\section{向量的内积}
\begin{frame}{向量的内积}

在前面章节中, 我们研究了向量的线性运算, 并利用它讨论向量之间的线性关系, 但尚未涉及到向量的度量性质.

在空间解析几何中, 向量 $\overrightarrow{x}=\left\{ x_{1},x_{2},x_{3}\right\} $
和 $\overrightarrow{y}=\left\{ y_{1},y_{2},y_{3}\right\} $ 的长度与夹角等度量性质可以通过两个向量的数量积
\[
\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}=|\overrightarrow{x}||\overrightarrow{y}|\cos(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})
\]
来表示, 且在直角坐标系中, 有
\[
\begin{gathered}\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3},\\
|\overrightarrow{x}|=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}.
\end{gathered}
\]
本节中, 我们要将数量积的概念推广到 $n$ 维向量空间中, 引入内积的概念.
\end{frame}

\subsection{内积及其性质}
\begin{frame}{内积及其性质}
\begin{defn}
设有 $n$ 维向量
\[
x=\begin{bmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
\vdots\\
x_{n}
\end{bmatrix},\quad y=\begin{bmatrix}y_{1}\\
y_{2}\\
\vdots\\
y_{n}
\end{bmatrix}
\]
称 \textbf{$[x,y]$ 为向量 $x$ 与 $y$ 的内积}. 内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数,
按矩阵的记法可表示为
\[
[x,y]=x^{T}y=\begin{bmatrix}x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_{1}\\
y_{2}\\
\vdots\\
y_{n}
\end{bmatrix}.
\]
\end{defn}

\end{frame}
%
\begin{frame}{计算内积}
\begin{example}
设有 $\RR^{3}$ 中的基 $e_{1}=(1,0,0)^{T}$, $e_{2}=(0,1,0)^{T}$, $e_{3}=(0,0,1)^{T}$,
试求 $e_{i}$ 与 $e_{j}$ ($i,j=1,2,3$) 的内积.
\end{example}

\begin{sol*}
直接根据内积的定义计算, 
\begin{align*}
\left[e_{1},e_{2}\right] & =1\times0+0\times1+0\times0=0,\\
\left[e_{2},e_{3}\right] & =0\times0+1\times0+0\times1=0,\\
\left[e_{3},e_{1}\right] & =0\times1+0\times0+1\times0=0.
\end{align*}
同理可得 $\left[e_{i},e_{i}\right]=1$, ($i=1,2,3$). 
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{内积的运算性质}

内积的运算性质 (其中 $x,y,z$ 为 $n$ 维向量, $\lambda\in\RR$):
\begin{enumerate}
\item $[x,y]=[y,x]$;
\item $[\lambda x,y]=\lambda[x,y]$;
\item $[x+y,z]=[x,z]+[y,z]$;
\item $[x,x]\geq0$; 当且仅当 $x=0$ 时, $[x,x]=0$.
\end{enumerate}
\end{frame}
%
\begin{frame}{计算内积}
\begin{example}
求 $\left[\left([\alpha,\alpha]\beta-\frac{1}{3}[\alpha,\beta]\alpha\right),3\alpha\right]$.
\end{example}

\begin{sol*}
注意使用内积的性质: 对称性. 
\begin{align*}
\left[\left([\alpha,\alpha]\beta-\frac{1}{3}[\alpha,\beta]\alpha\right),3\alpha\right] & =3[\alpha,\alpha][\beta,\alpha]-[\alpha,\beta][\alpha,\alpha]\\
 & =\{3[\alpha,\alpha]-[\alpha,\alpha]\}[\alpha,\beta]\\
 & =2[\alpha,\alpha][\alpha,\beta].
\end{align*}
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{关于内积运算的说明}
\begin{example}
$\alpha,\beta,\gamma$ 是 $n$ 维实向量 $(n>1)$, 判断下列算式有无意义:

(1). $[\alpha,\beta]\gamma=[\alpha,\alpha][\beta,\gamma]$;

(2). $[[\alpha,\beta]\gamma,\gamma]+2\alpha$.
\end{example}

\begin{sol*}
在 (1) 中, $[\alpha,\beta]$ 表示一个数, 因此 $[\alpha,\beta]\gamma$ 是一个向量,
而 $[\alpha,\alpha]$ 及 $[\beta,\gamma]$ 都是数,故 $[\alpha,\alpha][\beta,\gamma]$
也是数. 于是 (1) 式变为一个向量减去一个数, 显然没有意义.

在 (2) 中, $[\alpha,\beta]$ 是数, $[\alpha,\beta]\gamma$ 表示 $[\alpha,\beta]$
与 $\gamma$ 的数乘, $[[\alpha,\beta]\gamma,\gamma]$ 表示 $[\alpha,\beta]\gamma$
与 $\gamma$ 的内积, 事实上
\[
[[\alpha,\beta]\gamma,\gamma]=[\alpha,\beta][\gamma,\gamma]
\]
因此 (2) 式中第一项是一个数, 而 $2\alpha$ 是一个向量, 两者相加无意义.
\end{sol*}
\end{frame}

\subsection{向量的长度与性质}
\begin{frame}{向量的长度与性质}
\begin{defn}
令
\[
\|x\|=\sqrt{[x,x]}=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}},
\]
称 \textbf{$\|x\|$ 为 $n$ 维向量 $x$ 的长度 (或范数)}.
\end{defn}

向量的长度具有下述性质:
\begin{enumerate}[<+-|alert@+>]
\item \textbf{非负性}: $\|x\|\geq0$; 当且仅当 $x=0$ 时, $\|x\|=0$;
\item \textbf{齐次性}: $\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|$;
\item \textbf{三角不等式}: $\|x+y\|\leq\|x\|+\|y\|$;
\item 对任意 $n$ 维向量 $x,y$, 有 $[x,y]\leq\|x\|\cdot\|y\|$.\label{enu:prop-4}
\end{enumerate}
\end{frame}
%
\begin{frame}{Cauchy 不等式}
\begin{rem*}
若令 $x^{T}=\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)$, $y^{T}=\left(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n}\right)$,
则性质 (\ref{enu:prop-4}) 可表示为
\[
\left|\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right|\leq\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}\cdot\sqrt{\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2}}
\]
上述不等式称为\textbf{\textcolor{red}{柯西--布涅可夫斯基不等式}}, 它说明 $\RR^{n}$ 中任意两个向量的内积与它们长度之间的关系.
\end{rem*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{单位向量与向量单位化}
\begin{defn}
当 $\|x\|=1$ 时, 称 $x$ 为\textbf{单位向量}.
\end{defn}

对 $\RR^{n}$ 中的任一非零向量 $\alpha$, 向量 $\frac{\alpha}{\|\alpha\|}$ 是一个单位向量,
这是因为
\[
\left\Vert \frac{\alpha}{\|\alpha\|}\right\Vert =\frac{1}{\|\alpha\|}\|\alpha\|=1.
\]

注: 用非零向量 $\alpha$ 除以向量 $\alpha$ 的模长得到一个单位向量, 这一过程通常称为\textbf{把向量
$\alpha$ 单位化}. 
\end{frame}
%
\begin{frame}{向量之间的夹角}
\begin{defn}
当 $\|\alpha\|\neq0$, $\|\beta\|\neq0$, 定义
\[
\theta=\arccos\frac{[\alpha,\beta]}{\|\alpha\|\cdot\|\beta\|},\quad(0\leq\theta\leq\pi),
\]
称 $\theta$ 为 $n$ 维向量 $\alpha$ 与 $\beta$ 的夹角.
\end{defn}

\end{frame}
%
\begin{frame}{向量之间的夹角}
\begin{example}
求 $\RR^{3}$ 中向量 $\alpha=(4,0,3)^{T}$, $\beta=(-\sqrt{3},3,2)^{T}$
之间的夹角 $\theta$.
\end{example}

\begin{sol*}
由
\begin{align*}
\|\alpha\| & =\sqrt{4^{2}+0^{2}+3^{2}}=5,\\
\|\beta\| & =\sqrt{(-\sqrt{3})^{2}+3^{2}+2^{2}}=4,\\{}
[\alpha,\beta] & =4(-\sqrt{3})+0\times3+3\times2=6-4\sqrt{3},
\end{align*}
所以
\[
\cos\theta=\frac{[\alpha,\beta]}{\|\alpha\|\cdot\|\beta\|}=\frac{6-4\sqrt{3}}{5\times4}=\frac{3-2\sqrt{3}}{10}\Longrightarrow\theta=\arccos\frac{3-2\sqrt{3}}{10}.
\]
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{向量之间的夹角}
\begin{example}
求 $\RR^{5}$ 中的向量 $\alpha=(1,0,-1,0,2)^{T}$, $\beta=(0,1,2,4,1)^{T}$
的夹角 $\theta$.
\end{example}

\begin{sol*}
因为
\[
[\alpha,\beta]=1\times0+0\times1+(-1)\times2+0\times4+2\times1=0,
\]
而 $\cos\theta=\frac{[\alpha,\beta]}{\|\alpha\|\cdot\|\beta\|}=0$,
所以 $\theta=90^{\circ}$. 
\end{sol*}
\end{frame}

\subsection{正交向量组}
\begin{frame}{向量的正交}
\begin{defn}
若两向量 $\alpha$ 与 $\beta$ 的内积等于零, 即
\[
[\alpha,\beta]=0,
\]
则称\textbf{向量 $\alpha$ 与 $\beta$ 相互正交}. 记作 $\alpha\perp\beta$.
\end{defn}

\begin{rem*}
显然, 若 $\alpha=0$, 则 $\alpha$ 与任何向量都正交.
\end{rem*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{正交向量组}
\begin{defn}
若 $n$ 维向量 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r}$ 是一个非零向量组, 且
$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r}$ 中的向量两两正交, 则称该\textbf{向量组为正交向量组}.
\end{defn}

\begin{thm}
若 $n$ 维向量 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r}$ 是一组正交向量组, 则
$\alpha_{1},\cdots,\alpha_{r}$ 线性无关.
\end{thm}

\end{frame}

\subsection{规范正交基及其求法}
\begin{frame}{规范正交基及其求法}
\begin{defn}
设 $V\subset\RR^{n}$ 是一个向量空间, 

(1) 若 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r}$ 是向量空间 $V$ 的一个基,
且是两两正交的向量组, 则称 \textbf{$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r}$
是向量空间 $V$ 的}\textbf{\textcolor{red}{正交基}}.

(2) 若 $e_{1},e_{2},\cdots,e_{r}$ 是向量空间 $V$ 的一个基, $e_{1},\cdots,e_{r}$
两两正交, 且都是单位向量, 则称 \textbf{$e_{1},\cdots,e_{r}$ 是向量空间 $V$ 的一个}\textbf{\textcolor{red}{规范正交基}}.
\end{defn}

若 $e_{1},\cdots,e_{r}$ 是 $V$ 的一个规范正交基, 则 $V$ 中任一向量 $\alpha$ 能由
$e_{1},\cdots,e_{r}$ 线性表示, 设表示式为
\[
\alpha=\lambda_{1}e_{1}+\lambda_{2}e_{2}+\cdots+\lambda_{r}e_{r},
\]
为求其中的系数 $\lambda_{i}$, ($i=1,2,\cdots,r$), 可用 $e_{i}^{T}$ 左乘上式,
有
\[
e_{i}^{T}\alpha=\lambda_{i}e_{i}^{T}e_{i}=\lambda_{i},
\]
即
\[
\lambda_{i}=e_{i}^{T}\alpha=\left[\alpha,e_{i}\right].
\]

\end{frame}
%
\begin{frame}{规范正交基及其求法}

\[
\alpha=\lambda_{1}e_{1}+\lambda_{2}e_{2}+\cdots+\lambda_{r}e_{r},\quad\lambda_{i}=e_{i}^{T}\alpha=\left[\alpha,e_{i}\right],\quad i=1,2,\cdots r.
\]
这就是\uwave{向量在规范正交基中的坐标的计算公式}. 

利用这个公式能方便地求得向量 $\alpha$ 在规范正交基 $e_{1},\cdots,e_{r}$ 下的坐标为: $\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{r}\right)$.
因此, \uwave{我们在给出向量空间的基时常常取规范正交基}.
\end{frame}
%

\subsection{规范正交基的求法}
\begin{frame}[allowframebreaks]{规范正交基的求法}

设 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{r}$ 是向量空间 $V$ 的一个基, 要\uline{求 \mbox{$V$}
的一个规范正交基}, 也就是要找一组两两正交的单位向量 $e_{1},\cdots,e_{r}$, 使 $e_{1},\cdots,e_{r}$
与 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{r}$ 等价. 这样一个问题, 称为\textbf{把基 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{r}$
规范正交化}, 可按如下两个步骤进行:
\begin{enumerate}
\item \textbf{正交化}
\[
\begin{aligned}\beta_{1} & =\alpha_{1},\\
\beta_{2} & =\alpha_{2}-\frac{\left[\beta_{1},\alpha_{2}\right]}{\left[\beta_{1},\beta_{1}\right]}\beta_{1},\\
\cdots & \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\
\beta_{r} & =\alpha_{r}-\frac{\left[\beta_{1},\alpha_{r}\right]}{\left[\beta_{1},\beta_{1}\right]}\beta_{1}-\frac{\left[\beta_{2},\alpha_{r}\right]}{\left[\beta_{2},\beta_{2}\right]}\beta_{2}-\frac{\left[\beta_{r-1},\alpha_{r}\right]}{\left[\beta_{r-1},\beta_{r-1}\right]}\beta_{r-1}.
\end{aligned}
\]
容易验证 $\beta_{1},\cdots,\beta_{r}$ 两两正交, 且 $\beta_{1},\cdots,\beta_{r}$
与 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{r}$ 等价.
\begin{enumerate}
\item 注: 上述过程称为\textbf{施密特 (Schimidt) 正交化过程}. 它不仅满足 $\beta_{1},\cdots,\beta_{r}$
与 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{r}$ 等价, 还满足: 对任何 $k$, ($1\leq k\leq r$),
向量组 $\beta_{1},\cdots,\beta_{k}$ 与 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{k}$
等价.
\end{enumerate}
\item \textbf{单位化}: 取
\[
e_{1}=\frac{\beta_{1}}{\left\Vert \beta_{1}\right\Vert },\quad e_{2}=\frac{\beta_{2}}{\left\Vert \beta_{2}\right\Vert },\cdots,e_{r}=\frac{\beta_{r}}{\left\Vert \beta_{r}\right\Vert },
\]
则 $e_{1},e_{2},\cdots,e_{r}$ 是 $V$ 的一个规范正交基.
\begin{enumerate}
\item 注: 施密特 (Schimidt) 正交化过程可将 $\RR^{n}$ 中的任一组线性无关的向量组 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{r}$
化为与之等价的正交组 $\beta_{1},\cdots,\beta_{k}$; 再经过单位化, 得到一组与 $\alpha_{1},\cdots,\alpha_{r}$
等价的规范正交组 $e_{1},e_{2},\cdots,e_{r}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{frame}
%
\begin{frame}{规范正交基及其求法}
\begin{example}
设 $\alpha_{1}=\begin{bmatrix}1\\
2\\
-1
\end{bmatrix}$, $\alpha_{2}=\begin{bmatrix}-1\\
3\\
1
\end{bmatrix}$, $\alpha_{3}=\begin{bmatrix}4\\
-1\\
0
\end{bmatrix}$, 试用施密特正交化方法, 将向量组正交规范化.

\pause{}

\end{example}

\begin{sol*}
不难证明 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 是线性无关的. 取 $\beta_{1}=\alpha_{1}$;
\vspace{-4mm}
\[
\begin{aligned}\beta_{2} & =\alpha_{2}-\frac{\left[\alpha_{2},\beta_{1}\right]}{\left\Vert \beta_{1}\right\Vert ^{2}}\beta_{1}=\begin{bmatrix}-1\\
3\\
1
\end{bmatrix}-\frac{4}{6}\begin{bmatrix}1\\
2\\
-1
\end{bmatrix}=\frac{5}{3}\begin{bmatrix}-1\\
1\\
1
\end{bmatrix};\\
\beta_{3} & =\alpha_{3}-\frac{\left[\alpha_{3},\beta_{1}\right]}{\left\Vert \beta_{1}\right\Vert ^{2}}\beta_{1}-\frac{\left[\alpha_{3},\beta_{2}\right]}{\left\Vert \beta_{2}\right\Vert ^{2}}\beta_{2}=\begin{bmatrix}4\\
-1\\
0
\end{bmatrix}-\frac{1}{3}\begin{bmatrix}1\\
2\\
-1
\end{bmatrix}+\frac{5}{3}\begin{bmatrix}-1\\
1\\
1
\end{bmatrix}=2\begin{bmatrix}1\\
0\\
1
\end{bmatrix}.
\end{aligned}
\]
再把它们单位化, 取\vspace{-4mm}

\[
e_{1}=\frac{\beta_{1}}{\left\Vert \beta_{1}\right\Vert }=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix}1\\
2\\
-1
\end{bmatrix},\quad e_{2}=\frac{\beta_{2}}{\left\Vert \beta_{2}\right\Vert }=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix}-1\\
1\\
1
\end{bmatrix},\quad e_{3}=\frac{\beta_{3}}{\left\Vert \beta_{3}\right\Vert }=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\
0\\
1
\end{bmatrix},
\]
$e,e_{2},e_{3}$ 即为所求.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{将向量组正交规范化}
\begin{example}
用施密特正交化方法, 将向量组正交规范化
\[
\alpha_{1}=(1,1,1,1),\alpha_{2}=(1,-1,0,4),\alpha_{3}=(3,5,1,-1).
\]

\pause{}

\end{example}

\begin{sol*}
显然, $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 是线性无关的. 先正交化, 取
\begin{align*}
\beta_{1} & =\alpha_{1}=(1,1,1,1);\\
\beta_{2} & =\alpha_{2}-\frac{\left[\beta_{1},\alpha_{2}\right]}{\left[\beta_{1},\beta_{1}\right]}\beta_{1}=(1,-1,0,4)-\frac{1-1+4}{1+1+1+1}(1,1,1,1)=(0,-2,-1,3);\\
\beta_{3} & =\alpha_{3}-\frac{\left[\beta_{1},\alpha_{3}\right]}{\left[\beta_{1},\beta_{1}\right]}\beta_{1}-\frac{\left[\beta_{2},\alpha_{3}\right]}{\left[\beta_{2},\beta_{2}\right]}\beta_{2}=(1,1,-2,0).
\end{align*}
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
再单位化, 得规范正交向量如下:

\[
\begin{aligned}e_{1} & =\frac{\beta_{1}}{\left\Vert \beta_{1}\right\Vert }=\frac{1}{2}(1,1,1,1)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right);\\
e_{2} & =\frac{\beta_{2}}{\left\Vert \beta_{2}\right\Vert }=\frac{1}{\sqrt{14}}(0,-2,-1,3)=\left(0,\frac{-2}{\sqrt{14}},\frac{-1}{\sqrt{14}},\frac{3}{\sqrt{14}}\right);\\
e_{3} & =\frac{\beta_{3}}{\left\Vert \beta_{3}\right\Vert }=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2,0)=\left(\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{-2}{\sqrt{6}},0\right)\text{. }
\end{aligned}
\]
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{求正交基}
\begin{example}
已知三维向量空间中两个向量 $\alpha_{1}=\begin{bmatrix}1\\
1\\
1
\end{bmatrix}$, $\alpha_{2}=\begin{bmatrix}1\\
-2\\
1
\end{bmatrix}$ 正交, 试求 $\alpha_{3}$ 使 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 构成三维空间的一个正交基.
\end{example}

\begin{sol*}
设 $\alpha_{3}=\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)^{T}\neq0$, 且分别与 $\alpha_{1},\alpha_{2}$
正交. 则 $\left[\alpha_{1},\alpha_{3}\right]=\left[\alpha_{2},\alpha_{3}\right]=0$,
即
\[
\begin{cases}
\left[\alpha_{1},\alpha_{3}\right]=x_{1}+x_{2}+x_{3}=0,\\
\left[\alpha_{2},\alpha_{3}\right]=x_{1}-2x_{2}+x_{3}=0,
\end{cases}
\]
解之得 $x_{1}=-x_{3}$, $x_{2}=0$. 令 $x_{3}=1\Longrightarrow\alpha_{3}=\begin{bmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\
0\\
1
\end{bmatrix}$. 由上可知 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$ 构成三维空间的一个正交基.
\end{sol*}
\end{frame}

\subsection{正交矩阵与正交变换}
\begin{frame}{正交矩阵}
\begin{defn}
若 $n$ 阶方阵 $A$ 满足

\[
A^{T}A=E,\text{ (即 }A^{-1}=A^{T}\text{),}
\]

则称 \textbf{$A$ 为正交矩阵}, 简称\textbf{正交阵}.

\pause{}

\end{defn}

\begin{thm}
$A$ 为正交矩阵的充要条件是 $A$ 的列向量都是单位正交向量组.
\end{thm}

\begin{rem*}
由 $A^{T}A=E$ 与 $AA^{T}=E$ 等价, 定理的结论对行向量也成立. 即 $A$ 为正交矩阵的充要条件是 $A$
的行向量都是单位正交向量组.
\end{rem*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{正交变换及其性质}
\begin{defn}
若 $P$ 为正交矩阵, 则\textbf{线性变换 $y=Px$} 称为\textbf{正交变换}.
\end{defn}

\begin{columns}[c]

\column{6cm}

\textbf{正交变换的性质}: 
\begin{enumerate}
\item 正交变换保持向量的长度不变.
\item 正交变换的例子主要有旋转变换与对称变换.
\item 旋转变换的例子:
\[
\begin{bmatrix}\cos\theta & \sin\theta\\
-\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}.
\]
\end{enumerate}

\column{6cm}

\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\tkzInit[xmax=5,ymax=5,xmin=-1,ymin=-1] % limits the size of the axes
\tkzDrawX[>=latex]
\tkzDrawY[>=latex]
\tkzDefPoint(0,0){A}
\tkzDefPoint(3,0){B}
\tkzDefPoint(0,3){C}
\tkzDefPoint(3,3){D}
\tkzDefPoint(1.5, 2.59808){E}
\tkzDefPoint(-2.59808, 1.5){F}
\tkzDefPoint(-1.09808, 4.09808){G}
\tkzDrawSegments[vector style](A,B A,C)
\tkzDrawSegments[dashed](D,B D,C)
\tkzDrawSegments[dashed,red](A,E A,F E,G F,G)
\tkzDrawArc[angles,thick,blue,->](A,B)(0,60)
\tkzDrawArc[angles,thick,blue,->](A,C)(90,150)
\tkzPicAngle["$\theta$",draw=orange, <->,angle eccentricity=1.5, angle radius=5mm](B,A,E)
\tkzPicAngle["$\theta$",draw=orange, <->,angle eccentricity=1.5, angle radius=5mm](C,A,F)
\tkzDrawPoints(A,B,C,D)
\tkzDrawPoints[red](E,F,G)
%\tkzLabelPoints[below left](A,B,C,D,E,F,G)
\end{tikzpicture}
\end{columns}

\end{frame}
%
\begin{frame}{正交矩阵}
\begin{example}
判别下列矩形是否为正交阵.

(1). $\begin{bmatrix}1 & -1/2 & 1/3\\
-1/2 & 1 & 1/2\\
1/3 & 1/2 & -1
\end{bmatrix}$.

(2). $\begin{bmatrix}1/9 & -8/9 & -4/9\\
-8/9 & 1/9 & -4/9\\
-4/9 & -4/9 & 7/9
\end{bmatrix}$.

\pause{}

\end{example}

\begin{sol*}
(1). 考察矩阵的第一列和第二列, 因为 $1\times\left(-\frac{1}{2}\right)+\left(-\frac{1}{2}\right)\times1+\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\neq0$,
因此它不是正交矩阵;

(2). 由正交矩阵的定义,
\[
\begin{bmatrix}1/9 & -8/9 & -4/9\\
-8/9 & 1/9 & -4/9\\
-4/9 & -4/9 & 7/9
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1/9 & -8/9 & -4/9\\
-8/9 & 1/9 & -4/9\\
-4/9 & -4/9 & 7/9
\end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix},
\]
所以它是正交矩阵.
\end{sol*}
\end{frame}
%

\subsection{作业}
\begin{frame}{作业}
\begin{problem}
试将线性无关的向量组正交化
\[
\alpha_{1}=(1,1,1,1)^{T},\quad\alpha_{2}=(3,3,-1,-1)^{T},\quad\alpha_{3}=(-2,0,6,8)^{T}.
\]
\end{problem}

\begin{problem}
已知 $\alpha_{1}=\begin{bmatrix}1\\
1\\
1
\end{bmatrix}$, 求一组非零向量 $\alpha_{2},\alpha_{3}$, 使 $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$
两两正交.
\end{problem}

\end{frame}