\section{向量组的线性相关性}

\subsection{线性相关性概念}
\begin{frame}{线性相关与线性无关}
\begin{defn}
给定向量组 $A:\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$, 如果存在不全为零的数 $k_{1},k_{2},\cdots,k_{s}$,
使
\begin{equation}
k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+\cdots+k_{s}\alpha_{s}=0,\label{eq:3.3-1}
\end{equation}
则称\textbf{向量组 $A$ 线性相关}, 否则称为\textbf{线性无关}.
\end{defn}

\end{frame}
%
\begin{frame}{线性相关与线性无关}
\begin{rem*}
(1) 当且仅当 $k_{1}=k_{2}=\cdots=k_{s}=0$ 时, (\ref{eq:3.3-1}) 式成立, 向量组
$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 线性无关;

(2) 包含零向量的任何向量组是线性相关的;

(3) 向量组只含有一个向量 $\alpha$ 时, 则
\begin{itemize}
\item $\alpha\neq0$ 的充分必要条件是 $\alpha$ 是线性无关的; 
\item $\alpha=0$ 的充分必要条件是 $\alpha$ 是线性相关的;
\end{itemize}
(4) 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例; 反之, 仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例.

(5) 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.
\end{rem*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{线性相关性概念}
\begin{example}
设有 $3$ 个向量 (列向量):
\[
\alpha_{1}=\begin{bmatrix}1\\
0\\
1
\end{bmatrix},\quad\alpha_{2}=\begin{bmatrix}-1\\
2\\
2
\end{bmatrix},\quad\alpha_{3}=\begin{bmatrix}1\\
2\\
4
\end{bmatrix},
\]
不难验证 $2\alpha_{1}+\alpha_{2}-\alpha_{3}=0$, 因此 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$
是 $3$ 个线性相关的 $3$ 维向量.
\end{example}

\end{frame}
%
\begin{frame}{线性相关性概念}
\begin{example}
设有二个 $2$ 维向量: $e_{1}=\begin{bmatrix}1\\
0
\end{bmatrix}$, $e_{2}=\begin{bmatrix}0\\
1
\end{bmatrix}$, 如果它们线性相关, 那么存在不全为零的数 $\lambda_{1},\lambda_{2}$, 使
\[
\lambda_{1}e_{1}+\lambda_{2}e_{2}=0,
\]
也就是
\[
\lambda_{1}\begin{bmatrix}1\\
0
\end{bmatrix}+\lambda_{2}\begin{bmatrix}0\\
1
\end{bmatrix}=0,
\]
即
\[
\begin{bmatrix}\lambda_{1}\\
0
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\
\lambda_{2}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda_{1}\\
\lambda_{2}
\end{bmatrix}=0,
\]
于是 $\lambda_{1}=0$, $\lambda_{2}=0$, 这同 $\lambda_{1},\lambda_{2}$
不全为零的假定矛盾. 因此 $e_{1},e_{2}$ 是线性无关的两个向量.
\end{example}

\end{frame}

\subsection{线性相关性的判定}
\begin{frame}{线性相关性的判定}
\begin{thm}[p. 74, 定理 1]
向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ ($s\geq2$) 线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余
$s-1$ 个向量线性表示.
\end{thm}

\end{frame}
%
\begin{frame}{线性相关性的判定}
\begin{thm}
\label{thm:3.3-2} 设有列向量组 $\alpha_{j}=\begin{bmatrix}a_{1j}\\
a_{2j}\\
\vdots\\
a_{nj}
\end{bmatrix}$, ($j=1,2,\cdots,s$), 则向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$
线性相关的充要条件是: 矩阵 $A=\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}\right)$
的秩小于向量的个数 $s$. 
\end{thm}

\end{frame}
%
\begin{frame}{线性相关性的判定}
\begin{cor}
\label{cor:3.3-2} $n$ 个 $n$ 维列向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$
线性无关 (线性相关) 的充要条件是: 矩阵 $A=\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\right)$
的秩等于 (小于) 向量的个数 $n$.
\end{cor}

\begin{cor}[定理 6, 推论 2]
\label{cor:3.3-3}$n$ 个 $n$ 维列向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$
线性无关 (线性相关) 的充要条件是: 矩阵 $A=\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\right)$
的行列式不等于 (等于) 零.
\end{cor}

\begin{rem*}
上述结论对于矩阵的行向量组也同样成立.
\end{rem*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{用矩阵判定向量组的线性相关性}
\begin{example}
$n$ 维向量组
\[
\varepsilon_{1}=(1,0,\cdots,0)^{T},\ \varepsilon_{2}=(0,1,\cdots,0)^{T},\ \cdots,\ \varepsilon_{n}=(0,0,\cdots,1)^{T}.
\]
称为 \textbf{$n$ 维单位向量组}, 讨论其线性相关性.

\pause{}

\end{example}

\begin{sol*}
$n$ 维单位坐标向量组构成的矩阵
\[
E=\left(\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\cdots,\varepsilon_{n}\right)=\begin{bmatrix}1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 1 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{bmatrix}
\]
是 $n$ 阶单位矩阵.

由 $|E|=1\neq0$, 知 $r(E)=n$. 即 $r(E)$ 等于向量组中向量的个数, 故由推论 \ref{cor:3.3-2}
或推论 \ref{cor:3.3-3} 知此向量是线性无关的.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{线性相关性的判定}
\begin{example}
已知 $\alpha_{1}=\begin{bmatrix}1\\
1\\
1
\end{bmatrix}$, $\alpha_{2}=\begin{bmatrix}0\\
2\\
5
\end{bmatrix}$, $\alpha_{3}=\begin{bmatrix}2\\
4\\
7
\end{bmatrix}$, 试讨论向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 及 $\alpha_{1},\alpha_{2}$
的线性相关性.
\end{example}

\begin{sol*}
对矩阵 $A=\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}\right)$ 施行初等行变换成行阶梯形矩阵,
可同时看出矩阵 $A$ 及 $B=\left(\alpha_{1},\alpha_{2}\right)$ 的秩, 利用定理 \ref{thm:3.3-2}
即可得出结论.
\[
\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}\right)=\begin{bmatrix}1 & 0 & 2\\
1 & 2 & 4\\
1 & 5 & 7
\end{bmatrix}\xrightarrow[r_{3}-r_{1}]{r_{2}-r_{1}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 2\\
0 & 2 & 2\\
0 & 5 & 5
\end{bmatrix}\xrightarrow{r_{1}-\frac{5}{2}r_{2}}\begin{bmatrix}1 & 0 & 2\\
0 & 2 & 2\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix},
\]
易见, $r(A)=2$, $r(B)=2$, 故向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$
线性相关. 向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2}$ 线性无关.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{线性相关性的判定}
\begin{cor}[定理 7]
当向量组中所含向量的个数大于向量的维数时, 此向量组必线性相关.
\end{cor}

\end{frame}
%
\begin{frame}{线性相关性的判定}
\begin{thm}[定理 3]
如果向量组中有一部分向量 (部分组) 线性相关, 则整个向量组线性相关.
\end{thm}

\begin{cor}
线性无关的向量组中的任何部分组都线性无关.
\end{cor}

\end{frame}
%
\begin{frame}{线性相关性与向量的线性表示}
\begin{thm}[p. 75, 定理 2]
\label{thm:2.13}若向量组 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{s},\beta$ 线性相关,
而向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 线性无关, 则向量 $\beta$
可由 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 线性表示且表示法唯一.
\end{thm}

设实数 $k_{1},k_{2},\cdots,k_{s},k$ 使得
\[
k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+\cdots+k_{s}\alpha_{s}+k\beta=0.
\]

\begin{itemize}
\item 若 $k=0$, 则由向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 线性无关知,
$k_{1},k_{2},\cdots,k_{s}$ 均为零; 
\begin{itemize}
\item 因向量组 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{s},\beta$ 线性相关, 所以实数 $k_{1},k_{2},\cdots,k_{s},k$
不能只有零解.
\end{itemize}
\item 若 $k\ne0$, 则 $\beta=-\frac{k_{1}}{k}\alpha_{1}-\frac{k_{2}}{k}\alpha_{2}-\cdots-\frac{k_{s}}{k}\alpha_{s}$.
\end{itemize}
\end{frame}
%
\begin{frame}{线性相关性与向量的线性表示}
\begin{thm}[p. 78, 定理 8]
设有两向量组

\[
A:\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s};\quad B:\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{t},
\]
向量组 $B$ 能由向量组 $A$ 线性表示, 若 $s<t$, 则向量组 $B$ 线性相关.

\pause{}

\end{thm}

\begin{cor}[p. 79, 推论 4]
向量组 $B$ 能由向量组 $A$ 线性表示, 若向量组 $B$ 线性无关, 则 $s\geq t$.
\end{cor}

\end{frame}
%
\begin{frame}{线性相关性与向量的线性表示}
\begin{cor}
\label{cor:3.2-6}设向量组 $A$ 与 $B$ 可以相互线性表示, 若 $A$ 与 $B$ 都是线性无关的,
则 $s=t$.
\end{cor}

\end{frame}
%
\begin{frame}{线性相关性的判定}
\begin{example}
判断下列向量组是否线性相关:

\[
\alpha_{1}=\begin{bmatrix}1\\
2\\
-1\\
5
\end{bmatrix},\quad\alpha_{2}=\begin{bmatrix}2\\
-1\\
1\\
1
\end{bmatrix},\quad\alpha_{3}=\begin{bmatrix}4\\
3\\
-1\\
11
\end{bmatrix}.
\]
\end{example}

\begin{sol*}
对矩阵 $\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}\right)$ 施以初等行变换化为阶梯形矩阵:
\[
\begin{bmatrix}1 & 2 & 4\\
2 & -1 & 3\\
-1 & 1 & -1\\
5 & 1 & 11
\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}1 & 2 & 4\\
0 & -5 & -5\\
0 & 3 & 3\\
0 & -9 & -9
\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1 & 2 & 4\\
0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix},
\]
秩 $\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}\right)=2<3$, 所以向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$
线性相关.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{线性相关性的判定}
\begin{example}
证明: 若向量组 $\alpha,\beta,\gamma$ 线性无关, 则向量组 $\alpha+\beta,\beta+\gamma,\gamma+\alpha$
亦线性无关.
\end{example}

\begin{proof}
设有一组数 $k_{1},k_{2},k_{3}$, 使
\begin{equation}
k_{1}(\alpha+\beta)+k_{2}(\beta+\gamma)+k_{3}(\gamma+\alpha)=0\label{eq:3.3-1-1}
\end{equation}
成立, 整理得 $\left(k_{1}+k_{3}\right)\alpha+\left(k_{1}+k_{2}\right)\beta+\left(k_{2}+k_{3}\right)\gamma=0$.

由 $\alpha,\beta,\gamma$ 线性无关, 故
\begin{equation}
\begin{cases}
k_{1}+k_{3}=0\\
k_{1}+k_{2}=0\\
k_{2}+k_{3}=0
\end{cases}\label{eq:3.3-2}
\end{equation}
因为 $\begin{vmatrix}1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1
\end{vmatrix}=2\neq0$, 故方程组 (\ref{eq:3.3-2}) 仅有零解. 即只有 $k_{1}=k_{2}=k_{3}=0$ 时 (\ref{eq:3.3-1-1})
式才成立. 

因而向量组 $\alpha+\beta,\beta+\gamma,\gamma+\alpha$ 线性无关.
\end{proof}
\end{frame}
%
\begin{frame}{线性相关性的判定}
\begin{example}
设向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 线性相关, 向量组 $\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}$
线性无关, 证明

(1) $\alpha_{1}$ 能由 $\alpha_{2},\alpha_{3}$ 线性表示;

(2) $\alpha_{4}$ 不能由 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 线性表示.
\end{example}

\begin{proof}
(1) 因 $\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}$ 线性无关, 故 $\alpha_{2},\alpha_{3}$
线性无关, 而 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 线性相关, 从而 $\alpha_{1}$
能由 $\alpha_{2},\alpha_{3}$ 线性表示\footnote{书本 p.75, 定理 2, 或本课件定理 \ref{thm:2.13}};

(2) 用反证法. 假设 $\alpha_{4}$ 能由 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$
线性表示, 而由 (1) 知 $\alpha_{1}$ 能由 $\alpha_{2},\alpha_{3}$ 线性表示, 因此
$\alpha_{4}$ 能由 $\alpha_{2},\alpha_{3}$ 表示, 这与 $\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}$
线性无关矛盾. 证毕.
\end{proof}
\end{frame}
%

\subsection{作业}
\begin{frame}[allowframebreaks]{作业}
\begin{problem}
试证明:

(1) 一个向量 $\alpha$ 线性相关的充要条件是 $\alpha=0$;

(2) 一个向量 $\alpha$ 线性无关的充要条件是 $\alpha\neq0$;

(3) 两个向量 $\alpha,\beta$ 线性相关的充要条件是 $\alpha=k\beta$ 或者 $\beta=k\alpha$
(两式不一定同时成立).
\end{problem}

\begin{problem}
判断向量组
\[
\alpha_{1}=(1,2,0,1)^{T},\ \alpha_{2}=(1,3,0,-1)^{T},\ \alpha_{3}=(-1,-1,1,0)^{T}
\]
是否线性相关.
\end{problem}

\begin{problem}
判断向量组
\[
\alpha_{1}=(1,2,-1,5)^{T},\ \alpha_{2}=(2,-1,1,1)^{T},\ \alpha_{3}=(4,3,-1,11)^{T}
\]
是否线性相关.
\end{problem}

\begin{problem}
设向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 线性无关, 又 $\beta_{1}=\alpha_{1}+\alpha_{2}+2\alpha_{3}$,
$\beta_{3}=\alpha_{1}-\alpha_{2}$, $\beta_{3}=\alpha_{1}+\alpha_{3}$,
证明 $\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}$ 线性相关.
\end{problem}

\end{frame}