\section{向量组的秩}

\subsection{极大线性无关向量组}
\begin{frame}{极大线性无关向量组}
\begin{defn}
设有向量组 $A:\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$, 若在向量组 $A$ 中能选出
$r$ 个向量 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r}$, 满足

(1) 向量组 $A_{0}:\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r}$ 线性无关;

(2) 向量组 $A$ 中任意 $r+1$ 个向量 (若有的话) 都线性相关.

则称\textbf{向量组 $A_{0}$ 是向量组 $A$ 的一个极大线性无关向量组} (简称为\textbf{极大无关组}).

\pause{}

\end{defn}

\begin{rem*}
(1) \textbf{\textcolor{orange}{只含}}\textcolor{orange}{有零向量的向量组没有极大无关组;}

(2) 向量组的极大无关组可能不止一个，但由上节推论 \ref{cor:3.2-6} 知, 其向量的个数是相同的.
\end{rem*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{极大线性无关向量组}
\begin{thm}
\label{thm:3.4-1} 如果 $\alpha_{j_{1}},\alpha_{j_{2}},\cdots,\alpha_{j_{r}}$
是 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 的线性无关部分组, 它是极大无关组的充分必要条件是
$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 中的每一个向量都可由 $\alpha_{j_{1}},\alpha_{j_{2}},\cdots,\alpha_{j_{r}}$
线性表示.

\pause{}

\end{thm}

\begin{rem*}
由定理 \ref{thm:3.4-1} 知, 向量组与其极大线性无关组可相互线性表示, 即向量组与其极大线性无关组等价 (向量组之间的等价见定义
\ref{def:3.1-16}).
\end{rem*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{极大线性无关向量组}
\begin{example}
全体 $n$ 维向量 $e_{1},e_{2},\cdots,e_{n}$ 构成的向量组记作 $\RR^{n}$, 求 $\RR^{n}$
的一个极大无关组及 $\RR^{n}$ 的秩.
\end{example}

\begin{sol*}
因为 $n$ 维单位坐标向量构成的向量组 $E:e_{1},e_{2},\cdots,e_{n}$ 是线性无关的, 又知, $\RR^{n}$
中的任意 $n+1$ 个向量都线性相关, 因此向量组 $E$ 是 $R^{n}$ 的一个极大无关组, 且 $\RR^{n}$
的秩等于 $n$.
\end{sol*}
\end{frame}

\subsection{向量组的秩}
\begin{frame}{向量组的秩}
\begin{defn}
向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$ 的极大无关组所含向量的个数称为该\textbf{向量组的秩},
记为

\[
r\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}\right).
\]
\end{defn}

规定: 只由零向量组成的向量组的秩为 $0$.
\end{frame}

\subsection{矩阵与向量组秩的关系}
\begin{frame}[allowframebreaks]{矩阵的秩与向量组的秩}
\begin{thm}[p. 83, 定理 10]
\label{thm:3.4-2} 设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵, 则矩阵 $A$ 的秩等于它的列向量组的秩,
也等于它的行向量组的秩.
\end{thm}

\begin{cor}[p. 83, 推论 7]
矩阵 $A$ 的行向量组的秩与列向量组的秩相等.
\end{cor}

由定理 \ref{thm:3.4-2} 知, 若 $D_{r}$ 是矩阵 $A$ 的一个最高阶非零子式, 则 $D_{r}$
所在的 $r$ 列就是 $A$ 的列向量组的一个极大无关组; $D_{r}$ 所在的 $r$ 行即是 $A$ 的行向量组的一个极大无关组.
\end{frame}
%
\begin{frame}{矩阵与向量组秩的关系}

以向量组中各向量为列向量组成矩阵后, 只作初等行变换将该矩阵化为行阶梯形矩阵, 则可直接写出所求向量组的极大无关组;

同理, 也可\uuline{以向量组}中各向量为行向量组成矩阵, 通过作初等列变换来求所求向量组的极大无关组.
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{向量组的秩}
\begin{example}
求向量组
\[
\alpha_{1}=(1,2,-1,1)^{T},\ \alpha_{2}=(2,0,t,0)^{T},\ \alpha_{3}=(0,-4,5,-2)^{T},\ \alpha_{4}=(3,-2,t+4,-1)^{T}
\]
的秩和一个极大无关组.
\end{example}

\begin{sol*}
向量的分量中含参数 $t$, 向量组的秩和极大无关组与 $t$ 的取值有关. 对下列矩阵作初等行变换:\vspace{-4mm}

\begin{align*}
\begin{bmatrix}\alpha_{1} & \alpha_{2} & \alpha_{3} & \alpha_{4}\end{bmatrix} & =\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 3\\
2 & 0 & -4 & -2\\
-1 & t & 5 & t+4\\
1 & 0 & -2 & -1
\end{bmatrix}\\
 & \longrightarrow\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 3\\
0 & -4 & -4 & -8\\
0 & t+2 & 5 & t+7\\
0 & -2 & -2 & -4
\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 3\\
0 & 1 & 1 & 2\\
0 & 0 & 3-t & 3-t\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\end{align*}
显然, $\alpha_{1},\alpha_{2}$ 线性无关, 且

(1) $t=3$ 时, 则 $r\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}\right)=2$,
且 $\alpha_{1},\alpha_{2}$ 是极大无关组;

(2) $t\neq3$ 时, 则 $r\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}\right)=3$,
且 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 是极大无关组;
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{极大线性无关向量组}
\begin{example}
设矩阵 $A=\begin{bmatrix}2 & -1 & -1 & 1 & 2\\
1 & 1 & -2 & 1 & 4\\
4 & -6 & 2 & -2 & 4\\
3 & 6 & -9 & 7 & 9
\end{bmatrix}$, 求矩阵 $A$ 的列向量组的一个极大无关组并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示.
\end{example}

\begin{sol*}
对 $A$ 施行初等变换化为行阶梯形矩阵:\vspace{-4mm}
\begin{equation}
A\longrightarrow\begin{bmatrix}1 & 1 & -2 & 1 & 4\\
0 & 1 & -1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & -3\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix},\label{eq:3.4-1}
\end{equation}
知 $r(A)=3$, 故列向量组的极大无关组含 $3$ 个向量. 

而三个非零首元在第 $1,2,4$ 三列, 故 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{4}$ 为列向量组的一个极大无关组.
也即 $r\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{4}\right)=3$, 故 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{4}$
线性无关.
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
将 $A$ 化为行最简形矩阵, (将三个非零首元所在列清零, 与 (\ref{eq:3.4-1}) 式比较): 

$$
A\longrightarrow\begin{bNiceMatrix}[first-row]
\alpha_{1}&\alpha_{2}&\alpha_{3}&\alpha_{4}&\alpha_{5}\\1&0&-1&0&4\\0&1&-1&0&3\\0&0&0&1&-3\\0&0&0&0&0
\end{bNiceMatrix},
$$于是, 可以看出 $\begin{cases}
\alpha_{3}=-\alpha_{1}-\alpha_{2}\\
\alpha_{5}=4\alpha_{1}+3\alpha_{2}-3\alpha_{4}
\end{cases}$.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{矩阵与向量组秩的关系}
\begin{thm}[向量间线性关系的判定定理]
 若向量组 $B$ 能由向量组 $A$ 线性表示, 则 $r(B)\leq r(A)$.

\pause{}

\end{thm}

\begin{cor}
\label{cor:3.4-1} 等价的向量组的秩相等. 
\end{cor}

\end{frame}
%
\begin{frame}{矩阵与向量组秩的关系}
\begin{cor}
\label{cor:3.4-2} 设 $C_{m\times n}=A_{m\times s}B_{s\times n}$,
则 $r(C)\leq\min\{r(A),r(B)\}$.

\pause{}

\end{cor}

\begin{cor}
\label{cor:3.4-3} 设向量组 $B$ 是向量组 $A$ 的部分组, 若向量组 $B$ 线性无关, 且向量组
$A$ 能由向量组 $B$ 线性表示, 则向量组 $B$ 是向量组 $A$ 的一个极大无关组.
\end{cor}

\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{秩不等式}
\begin{example}
设 $A_{m\times n}$ 及 $B_{n\times s}$ 为两个矩阵, 证明: $A$ 与 $B$ 乘积的秩不大于
$A$ 的秩和 $B$ 的秩, 即 $r(AB)\leq\min(r(A),r(B))$.
\end{example}

\begin{proof}
\textbf{将 $A$ 看成列向量组成的行矩阵}: $A=\left(a_{ij}\right)_{m\times n}=\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\right)$,
设 $B=\left(b_{ij}\right)_{n\times s}$, $AB=C=\left(c_{ij}\right)_{m\times s}=\left(\gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{s}\right)$,
即 
\[
\left(\gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{s}\right)=\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\right)\begin{bmatrix}b_{11} & \cdots & b_{1j} & \cdots & b_{1s}\\
b_{21} & \cdots & b_{2j} & \cdots & b_{2s}\\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\
b_{n1} & \cdots & b_{nj} & \cdots & b_{ns}
\end{bmatrix}
\]
因此有 $\gamma_{j}=b_{1j}\alpha_{1}+b_{2j}\alpha_{2}+\cdots+b_{nj}\alpha_{n}$,
($j=1,2,\cdots,s$), 即 $AB$ 的列向量组 $\gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{s}$
可由 $A$ 的列向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ 线性表示. 
\end{proof}
%
\begin{proof}
故 $\gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{s}$ 的极大无关组可由 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$
的极大无关组线性表示, 由\textbf{向量间线性关系的判定定理}:
\[
r(AB)\leq r(A).
\]

类似地: \textbf{将 $B$ 看成行向量的列矩阵}, $B=\left(b_{ij}\right)=\begin{bmatrix}\beta_{1}\\
\beta_{2}\\
\vdots\\
\beta_{n}
\end{bmatrix}$, 可以证明: $r(AB)\leq r(B)$. 因此, $r(AB)\leq\min(r(A),r(B))$.
\end{proof}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{向量组的等价}
\begin{example}
设向量组 $B$ 能由向量组 $A$ 线性表示, 且它们的秩相等, 证明向量组 $A$ 与向量组 $B$ 等价.
\end{example}

\begin{proof}
\textbf{证法一:} 只要证明向量组 $A$ 能由向量组 $B$ 线性表示. 设两个向量组的秩都为 $s$, 并设 $A$
组和 $B$ 组的极大无关组依次为 $A_{0}:\alpha_{1},\cdots,\alpha_{s}$ 和 $B_{0}:\beta_{1},\cdots,\beta_{s}$,
因 $B$ 组能由 $A$ 组线性表示, 故 $B_{0}$ 组能由 $A_{0}$ 组线性表示, 即有 $s$ 阶方阵
$K_{s}$ 使 $\left(\beta_{1},\cdots,\beta_{s}\right)=\left(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{s}\right)K_{s}$.
因 $B_{0}$ 组线性无关, 故由推论 \ref{cor:3.4-2} 知
\[
r\left(\beta_{1},\cdots,\beta_{s}\right)=s\Longrightarrow r\left(K_{s}\right)\ge r(A_{0}K_{s})=r\left(\beta_{1},\cdots,\beta_{s}\right)=s.
\]
但 $r\left(K_{s}\right)\leq s$, 因此 $r\left(K_{s}\right)=s$. 于是矩阵
$K_{s}$ 可逆, 并有 $\left(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{s}\right)=\left(\beta_{1},\cdots,\beta_{s}\right)K_{s}^{-1}$,
即 $A_{0}$ 组能由 $B_{0}$ 组线性表示, 从而 $A$ 组能由 $B$ 组线性表示.
\end{proof}
%
\begin{proof}
\textbf{证法二:} 设向量组 $A$ 和 $B$ 的秩都有为 $s$. 因 $B$ 组能由 $A$ 组线性表示,
故 $A$ 组和 $B$ 组合并而成的向量组 $(A,B)$ 能由 $A$ 组线性表示. 而 $A$ 组是 $(A,B)$
组的部分组, 故 $A$ 组总能由 $(A,B)$ 组线性表示. 所以 $(A,B)$ 组与 $A$ 组等价, 因此 $(A,B)$
组的秩也为 $s$ (见推论 \ref{cor:3.4-1}).

又因 $B$ 组的秩也为 $s$, 故 $B$ 组的极大无关组 $B_{0}$ 含 $s$ 个向量; 由于向量组 $B$
能由向量组 $A$ 线性表示, 因此 $(A,B)$ 的极大无关组的秩与向量组 $A$ 的秩相等, 并等于向量组 $B$ (或者
$B_{0}$) 的秩 $s$, 因此 $B_{0}$ 组也是 $(A,B)$ 组的极大无关组, 从而 $(A,B)$ 组与
$B_{0}$ 组等价, 由 $A$ 组与 $(A,B)$ 组等价, $(A,B)$ 与 $B_{0}$ 等价, 推知 $A$
组与 $B_{0}$ 组等价.
\end{proof}
\begin{rem*}
本例把证明两向量组 $A$ 与 $B$ 等价, 转换为证明它们的极大无关组 $A_{0}$ 与 $B_{0}$ 等到价.

证法一证明 $B_{0}$ 用 $A_{0}$ 线性表示的系数矩阵可逆; 证法二实质上是证明 $A_{0}$ 与 $B_{0}$
都是向量组 $(A,B)$ 的极大无关组.
\end{rem*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{向量组的等价}
\begin{example}
已知 $\left(\alpha_{1},\alpha_{2}\right)=\begin{bmatrix}2 & 3\\
0 & -2\\
-1 & 1\\
3 & -1
\end{bmatrix}$, $\left(\beta_{1},\beta_{2}\right)=\begin{bmatrix}-5 & 4\\
6 & -4\\
-5 & 3\\
9 & -5
\end{bmatrix}$, 证明向量组 $\left(\alpha_{1},\alpha_{2}\right)$ 与 $\left(\beta_{1},\beta_{2}\right)$
等价.
\end{example}

\begin{proof}
要证存在 $2$ 阶方阵 $X,Y$, 使 $\left(\beta_{1},\beta_{2}\right)=\left(\alpha_{1},\alpha_{2}\right)X$,
$\left(\alpha_{1},\alpha_{2}\right)=\left(\beta_{1},\beta_{2}\right)Y$.

先求 $X$. 对增广矩阵 $\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\beta_{1},\beta_{2}\right)$
施行初等行变换:
\begin{align*}
\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\beta_{1},\beta_{2}\right) & =\begin{bmatrix}2 & 3 & -5 & 4\\
0 & -2 & 6 & -4\\
-1 & 1 & -5 & 3\\
3 & -1 & 9 & -5
\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}-1 & 1 & -5 & 3\\
0 & -2 & 6 & -4\\
2 & 3 & -5 & 4\\
3 & -1 & 9 & -5
\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}-1 & 1 & -5 & 3\\
0 & -2 & 6 & -4\\
0 & 5 & -15 & 10\\
0 & 2 & -6 & 4
\end{bmatrix}\\
 & \longrightarrow\begin{bmatrix}-1 & 1 & -5 & 3\\
0 & 1 & -3 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 & -1\\
0 & 1 & -3 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\Longrightarrow X=\begin{bmatrix}2 & -1\\
-3 & 2
\end{bmatrix}
\end{align*}
因 $|X|=1\neq0$, 知 $X$ 可逆, 取 $Y=X^{-1}$, 即为所求. 因此向量组 $\left(\alpha_{1},\alpha_{2}\right)$
与 $\left(\beta_{1},\beta_{2}\right)$ 等价.
\end{proof}
\end{frame}
%

\subsection{作业}
\begin{frame}{作业}
\begin{problem}
求向量组
\[
\alpha_{1}=(2,4,2)^{T},\ \alpha_{2}=(1,1,0)^{T},\ \alpha_{3}=(2,3,1)^{T},\ \alpha_{4}=(3,5,2)^{T}
\]
的一个极大无关组, 并把其余向量用该极大无关组线性表示.
\end{problem}

\end{frame}