\section{向量空间{*}}

\subsection{向量空间与子空间}
\begin{frame}{向量空间与子空间}
\begin{defn}
设 $V$ 为 $n$ 维向量的集合, 若集合 $V$ 非空, 且集合 $V$ 对于 $n$ 维向量的加法及数乘两种运算封闭,
即
\begin{enumerate}
\item 若 $\alpha\in V$, $\beta\in V$, 则 $\alpha+\beta\in V$;
\item 若 $\alpha\in V$, $\lambda\in\RR$, 则 $\lambda\alpha\in V$. 
\end{enumerate}
则称\textbf{集合 $V$ 为 $\RR$ 上的向量空间}. 

记\textbf{所有 $n$ 维向量的集合}为 $\RR^{n}$.
\end{defn}

\end{frame}
%
\begin{frame}{向量空间的例子}

由 $n$ 维向量的线性运算规律, 容易验证集合 $\RR^{n}$ 对于加法及数乘两种运算封闭. 因而集合 $\RR^{n}$
构成一向量空间, 称 $\RR^{n}$ 为 $n$ 维向量空间.
\begin{rem*}
$n=3$ 时, 三维向量空间 $\RR^{3}$ 表示实空间;

$n=2$ 时, 二维向量空间 $\RR^{2}$ 表示平面;

$n=1$ 时, 一维向量空间 $\RR^{1}$ 表示数轴.

$n>3$ 时, $\RR^{n}$ 没有直观的几何形象.
\end{rem*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{(向量空间的) 子空间}
\begin{defn}
设有向量空间 $V_{1}$ 和 $V_{2}$, 若向量空间 $V_{1}\subset V_{2}$, 则称 \textbf{$V_{1}$
是 $V_{2}$ 的子空间}.
\end{defn}

\end{frame}
%
\begin{frame}{向量空间的例子}
\begin{example}
判别下列集合是否为向量空间

\[
V_{1}=\left\{ x=\left(0,x_{2},\cdots,x_{n}\right)^{T}\mid x_{2},\cdots,x_{n}\in\RR\right\} .
\]

\pause{}

\end{example}

\begin{sol*}
$V_{1}$ 是向量空间. 因为对于 $V_{1}$ 的任意两个元素
\[
\alpha=\left(0,a_{2},\cdots,a_{n}\right)^{T},\ \beta=\left(0,b_{2},\cdots,b_{n}\right)^{T}\in V_{1},
\]
有 $\alpha+\beta=\left(0,a_{2}+b_{2},\cdots,a_{n}+b_{n}\right)^{T}\in V_{1}$,
$\lambda\alpha=\left(0,\lambda a_{2},\cdots,\lambda a_{n}\right)^{T}\in V_{1}$.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{不是向量空间的例子}
\begin{example}
判别下列集合是否为向量空间
\[
V_{2}=\left\{ x=\left(1,x_{2},\cdots,x_{n}\right)^{T}\mid x_{2},\cdots,x_{n}\in\RR\right\} .
\]

\pause{}

\end{example}

\begin{sol*}
集合 $V_{2}$ 不是向量空间. 因为若 $\alpha=\left(1,a_{2},\cdots,a_{n},\right)^{T}\in V_{2}$,
则 $2\alpha=\left(2,2a_{2},\cdots,2a_{n},\right)^{T}\notin V_{2}$.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{由两个向量生成的向量空间}
\begin{example}
设 $\alpha,\beta$ 为两个已知的 $n$ 维向量, 集合
\[
V=\{\xi=\lambda\alpha+\mu\beta\mid\lambda,\mu\in\RR\},
\]
试判断集合 $V$ 是否为向量空间. 

\pause{}

\end{example}

\begin{sol*}
$V$ 是一个向量空间. 因为若 $\xi_{1}=\lambda_{1}\alpha+\mu_{1}\beta$, $\xi_{2}=\lambda_{2}\alpha+\mu_{2}\beta$,
则有 
\[
\xi_{1}+\xi_{2}=\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right)\alpha+\left(\mu_{1}+\mu_{2}\right)\beta\in V,\ k\xi_{1}=\left(k\lambda_{1}\right)\alpha+\left(k\mu_{1}\right)\beta\in V.
\]
这个向量空间称为\textbf{由向量 $\alpha,\beta$ 所生成的向量空间}. 通常记 $V$ 为 $\mathrm{span}\left\{ \alpha,\beta\right\} $.
\end{sol*}

\pause{}
\begin{rem*}
通常由向量组 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{m}$ 所生成的向量空间记为
\[
V=\mathrm{span}\{a_{1},\cdots,a_{m}\}=\left\{ \xi=\lambda_{1}a_{1}+\lambda_{2}a_{2}+\cdots+\lambda_{m}a_{m}\mid\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{m}\in\RR\right\} .
\]
\end{rem*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{等价向量组生成的向量空间相等}
\begin{example}
设向量组 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{m}$ 与向量组 $\beta_{1},\cdots,\beta_{s}$
等价, 记
\[
\begin{aligned}V_{1} & =\left\{ \xi=\lambda_{1}\alpha_{1}+\lambda_{2}\alpha_{2}+\cdots+\lambda_{m}\alpha_{m}\mid\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{m}\in\RR\right\} ,\\
V_{2} & =\left\{ \xi=\mu_{1}\beta_{1}+\mu_{2}\beta_{2}+\cdots+\mu_{s}\beta_{s}\mid\mu_{1},\mu_{2},\cdots,\mu_{s}\in\RR\right\} ,
\end{aligned}
\]
试证: $V_{1}=V_{2}$.

\pause{}

\end{example}

\begin{proof}
设 $\xi\in V_{1}$, 则 $\xi$ 可由 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{m}$ 线性表示.
因 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{m}$ 可由 $\beta_{1},\cdots,\beta_{s}$
线性表示, 故 $\xi$ 可由 $\beta_{1},\cdots,\beta_{s}$ 线性表示, 因此 $\xi\in V_{2}$.
即, 若 $\xi\in V_{1}$, 则 $\xi\in V_{2}\Longrightarrow V_{1}\subset V_{2}$.

类似地可证: 若 $\xi\in V_{2}$, 则 $\xi\in V_{1}\Longrightarrow V_{2}\subset V_{1}$.

因为 $V_{1}\subset V_{2},V_{2}\subset V_{1}$, 所以 $V_{1}=V_{2}$. 
\end{proof}
\end{frame}
%
\begin{frame}{齐次线性方程组的解集是向量空间}
\begin{example}
考虑齐次线性方程组 $Ax=0$, 全体解的集合为
\[
S=\{\alpha\mid A\alpha=0\}.
\]
显然, $S$ 非空 (因为 $0\in S$). 任取 $\alpha,\beta\in S$, $k$ 为任一常数, 则
\[
\begin{aligned}A(\alpha+\beta) & =A\alpha+A\beta=0\Longrightarrow\alpha+\beta\in S,\\
A(k\alpha) & =kA\alpha=k0=0\Longrightarrow k\alpha\in S,
\end{aligned}
\]
故 $S$ 是一向量空间. 称 $S$ 为齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解空间.
\end{example}

\end{frame}
%
\begin{frame}{三维空间 $\RR^{3}$ 的子空间}
\begin{example}
$\RR^{3}$ 中过原点的平面是 $\RR^{3}$ 的子空间.

\pause{}

\end{example}

\begin{proof}
$\RR^{3}$ 中过原点的平面可以看作集合
\[
V=\left\{ (x,y,z)\in\RR^{3}\mid\alpha x+\beta y+\gamma z=0,\text{ 其中 }(\alpha,\beta,\gamma)\in\RR^{3}\right\} .
\]
若 $\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right)\in V$, $\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\in V$,
即
\[
\alpha x_{1}+\beta y_{1}+\gamma z_{1}=0,\ \alpha x_{2}+\beta y_{2}+\gamma z_{2}=0,
\]
则有
\[
\alpha\left(x_{1}+x_{2}\right)+\beta\left(y_{1}+y_{2}\right)+\gamma\left(z_{1}+z_{2}\right)=0,\ k\alpha x_{1}+k\beta y_{1}+k\gamma z_{1}=0,
\]
即
\[
\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right)+\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\in V,\ k\left(x_{1},y_{1},z_{1}\right)\in V,
\]
故 $\RR^{3}$ 中过原点的平面是 $\RR^{3}$ 的子空间.
\end{proof}
\end{frame}
%
\begin{frame}{$\RR^{2}$ 不是 $\RR^{3}$ 的子空间}
\begin{example}
向量空间 $\RR^{2}$ 不是 $\RR^{3}$ 的子空间, 因为 $\RR^{2}$ 根本不是 $\RR^{3}$
的子集 ($\RR^{3}$ 中的向量有三个分量, 但 $\RR^{2}$ 中的分量却只有两个). 集合
\[
H=\{(s,t,0)\mid s,t\in\RR\}
\]
是 $\RR^{3}$ 的子集\footnote{与 $\RR^{2}$ 有相同的性态, 尽管严格意义上 $H$ 不同于 $\RR^{2}$}.
证明 $H$ 是 $\RR^{3}$ 的子空间.

\pause{}

\end{example}

\begin{proof}
任取 $\left(s_{1},t_{1},0\right),\left(s_{2},t_{2},0\right)\in H$,
$k$ 为任意常数, 则

\[
\left(s_{1},t_{1},0\right)+\left(s_{2},t_{2},0\right)\in H,\ k\left(s_{1},t_{1},0\right)\in H,
\]
因此 $H$ 是 $\RR^{3}$ 的子空间.
\end{proof}
\end{frame}

\subsection{向量空间的基与维数}
\begin{frame}{向量空间的基与维数}
\begin{defn}
设 $V$ 是向量空间, 若有 $r$ 个向量 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r}\in V$,
且满足
\begin{enumerate}
\item $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{r}$ 线性无关;
\item $V$ 中任一向量都可由 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{r}$ 线性表示.
\end{enumerate}
则称\textbf{向量组 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{r}$ 为向量空间 $V$ 的一个基}, 数
$r$ 称为\textbf{向量空间 $V$ 的维数}, 记为 $\mathrm{dim}V=r$ 并称 \textbf{$V$
为 $r$ 维向量空间}.
\end{defn}

\end{frame}
%
\begin{frame}{\textbf{向量空间的注记}}
\begin{rem*}
\vspace{1mm}
\begin{enumerate}
\item 只含零向量的向量空间称为 \textbf{$0$ 维向量空间}, 它没有基;
\item 若把向量空间 $V$ 看作向量组, 则 $V$ 的基就是向量组的极大无关组, $V$ 的维数就是向量组的秩;
\item 若向量组 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{r}$ 是向量空间 $V$ 的一个基, 则 $V$ 可表示为
\[
V=\left\{ x=\lambda_{1}\alpha_{1}+\cdots+\lambda_{r}\alpha_{r}\mid\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{r}\in\RR\right\} .
\]
此时, $V$ 又称为\textbf{由基 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{r}$ 所生成的向量空间},
记作 $V=\mathrm{span}\left\{ \alpha_{1},\cdots,\alpha_{r}\right\} $.
故数组 $\lambda_{1},\cdots,\lambda_{r}$ 称为\textbf{向量 $x$ 在基 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{r}$
中的坐标}.
\end{enumerate}
\end{rem*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{向量空间中的基与坐标}
\begin{rem*}
如果在向量空间 $V$ 中取定一个基 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{r}$, 那么 $V$ 中任一向量 $x$
可惟一地表示为
\[
x=\lambda_{1}a_{1}+\lambda_{2}a_{2}+\cdots+\lambda_{r}a_{r},
\]
数组 $\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{r}$ 称为\textbf{向量 $x$
在基 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{r}$ 中的坐标}. 特别地, 在 $n$ 维向量空间 $\RR^{n}$
中取单位坐标向量组 $e_{1},e_{2},\cdots,e_{n}$ 为基, 则以 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$
为分量的向量 $x$, 可表示为
\[
x=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\cdots+x_{n}e_{n},
\]
可见向量 $x$ 在基 $e_{1},e_{2},\cdots,e_{n}$ 中的坐标就是该向量的分量. 因此 $e_{1},e_{2},\cdots,e_{n}$
叫做 \textbf{$\RR^{n}$ 中的自然基}.
\end{rem*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{向量空间中基的例子}
\begin{example}
证明单位向量组
\[
e_{1}=(1,0,0,\cdots,0)^{T},\quad e_{2}=(0,1,0,\cdots,0)^{T},\cdots,\quad e_{n}=(0,0,0,\cdots,1)^{T},
\]
是 $n$ 维向量空间 $\RR^{n}$ 的一个基.

\pause{}

\end{example}

\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item 易见 $n$ 维向量组 $e_{1},e_{2},\cdots,e_{n}$ 线性无关;
\item 对 $n$ 维向量空间 $\RR^{n}$ 中的任意一向量 $\alpha=\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)^{T}$,
有 $\alpha=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+\cdots+a_{n}e_{n}$, 即 $\RR^{n}$
中的任意一向量都可由向量组 $e_{1},e_{2},\cdots,e_{n}$ 线性表出. 因此, 向量组 $e_{1},e_{2},\cdots,e_{n}$
是 $n$ 维向量空间 $\RR^{n}$ 的一个基.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{frame}
%
\begin{frame}{向量空间中的基}
\begin{example}[$\star\star\star\star\star$]
给定向量
\[
\alpha_{1}=(-2,4,1)^{T},\ \alpha_{2}=(-1,3,5)^{T},\ \alpha_{3}=(2,-3,1)^{T},\ \beta=(1,1,3)^{T},
\]
试证明: 向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 是三维向量空间 $\RR^{3}$ 的一个基,
并将向量 $\beta$ 用这个基线性表示.

\pause{}

\end{example}

\begin{proof}
令矩阵 $A=\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}\right)$, 要证明 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$
是 $\RR^{3}$ 的一个基, 只需证明矩阵 $A$ 的初等行变换过程: $A\rightarrow\cdots\rightarrow E$\footnote{这说明向量组构成是满秩矩阵, 从而线性无关, 向量空间中的任何向量都可以由向量组线性表出.};

又设 $\beta=x_{1}\alpha_{1}+x_{2}\alpha_{2}+x_{3}\alpha_{3}$ 或 $Ax=\beta$,
解得 $x=A^{-1}\beta$. 若对 $\begin{bmatrix}A & \beta\end{bmatrix}$ 进行初等行变换,
当将 $A$ 化为单位矩阵 $E$ 时, 可同时将向量 $\beta$ 化为 $X=A^{-1}\beta$.
\[
\begin{bmatrix}A & \beta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2 & -1 & 2 & 1\\
4 & 3 & -3 & 1\\
1 & 5 & 1 & 3
\end{bmatrix}\xrightarrow{\text{ 行变换 }}\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 4\\
0 & 1 & 0 & -1\\
0 & 0 & 1 & 4
\end{bmatrix},
\]
可见 $A\rightarrow E$\footnote{不要忘了, $A\rightarrow E$ 意味着矩阵 $A$ 与 $E$ 等价, (回忆矩阵等价的定义)},
故 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 是 $\RR^{3}$ 的一个基, 且 $\beta=4\alpha_{1}-\alpha_{2}+4\alpha_{3}$.
\end{proof}
\end{frame}
%
\begin{frame}{向量在给定基下的坐标}
\begin{example}
考虑 $\RR^{2}$ 的一个基 $\alpha_{1},\alpha_{2}$, 其中 $\alpha_{1}=(1,0)^{T}$,
$\alpha_{2}=(1,2)^{T}$, 若 $\RR^{2}$ 的一向量 $x$ 在基 $\alpha_{1},\alpha_{2}$
的坐标为 $(-2,3)^{T}$, 求 $x$. 

又若 $y=(4,5)^{T}$, 试确定向量 $y$ 在基 $\alpha_{1},\alpha_{2}$ 的坐标.

\pause{}

\end{example}

\begin{sol*}
根据 $x$ 在基 $\alpha_{1},\alpha_{2}$ 下的坐标, 计算 
\[
x=(-2)\begin{bmatrix}1\\
0
\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}1\\
2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\
6
\end{bmatrix}.
\]
设 $y$ 在基 $\alpha_{1},\alpha_{2}$ 下的坐标为 $\left(\lambda_{1},\lambda_{2}\right)^{T}$,
则
\[
\lambda_{1}\begin{bmatrix}1\\
0
\end{bmatrix}+\lambda_{2}\begin{bmatrix}1\\
2
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\
5
\end{bmatrix}\quad\text{ 或 }\begin{bmatrix}1 & 1\\
0 & 2
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\lambda_{1}\\
\lambda_{2}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\\
5
\end{bmatrix}.
\]
该方程可以通过利用等号左边矩阵的逆来求解. 得到方程的解 $\lambda_{1}=\frac{3}{2}$, $\lambda_{2}=\frac{5}{2}$.
因此 $y=\frac{3}{2}\alpha_{1}+\frac{5}{2}\alpha_{2}$.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{向量在给定基下的坐标}
\begin{example}
设 $v_{1}=(3,6,2)^{T}$, $v_{2}=(-1,0,1)^{T}$, $x=(3,12,7)^{T}$.
判断 $x$ 是否属于由 $v_{1},v_{2}$ 生成的向量空间. 如果是, 求出 $x$ 在 $v_{1},v_{2}$
中的坐标.
\end{example}

\begin{sol*}
如果 $x$ 属于由 $v_{1},v_{2}$ 生成的向量空间, 则下列向量方程是有解的:
\[
\lambda_{1}\begin{bmatrix}3\\
6\\
2
\end{bmatrix}+\lambda_{2}\begin{bmatrix}-1\\
0\\
1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\
12\\
7
\end{bmatrix}.
\]
若满足上式的 $\lambda_{1},\lambda_{2}$ 存在, 它们应该是 $x$ 在 $v_{1},v_{2}$
中的坐标. 利用行变换可得

\[
\begin{bmatrix}3 & -1 & 3\\
6 & 0 & 12\\
2 & 1 & 7
\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1 & 0 & 2\\
0 & 1 & 3\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
\]
因此 $\lambda_{1}=2$, $\lambda_{2}=3$.
\end{sol*}
\end{frame}
%

\subsection{作业}
\begin{frame}{作业}
\begin{problem}
设向量组 $A:\alpha_{1}=(1,0,1)^{T}$, $\alpha_{2}=(2,2,0)^{T}$, $\alpha_{3}=(2,4-1)^{T}$,
向量组 $B:\beta_{1}=(-1,2,4)^{T}$, $\beta_{2}=(2,4,-4)^{T}$.

试证明向量组 $A$ 是三维向量空间 $\RR^{3}$ 的一个基, 并将向量组 $B$ 用这个基线性表示.
\end{problem}

\end{frame}