item $\beta=k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+\cdots+k_{s}\alpha_{s}$: 向量组
$A$ 的线性组合 (或线性表示)
\end{itemize}
\end{frame}
%
\begin{frame}{向量组的线性组合与线性方程组的关系}
\begin{rem*}
(1) $\beta$ 能由向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 唯一线性表示的充分必要条件是线性方程组
\[
\alpha_{1}x_{1}+\alpha_{2}x_{2}+\cdots+\alpha_{s}x_{s}=\beta
\]
 有唯一解;

(2) $\beta$ 能由向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 线性表示且表示不唯一的充分必要条件是线性方程组
\[
\alpha_{1}x_{1}+\alpha_{2}x_{2}+\cdots+\alpha_{s}x_{s}=\beta
\]
 有无穷多个解;

(3) $\beta$ 不能由向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 线性表示的充分必要条件是线性方程组
\[
\alpha_{1}x_{1}+\alpha_{2}x_{2}+\cdots+\alpha_{s}x_{s}=\beta
\]
 无解;
\end{rem*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{向量组的线性组合}
\begin{example}
设 $\alpha_{1}=(1,0,2,-1)$, $\alpha_{2}=(3,0,4,1)$, $\beta=(-1,0,0,-3)$.
由于 $\beta=2\alpha_{1}-\alpha_{2}$, 因此 $\beta$ 是 $\alpha_{1},\alpha_{2}$
的线性组合.
\end{example}

\end{frame}
%
\begin{frame}{向量组的线性组合}
\begin{example}
证明: 向量 $\beta=(-1,1,5)$ 是向量 $\alpha_{1}=(1,2,3)$, $\alpha_{2}=(0,1,4)$,
$\alpha_{3}=(2,3,6)$ 的线性组合并具体将 $\beta$ 用 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$
表示出来.
\end{example}

\begin{proof}
先假定 $\beta=\lambda_{1}\alpha_{1}+\lambda_{2}\alpha_{2}+\lambda_{3}\alpha_{3}$,
其中 $\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}$ 为待定常数, 则
\[
\begin{aligned}(-1,1,5) & =\lambda_{1}(1,2,3)+\lambda_{2}(0,1,4)+\lambda_{3}(2,3,6)\\
 & =\left(\lambda_{1},2\lambda_{1},3\lambda_{1}\right)+\left(0,\lambda_{2},4\lambda_{2}\right)+\left(2\lambda_{3},3\lambda_{3},6\lambda_{3}\right)
\end{aligned}
\]
由于两个向量相等的充要条件是它们的分量分别对应相等, 因此可得方程组:
\[
\begin{cases}
\lambda_{1}+2\lambda_{3}=-1\\
2\lambda_{1}+\lambda_{2}+3\lambda_{3}=1\\
3\lambda_{1}+4\lambda_{2}+6\lambda_{3}=5
\end{cases}\Longrightarrow\begin{cases}
\lambda_{1}=1\\
\lambda_{2}=2\\
\lambda_{3}=-1
\end{cases}
\]
于是 $\beta$ 可以表示为 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 的线性组合, 它的表示式为
$\beta=\alpha_{1}+2\alpha_{2}-\alpha_{3}$.
\end{proof}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{向量组的线性组合}
\begin{example}
证明: 向量 $(4,5,5)$ 可以用多种方式表示成向量 $(1,2,3)$, $(-1,1,4)$ 及 $(3,3,2)$
的线性组合.

\pause{}

\end{example}

\begin{proof}
假定 $\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}$ 是数, 它们使
\[
\begin{aligned}(4,5,5) & =\lambda_{1}(1,2,3)+\lambda_{2}(-1,1,4)+\lambda_{3}(3,3,2)\\
 & =\left(\lambda_{1},2\lambda_{1},3\lambda_{1}\right)+\left(-\lambda_{2},\lambda_{2},4\lambda_{2}\right)+\left(3\lambda_{3},3\lambda_{3},2\lambda_{3}\right)\\
 & =\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}+3\lambda_{3},2\lambda_{1}+\lambda_{2}+3\lambda_{3},3\lambda_{1}+4\lambda_{2}+2\lambda_{3}\right),
\end{aligned}
\]
这样便可得到一个线性方程组:
\begin{equation}
\begin{cases}
\lambda_{1}-\lambda_{2}+3\lambda_{3}=4\\
2\lambda_{1}+\lambda_{2}+3\lambda_{3}=5\\
3\lambda_{1}+4\lambda_{2}+2\lambda_{3}=5
\end{cases}\label{eq:3.2-2}
\end{equation}
这个方程组的解不是唯一的, 例如以下二组数都是方程组 (\ref{eq:3.2-2}) 的解:
\[
\lambda_{1}=1,\ \lambda_{2}=0,\ \lambda_{3}=1;\ \lambda_{1}=3,\ \lambda_{2}=-1,\ \lambda_{3}=0.
\]
因此 $(4,5,5)=(1,2,3)+(3,3,2)$; $(4,5,5)=3(1,2,3)-(-1,1,4)$. 即向量 $(4,5,5)$
可以用不止一种方式表示成另外 $3$ 个向量的线性组合.
\end{proof}
\begin{rem*}
本例表明, 判断一个向量是否可用多种形式由其它向量组线性表出的问题, 也可以归结为某一个线性方程组解的个数问题. 

\vspace{3mm}

解唯一, 表示方式也唯一. 解越多, 表示方式也越多. 这说明线性方程组的解同向量线性关系之间的紧密联系.
\end{rem*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{向量的线性组合}
\begin{example}
任何一个 $n$ 维向量 $\alpha=\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)^{T}$
都是 $n$ 维单位向量组 
\[
\varepsilon_{1}=\begin{bmatrix}1\\
0\\
0\\
\vdots\\
0
\end{bmatrix},\ \varepsilon_{2}=\begin{bmatrix}0\\
1\\
0\\
\vdots\\
0
\end{bmatrix},\ \cdots,\varepsilon_{n}=\begin{bmatrix}0\\
0\\
0\\
\vdots\\
1
\end{bmatrix}
\]
的线性组合. 因为 $\alpha=a_{1}\varepsilon_{1}+a_{2}\varepsilon_{2}+\cdots+a_{n}\varepsilon_{n}$.
\end{example}

\end{frame}
%
\begin{frame}{向量的线性组合}
\begin{example}
零向量是任何一组向量的线性组合. 因为 
\[
\boldsymbol{0}=0\cdot\alpha_{1}+0\cdot\alpha_{2}+\cdots+0\cdot\alpha_{s}.
\]

\pause{}

\end{example}

\begin{example}
向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 中的任一向量 $\alpha_{j}$,
($1\leq j\leq s$), 都是此向量组的线性组合. 因为 
\[
\alpha_{j}=0\cdot\alpha_{1}+\cdots+1\cdot\alpha_{j}+\cdots+0\cdot\alpha_{s}.
\]
\end{example}

\end{frame}
%
\begin{frame}{向量组的线性组合}
\begin{example}
判断向量 $\beta=(4,3,-1,11)^{T}$ 是否为向量组 $\alpha_{1}=(1,2,-1,5)^{T}$,
$\alpha_{2}=(2,-1,1,1)^{T}$ 的线性组合. 若是, 写出表示式.
\end{example}


\pause{}

\begin{sol*}
设 $k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}=\beta$, 对矩阵 $\begin{bmatrix}\alpha_{1} & \alpha_{2} & \beta\end{bmatrix}$
做初等行变换:
\[
\begin{bmatrix}1 & 2 & 4\\
2 & -1 & 3\\
-1 & 1 & -1\\
5 & 1 & 11
\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}1 & 2 & 4\\
0 & -5 & -5\\
0 & 3 & 3\\
0 & -9 & -9
\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}1 & 2 & 4\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\longrightarrow{\color{red}\begin{bmatrix}1 & 0 & 2\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}},
\]
故 $\beta$ 可由 $\alpha_{1},\alpha_{2}$ 线性表示, 且由上面的初等变换可取 $k_{1}=2$,
$k_{2}=1$ 使 $\beta=2\alpha_{1}+\alpha_{2}$.
\end{sol*}
由上面的阶梯型矩阵, 易见, 最后一列可以通过初等列变换由前面的列线性表示, 因此秩 $r\begin{bmatrix}\alpha_{1} & \alpha_{2} & \beta\end{bmatrix}=r\begin{bmatrix}\alpha_{1} & \alpha_{2}\end{bmatrix}=2$. 
\end{frame}
%
\begin{frame}{上述算法的简短说明}

\begin{align*}
\beta=k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2} & \Longleftrightarrow\begin{bmatrix}4\\
3\\
-1\\
11
\end{bmatrix}=k_{1}\begin{bmatrix}1\\
2\\
-1\\
5
\end{bmatrix}+k_{2}\begin{bmatrix}2\\
-1\\
1\\
1
\end{bmatrix}\\
 & \Longleftrightarrow\begin{cases}
k_{1}+2k_{2}=4,\\
2k_{1}-k_{2}=3,\\
-k_{1}+k_{2}=-1,\\
5k_{1}+k_{2}=11,
\end{cases}\longleftrightarrow\begin{bNiceMatrix}[first-row]k_{1} & k_{2} & 1\\
1 & 2 & 4\\
2 & -1 & 3\\
-1 & 1 & -1\\
5 & 1 & 11
\end{bNiceMatrix}\\
 & \Longleftrightarrow\begin{cases}
k_{1}+2k_{2}=4,\\
-5k_{2}=-5,\\
3k_{2}=3,\\
-9k_{2}=-9,
\end{cases}\longleftrightarrow\begin{bNiceMatrix}[first-row]k_{1} & k_{2} & 1\\
1 & 2 & 4\\
0 & -5 & -5\\
0 & 3 & 3\\
0 & -9 & -9
\end{bNiceMatrix}.
\end{align*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{向量组的线性组合}
\begin{thm}[Rouché--Capelli 定理, Kronecker--Capelli 定理, Rouché--Fontené 定理,
Rouché--Frobenius 定理, Frobenius 定理]
设向量
\[
\beta=\begin{bmatrix}b_{1}\\
b_{2}\\
\vdots\\
b_{m}
\end{bmatrix},\quad\alpha_{j}=\begin{bmatrix}a_{1j}\\
a_{2j}\\
\vdots\\
a_{mj}
\end{bmatrix},\quad(j=1,2,\cdots,s),
\]
则向量 $\beta$ 能由向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 线性表示的充分必要条件是矩阵
$A=\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}\right)$ 与矩阵 $\widetilde{A}=\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s},\beta\right)$
的秩相等.
\end{thm}

\end{frame}

\subsection{向量组间的线性表示}
\begin{frame}{向量组间的线性表示}
\begin{defn}
\label{def:3.1-16}设有两向量组
\[
A:\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s};\quad B:\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{t},
\]
若向量组 $B$ 中的每一个向量都能由向量组 $A$ 线性表示, 则称\textbf{向量组 $B$ 能由向量组 $A$ 线性表示}. 

若向量组 $A$ 与向量组 $B$ 能相互线性表示, 则称这\textbf{两个向量组等价}.
\end{defn}

按定义, 若向量组 $B$ 能由向量组 $A$ 线性表示, 则存在\vspace{-4mm}
\[
k_{1j},k_{2j},\cdots,k_{sj},\qquad(j=1,2,\cdots,t)
\]
使\vspace{-4mm}
\[
\beta_{j}=k_{1j}\alpha_{1}+k_{2j}\alpha_{2}+\cdots+k_{sj}\alpha_{s}=\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}\right)\begin{bmatrix}k_{1j}\\
k_{2j}\\
\vdots\\
k_{sj}
\end{bmatrix},
\]

\end{frame}
%
\begin{frame}{向量组的线性表示}
\begin{overprint}
\onslide<1> $$
\colorbox{red!15}{$\beta_{j}$}=k_{1j}\alpha_{1}+k_{2j}\alpha_{2}+\cdots+k_{sj}\alpha_{s}=
\begin{bNiceMatrix}
\alpha_{1} & \alpha_{2} & \cdots & \alpha_{s}\\
\CodeAfter \tikz \node [highlightd = (1-1) (1-4)] {} ;
\end{bNiceMatrix}\begin{bNiceMatrix}
k_{1j}\\
k_{2j}\\
\vdots\\
k_{sj}\\
\CodeAfter \tikz \node [highlighta = (1-1) (4-1)] {} ;
\end{bNiceMatrix},\quad \colorbox{red!15}{$j=1$}.
$$
\onslide<2> $$
\colorbox{blue!15}{$\beta_{j}$}=k_{1j}\alpha_{1}+k_{2j}\alpha_{2}+\cdots+k_{sj}\alpha_{s}=
\begin{bNiceMatrix}
\alpha_{1} & \alpha_{2} & \cdots & \alpha_{s}\\
\CodeAfter \tikz \node [highlightd = (1-1) (1-4)] {} ;
\end{bNiceMatrix}\begin{bNiceMatrix}
k_{1j}\\
k_{2j}\\
\vdots\\
k_{sj}\\
\CodeAfter \tikz \node [highlightb = (1-1) (4-1)] {} ;
\end{bNiceMatrix},\quad \colorbox{blue!15}{$j=2$}.
$$
\onslide<3> $$
\colorbox{red!30}{$\beta_{j}$}=k_{1j}\alpha_{1}+k_{2j}\alpha_{2}+\cdots+k_{sj}\alpha_{s}=
\begin{bNiceMatrix}
\alpha_{1} & \alpha_{2} & \cdots & \alpha_{s}\\
\CodeAfter \tikz \node [highlightd = (1-1) (1-4)] {} ;
\end{bNiceMatrix}\begin{bNiceMatrix}
k_{1j}\\
k_{2j}\\
\vdots\\
k_{sj}\\
\CodeAfter \tikz \node [highlightc = (1-1) (4-1)] {} ;
\end{bNiceMatrix},\quad \colorbox{red!30}{$j=t$}.
$$
\end{overprint}
所以
\begin{overprint}
\onslide<1> $$
\begin{bNiceMatrix}
\beta_{1} & \beta_{2} & \cdots & \beta_{t}\\
\CodeAfter \tikz \node [highlighta = (1-1) (1-1)] {} ;
\end{bNiceMatrix}=\begin{bNiceMatrix}
\alpha_{1} & \alpha_{2} & \cdots & \alpha_{s}\\
\CodeAfter \tikz \node [highlightd = (1-1) (1-4)] {} ;
\end{bNiceMatrix}\cdot\begin{bNiceMatrix}
k_{11}&k_{12}&\cdots&k_{1t}\\
k_{21}&k_{22}&\cdots&k_{2t}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
k_{s1}&k_{s2}&\cdots&k_{st}\\
\CodeAfter \tikz \node [highlighta = (1-1) (4-1)] {} ;
\end{bNiceMatrix},
$$
\onslide<2> $$
\begin{bNiceMatrix}
\beta_{1} & \beta_{2} & \cdots & \beta_{t}\\
\CodeAfter \tikz \node [highlightb = (1-2) (1-2)] {} ;
\end{bNiceMatrix}=\begin{bNiceMatrix}
\alpha_{1} & \alpha_{2} & \cdots & \alpha_{s}\\
\CodeAfter \tikz \node [highlightd = (1-1) (1-4)] {} ;
\end{bNiceMatrix}\cdot\begin{bNiceMatrix}
k_{11}&k_{12}&\cdots&k_{1t}\\
k_{21}&k_{22}&\cdots&k_{2t}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
k_{s1}&k_{s2}&\cdots&k_{st}\\
\CodeAfter \tikz \node [highlightb = (1-2) (4-2)] {} ;
\end{bNiceMatrix},
$$
\onslide<3> $$
\begin{bNiceMatrix}
\beta_{1} & \beta_{2} & \cdots & \beta_{t}\\
\CodeAfter \tikz \node [highlightc = (1-4) (1-4)] {} ;
\end{bNiceMatrix}=\begin{bNiceMatrix}
\alpha_{1} & \alpha_{2} & \cdots & \alpha_{s}\\
\CodeAfter \tikz \node [highlightd = (1-1) (1-4)] {} ;
\end{bNiceMatrix}\cdot\begin{bNiceMatrix}
k_{11}&k_{12}&\cdots&k_{1t}\\
k_{21}&k_{22}&\cdots&k_{2t}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
k_{s1}&k_{s2}&\cdots&k_{st}\\
\CodeAfter \tikz \node [highlightc = (1-4) (4-4)] {} ;
\end{bNiceMatrix},
$$
\end{overprint}
其中矩阵 $K_{s\times t}=\left(k_{ij}\right)_{s\times t}$ 称为这一\textbf{线性表示的系数矩阵}.
\end{frame}
%
\begin{frame}{向量组间的线性表示}
\begin{lem}
若 $C_{s\times n}=A_{s\times t}B_{t\times n}$, 则矩阵 $C$ 的列向量组能由矩阵
$A$ 的列向量组线性表示, $B$ 为这一\textbf{表示的系数矩阵}. 而矩阵 $C$ 的行向量组能由 $B$ 的行向量组线性表示,
$A$ 为这一表示的系数矩阵.
\end{lem}

\begin{thm}
若向量组 $A$ 可由向量组 $B$ 线性表示, 向量组 $B$ 可由向量组 $C$ 线性表示, 则向量组 $A$ 可由向量组
$C$ 线性表示.
\end{thm}

\end{frame}
%

\subsection{作业}
\begin{frame}{作业}
\begin{problem*}
下列向量组中, 向量 $\beta$ 能否由其余向量线性表示? 若能, 写出线性表示式:
\[
\alpha_{1}=(3,-3,2)^{T},\ \alpha_{2}=(-2,1,2)^{T},\ \alpha_{3}=(1,2,-1)^{T},\ \beta=(4,5,6)^{T}.
\]
\end{problem*}
%
\begin{problem*}
判断下列行向量组是否线性相关. 

(1). $(1,2,3)$, $(4,8,12)$, $(3,0,1)$, $(4,5,8)$; 

(2). $(1,2,3,4,5,6)$, $(1,0,1,0,1,0)$, $(-1,1,1,-1,1,1)$, $(-2,3,2,3,4,7)$; 

(3). $(1,2,3,4)$, $(1,0,1,0)$, $(-1,1,1,-1)$, $(-2,3,2,3)$; 

(4). $(1,0,0,2,3,1)$, $(0,1,0,4,6,2)$, $(0,0,1,-2,-3,-1)$;
\end{problem*}
%
\begin{problem*}
求满足下列等式的行向量 $x$: 

(1). $\alpha_{1}+2\alpha_{2}+3\alpha_{3}+4x=0$, 其中 $\alpha_{1}=(5,-8,-1,2)$,
$\alpha_{2}=(2,-1,4,-3)$, $\alpha_{3}=(-3,2,-5,4)$. 

(2). $3\left(\alpha_{1}-x\right)+2\left(\alpha_{2}+x\right)=5\left(\alpha_{3}+x\right)$,
其中 $\alpha_{1}=(2,5,1,3)$, $\alpha_{2}=(10,1,5,10)$, $\alpha_{3}=(4,1,-1,1)$.
\end{problem*}
\end{frame}