\section{(Gauss) 消元法}

\begin{frame}{简介}

在第一章里我们已经研究过线性方程组的一种特殊情形, 即\textbf{线性方程组所含方程的个数等于未知量的个数}, 且方程组的系数行列式不等于零的情形. 

求解线性方程组是线性代数最主要的任务之一, 此类问题在科学技术与经济管理领域有着相当广泛的应用, 因而有必要从更普遍的角度来讨论线性方程组的一般理论. 

本章主要讨论\textbf{一般线性方程组的}\textbf{\textcolor{brown}{解法}}, \textbf{线性方程组解的}\textbf{\textcolor{brown}{存在性}}和\textbf{线性方程组}\textbf{\textcolor{brown}{解的结构}}等内容.
\end{frame}

\subsection{线性方程组的初等变换}
\begin{frame}[allowframebreaks]{消元法的一个例子}
\begin{example}
用消元法求解下列线性方程组: $\systeme[x_{1},x_{2},x_{3}]{2x_{1}+2x_{2}-x_{3}=6,x_{1}-2x_{2}+4x_{3}=3,5x_{1}+7x_{2}+x_{3}=28}$.
\end{example}

\begin{sol*}
\begin{align}
\systeme[x_{1},x_{2},x_{3}]{2x_{1}+2x_{2}-x_{3}=6,x_{1}-2x_{2}+4x_{3}=3,5x_{1}+7x_{2}+x_{3}=28} & \Longrightarrow\systeme[x_{1},x_{2},x_{3}]{x_{1}-2x_{2}+4x_{3}=3,2x_{1}+2x_{2}-x_{3}=6,5x_{1}+7x_{2}+x_{3}=28}\longleftrightarrow\begin{bmatrix}1 & -2 & 4 & 3\\
2 & 2 & -1 & 6\\
5 & 7 & 1 & 28
\end{bmatrix}\label{eq:3.1-1}\\
 & \hspace{-5em}\Longrightarrow\systeme[x_{1},x_{2},x_{3}]{x_{1}-2x_{2}+4x_{3}=3,6x_{2}-9x_{3}=0,17x_{2}-19x_{3}=13}\longleftrightarrow\begin{bmatrix}1 & -2 & 4 & 3\\
0 & 6 & -9 & 0\\
0 & 17 & -19 & 13
\end{bmatrix}\label{eq:3.1-2}\\
 & \hspace{-5em}\Longrightarrow\systeme[x_{1},x_{2},x_{3}]{x_{1}-2x_{2}+4x_{3}=3,6x_{2}-9x_{3}=0,\frac{13}{2}x_{3}=-\frac{221}{6}}\longleftrightarrow\begin{bmatrix}1 & -2 & 4 & 3\\
0 & 6 & -9 & 0\\
0 & 0 & \frac{13}{2} & -\frac{221}{6}
\end{bmatrix}\label{eq:3.1-3}\\
 & \hspace{-5em}\Longrightarrow\systeme[x_{1},x_{2},x_{3}]{x_{1}-2x_{2}+4x_{3}=3,x_{2}-\frac{3}{2}x_{3}=0,x_{3}=-\frac{17}{3}}\longleftrightarrow\begin{bmatrix}1 & -2 & 4 & 3\\
0 & 1 & -\frac{3}{2} & 0\\
0 & 0 & 1 & -\frac{17}{3}
\end{bmatrix},\label{eq:3.1-4}
\end{align}
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
\begin{align}
\systeme[x_{1},x_{2},x_{3}]{2x_{1}+2x_{2}-x_{3}=6,x_{1}-2x_{2}+4x_{3}=3,5x_{1}+7x_{2}+x_{3}=28} & \Longrightarrow\systeme[x_{1},x_{2},x_{3}]{x_{1}-2x_{2}+4x_{3}=3,x_{2}-\frac{3}{2}x_{3}=0,x_{3}=-\frac{17}{3}}\longleftrightarrow\begin{bmatrix}1 & -2 & 4 & 3\\
0 & 1 & -\frac{3}{2} & 0\\
0 & 0 & 1 & -\frac{17}{3}
\end{bmatrix}\label{eq:3.1-5}\\
 & \hspace{-5em}\Longrightarrow\systeme[x_{1},x_{2},x_{3}]{x_{1}=3-4x_{3}+2x_{2}=\frac{26}{3},x_{2}=\frac{3}{2}x_{3}=-\frac{17}{2},x_{3}=-\frac{17}{3}}\longleftrightarrow\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & \frac{26}{3}\\
0 & 1 & 0 & -\frac{17}{2}\\
0 & 0 & 1 & -\frac{17}{3}
\end{bmatrix}.\label{eq:3.1-6}
\end{align}
\end{sol*}
通常把过程 (\ref{eq:3.1-1})-(\ref{eq:3.1-4}) 称为\textbf{消元过程}, 矩阵 (\ref{eq:3.1-4})
就是行阶梯形矩阵, 与之对应的方程组 (\ref{eq:3.1-4}) 则称为\textbf{行阶梯方程组}.
\end{frame}
%
\begin{frame}{求解线性方程与矩阵的初等变换}

从上述解题过程可以看出, 用消元法求解线性方程组的具体作法就是对方程组反复实施以下三种变换:

(1). 交换某两个方程的位置;

(2). 用一个非零数乘某一个方程的两边;

(3). 将一个方程的倍数加到另一个方程上去.

以上这三种变换称为\textbf{线性方程组的初等变换}. 而消元法的目的就是利用方程组的初等变换将原方程组\textbf{化为阶梯形方程组},
显然这个阶梯形方程组与原线性方程组同解, 解这个阶梯形方程组得到原方程组的解. 

如果用矩阵表示其系数及常数项, 则将原方程组化为行阶梯形方程组的过程就是将对应矩阵化为行阶梯形矩阵的过程.
\end{frame}
%
\begin{frame}{回代过程与增广矩阵}

将一个方程组化为行阶梯形方程组的步骤并不是唯一的, 所以, \textbf{同一个方程组的行阶梯形方程组也不是唯一的}. 

特别地, 我们还可以将一个一般的行阶梯形方程组化为\textbf{行最简形方程组}, 从而使我们能直接 “读” 出该线性方程组的解.

通常把过程 (\ref{eq:3.1-5})-(\ref{eq:3.1-6}) 称为\textbf{回代过程}.

从引例我们可得到如下启示: 用消元法解三元线性方程组的过程, 相当于对该方程组的\textbf{增广矩阵}作初等行变换.
\end{frame}
%

\subsection{线性方程组有解的判别定理}
\begin{frame}[allowframebreaks]{线性方程组解的一般理论}

对一般线性方程组 (\ref{eq:3.1-gnrl}) 是否有同样的结论? 答案是肯定的, 以下就一般线性方程组求解的问题进行讨论.

设有线性方程组
\begin{equation}
\begin{cases}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\
\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m}
\end{cases}\label{eq:3.1-gnrl}
\end{equation}

\newpage

其矩阵形式为 $Ax=b$, 其中\vspace{-4mm}

\[
A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix},\quad x=\begin{bmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
\vdots\\
x_{n}
\end{bmatrix},\quad b=\begin{bmatrix}b_{1}\\
b_{2}\\
\vdots\\
b_{m}
\end{bmatrix},
\]

称矩阵 $\begin{bmatrix}A & b\end{bmatrix}$ (有时记为 $\widetilde{A}$) 为\textbf{线性方程组
(\ref{eq:3.1-gnrl}) 的增广矩阵}.

当 $b_{i}=0$, $i=1,2,\cdots,m$ 时, 线性方程组 (\ref{eq:3.1-gnrl}) 称为\textbf{齐次的};
否则称为\textbf{非齐次的}. 显然, 齐次线性方程组的矩阵形式为\vspace{-4mm} 

\[
Ax=0.
\]

\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{线性方程组有解的判别定理}
\begin{thm}
设 $A=\left(a_{ij}\right)_{m\times n}$, $n$ 元齐次线性方程组 $Ax=0$ 有非零解的充要条件是系数矩阵的秩
$r(A)<n$. 如:

$$
\begin{bNiceArray}{cccc|c}
1&*&*&*&0\\0&0&1&*&0\\0&0&0&0&0
\end{bNiceArray}, \begin{bNiceArray}{ccc|c}
1&*&*&0\\0&1&*&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0
\end{bNiceArray}, \xcancel{\begin{bNiceArray}{ccc|c}
1&*&*&0\\0&1&*&0\\0&0&\boxed{1}&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0
\end{bNiceArray}}
$$
\end{thm}

\begin{thm}
设 $A=\left(a_{ij}\right)_{m\times n}$, $n$ 元非齐次线性方程组 $Ax=b$ 有解的充要条件是系数矩阵
$A$ 的秩等于增广矩阵 $\widetilde{A}=\begin{bmatrix}A & b\end{bmatrix}$ 的秩,
即 
\[
r(A)=r(\widetilde{A}).
\]
如:$$
\begin{bNiceArray}{cccc|c}
1&*&*&*&*\\0&1&*&*&*\\0&0&0&0&0
\end{bNiceArray}, \begin{bNiceArray}{ccc|c}
1&*&*&*\\0&1&*&*\\0&0&1&*\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0
\end{bNiceArray}, \xcancel{\begin{bNiceArray}{ccc|c}
1&*&*&*\\0&1&*&*\\0&0&1&*\\0&0&0&\boxed{1}\\0&0&0&\boxed{2}\\0&0&0&0
\end{bNiceArray}}
$$
\end{thm}

\end{frame}
%
\begin{frame}{线性方程组有解的判别定理}

记 $\begin{bmatrix}A & b\end{bmatrix}=\widetilde{A}$, 则上述定理的结果, 可简要总结如下:
\begin{columns}[c]

\column{8cm}

%\begin{center}
\tikz[remember picture] \node[ color=black, draw, fill=red!30,] (r1) { $r(A)=r(\widetilde{A})=n\Leftrightarrow Ax=b$ 有唯一解; };\\\vspace{4mm}
\tikz[remember picture] \node[ color=black, draw, fill=green!30,] (r2) { $r(A)=r(\widetilde{A})<n\Leftrightarrow Ax=b$ 有无穷多解; };\\\vspace{4mm}
\tikz[remember picture] \node[ color=black, draw, fill=blue!30,] (r3) { $r(A)\neq r(\widetilde{A})\Leftrightarrow Ax=b$ 无解; };\\\vspace{4mm}
\tikz[remember picture] \node[ color=black, draw, fill=red!30,] (r4) { $r(A)=n\Leftrightarrow Ax=0$ 只有零解; };\\\vspace{4mm}
\tikz[remember picture] \node[ color=black, draw, fill=green!30,] (r5) { $r(A)<n\Leftrightarrow Ax=0$ 有非零解. };
%\end{center}

\column{4cm}

\begin{center}
\scriptsize
\tikz[remember picture] \node[fill=red!30] (n1) {$\begin{bNiceArray}{ccc|c}
1&*&*&*\\0&1&*&*\\0&0&1&*\\0&0&0&0\\0&0&0&0
\end{bNiceArray}$};\\
\tikz[remember picture] \node[fill=red!30] (n2) {$\begin{bNiceArray}{ccc|c}
1&*&*&*\\0&1&*&*\\0&0&1&*
\end{bNiceArray}$};\\
\tikz[remember picture] \node[fill=green!30] (n3) {$\begin{bNiceArray}{ccccc|c}
1&*&*&*&*&*\\0&1&*&*&*&*\\0&0&1&*&*&*
\end{bNiceArray}$};\\
\tikz[remember picture] \node[fill=blue!30] (n4) {$\begin{bNiceArray}{ccccc|c}
1&*&*&*&*&*\\0&1&*&*&*&*\\0&0&1&*&*&*\\0&0&0&0&0&*
\end{bNiceArray}$};
\end{center}

\end{columns}

\begin{block}<1>{}
 \tikz[remember picture] \draw[overlay,->,very thick,red,opacity=.5] (r1.east) -- (n1.west);
\tikz[remember picture] \draw[overlay,->,very thick,red,opacity=.5] (r1.east) -- (n2.west);
\end{block}
%
\begin{block}<2>{}
 \tikz[remember picture] \draw[overlay,->,very thick,green,opacity=.5] (r2.east) -- (n3.west);
\end{block}
%
\begin{block}<3>{}
 \tikz[remember picture] \draw[overlay,->,very thick,blue,opacity=.5] (r3.east) -- (n4.west);
\end{block}
%
\begin{block}<4>{}
 \tikz[remember picture] \draw[overlay,->,very thick,purple,opacity=.5] (r4.east) -- (n1.west);
\tikz[remember picture] \draw[overlay,->,very thick,purple,opacity=.5] (r4.east) -- (n2.west);
\end{block}
%
\begin{block}<5>{}
 \tikz[remember picture] \draw[overlay,->,very thick,black,opacity=.5] (r5.east) -- (n3.west);
\end{block}
\end{frame}
%
\begin{frame}{线性方程组有解的判别定理总结}

而定理的证明实际上给出了求解线性方程组 (\ref{eq:3.1-gnrl}) 的方法:
\begin{itemize}
\item 对非齐次线性方程组
\item 将增广矩阵 $\widetilde{A}$ 化为行阶梯形矩阵, 便可直接判断其是否有解;
\begin{itemize}
\item 若有解, 化为行最简形矩阵, 便可直接写出其全部解. 
\item 其中要注意, 当 $r(A)=r(\widetilde{A})=r<n$ 时, $\widetilde{A}$ 的行阶梯形矩阵中含有
$r$ 个非零行, 把这 $r$ 行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由量, 其余 $n-r$ 个作为自由未知量.
\end{itemize}
\item 对齐次线性方程组, 将其系数矩阵化为行最简形矩阵, 便可直接写出其全部解.
\end{itemize}
\end{frame}
%

\subsection{例题选讲}
\begin{frame}[allowframebreaks]{例题选讲}
\begin{example}
判断下列方程组是否有解? 如有解, 是否有唯一的一组解?
\[
\begin{cases}
x_{1}+2x_{2}-3x_{3}+x_{4}=1\\
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0
\end{cases}
\]
\end{example}

\begin{sol*}
方程组的系数矩阵
\[
A=\begin{bmatrix}1 & 2 & -3 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1
\end{bmatrix},
\]
显然 $A$ 有一个 $2$ 阶子式 $\begin{vmatrix}1 & 2\\
1 & 1
\end{vmatrix}=-1\neq0$, 因此 $r(A)=2$. 增广矩阵 $\widetilde{A}=\begin{bmatrix}1 & 2 & -3 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 0
\end{bmatrix}$, 显然 $r(\widetilde{A})=2$, 因此该方程组有解. 但方程组的未知数个数为 $4$, 因此应有无穷多组解.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{例题选讲}
\begin{example}
判断方程组是否有解?\vspace{-3mm}

\[
\begin{cases}
-3x_{1}+x_{2}+4x_{3}=-1\\
x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\\
-2x_{1}+x_{3}=-1\\
x_{1}+x_{2}-2x_{3}=0
\end{cases}
\]
\end{example}

\begin{sol*}
利用初等变换法求增广矩阵 $\widetilde{A}$ 的秩.\vspace{-3mm}
\[
\begin{aligned}\begin{bmatrix}-3 & 1 & 4 & -1\\
1 & 1 & 1 & 0\\
-2 & 0 & 1 & -1\\
1 & 1 & -2 & 0
\end{bmatrix} & \xrightarrow{r_{1}\leftrightarrow r_{2}}\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 0\\
-3 & 1 & 4 & -1\\
-2 & 0 & 1 & -1\\
1 & 1 & -2 & 0
\end{bmatrix}\xrightarrow[r_{4}-r_{1}]{{r_{2}+3r_{1}\atop r_{3+2r_{1}}}}\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 0\\
0 & 4 & 7 & -1\\
0 & 2 & 3 & -1\\
0 & 0 & -3 & 0
\end{bmatrix}\\
 & \hspace{-5em}\xrightarrow{r_{2}\leftrightarrow r_{3}}\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 0\\
0 & 2 & 3 & -1\\
0 & 4 & 7 & -1\\
0 & 0 & -3 & 0
\end{bmatrix}\xrightarrow{r_{3}-2r_{2}}\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 0\\
0 & 2 & 3 & -1\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & -3 & 0
\end{bmatrix}\xrightarrow{r_{4}+3r_{3}}\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 0\\
0 & 2 & 3 & -1\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 3
\end{bmatrix}.
\end{aligned}
\]
因此 $r(A)=3$, $r(\widetilde{A})=4$. 由于 $r(A)\neq r(\widetilde{A})$,
故原方程组无解.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{例题选讲}
\begin{example}[E01]
\label{exa:ref-from-sec.6}  求解齐次线性方程组 $\begin{cases}
x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+x_{4}=0\\
2x_{1}+x_{2}-2x_{3}-2x_{4}=0\\
x_{1}-x_{2}-4x_{3}-3x_{4}=0
\end{cases}$.
\end{example}

\begin{sol*}
对系数矩阵 $A$ 施行初等行变换.
\[
\begin{aligned}A & =\begin{bmatrix}1 & 2 & 2 & 1\\
2 & 1 & -2 & -2\\
1 & -1 & -4 & -3
\end{bmatrix}\xrightarrow[r_{3}-r_{1}]{r_{2}-2r_{1}}\begin{bmatrix}1 & 2 & 2 & 1\\
0 & -3 & -6 & -4\\
0 & -3 & -6 & -4
\end{bmatrix}\\
 & \xrightarrow[r_{2}\div(-3)]{r_{3}-r_{2}}\begin{bmatrix}1 & 2 & 2 & 1\\
0 & 1 & 2 & 4/3\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\xrightarrow{r_{1}-2r_{2}}\begin{bmatrix}1 & 0 & -2 & -5/3\\
0 & 1 & 2 & 4/3\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
即得与原方程同解的方程组
\[
\begin{cases}
x_{1}=2x_{3}+\frac{5}{3}x_{4}\\
x_{2}=-2x_{3}-\frac{4}{3}x_{4}
\end{cases}\left(x_{3},x_{4}\text{ 可取任意实数. }\right)
\]
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
令 $x_{3}=c_{1}$, $x_{4}=c_{2}$, 把它写成向量形式为
\[
\begin{bmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}\\
x_{4}
\end{bmatrix}=c_{1}\begin{bmatrix}2\\
-2\\
1\\
0
\end{bmatrix}+c_{2}\begin{bmatrix}\frac{5}{3}\\
-\frac{4}{3}\\
0\\
1
\end{bmatrix}.
\]
它表达了方程组的全部解.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{例题选讲}
\begin{example}[E02]
 解线性方程组 $\begin{cases}
x_{1}+5x_{2}-x_{3}-x_{4}=-1\\
x_{1}-2x_{2}+x_{3}+3x_{4}=3\\
3x_{1}+8x_{2}-x_{3}+x_{4}=1\\
x_{1}-9x_{2}+3x_{3}+7x_{4}=7
\end{cases}$.
\end{example}

\begin{sol*}
对增广矩阵 $\begin{bmatrix}A & b\end{bmatrix}$ 施以初等变换, 化为阶梯形矩阵:
\[
\begin{aligned}\begin{bmatrix}A & b\end{bmatrix} & =\begin{bmatrix}1 & 5 & -1 & -1 & -1\\
1 & -2 & 1 & 3 & 3\\
3 & 8 & -1 & 1 & 1\\
1 & -9 & 3 & 7 & 7
\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1 & 5 & -1 & -1 & -1\\
0 & -7 & 2 & 4 & 4\\
0 & -7 & 2 & 4 & 4\\
0 & -14 & 4 & 8 & 8
\end{bmatrix}\\
 & \rightarrow\begin{bmatrix}1 & 5 & -1 & -1 & -1\\
0 & -7 & 2 & 4 & 4\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}1 & 5 & -1 & -1 & -1\\
0 & 1 & -\frac{2}{7} & -\frac{4}{7} & -\frac{4}{7}\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix},
\end{aligned}
\]
所以 $r(\begin{bmatrix}A & b\end{bmatrix})=r(A)=2<4$, 故方程组有无穷多解. 
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
利用上式回代
\[
\xrightarrow{\text{ 回代 }}\begin{bmatrix}1 & 0 & 3/7 & 13/7 & 13/7\\
0 & 1 & -2/7 & -4/7 & -4/7\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\Longrightarrow\begin{cases}
x_{1}=\frac{13}{7}-\frac{3}{7}x_{3}-\frac{13}{7}x_{4}\\
x_{2}=-\frac{4}{7}+\frac{2}{7}x_{3}+\frac{4}{7}x_{4}
\end{cases}
\]
取 $x_{3}=c_{1}$, $x_{4}=c_{2}$, ($c_{1},c_{2}$ 为任意常数), 由此方程组的全部解为
\[
\begin{cases}
x_{1}=\frac{13}{7}-\frac{3}{7}c_{1}-\frac{13}{7}c_{2}\\
x_{2}=-\frac{4}{7}+\frac{2}{7}c_{1}+\frac{4}{7}c_{2}\\
x_{3}=c_{1}\\
x_{4}=c_{2}
\end{cases}.
\]
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{例题选讲}
\begin{example}
解线性方程组 $\begin{cases}
x_{1}+x_{2}+2x_{3}+3x_{4}=1\\
x_{2}+x_{3}-4x_{4}=1\\
x_{1}+2x_{2}+3x_{3}-x_{4}=4\\
2x_{1}+3x_{2}-x_{3}-x_{4}=-6
\end{cases}$.
\end{example}

\begin{sol*}
\begin{align*}
\begin{bmatrix}A & b\end{bmatrix} & =\begin{bmatrix}1 & 1 & 2 & 3 & 1\\
0 & 1 & 1 & -4 & 1\\
1 & 2 & 3 & -1 & 4\\
2 & 3 & -1 & -1 & -6
\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}1 & 1 & 2 & 3 & 1\\
0 & 1 & 1 & -4 & 1\\
0 & 1 & 1 & -4 & 3\\
0 & 1 & -5 & -7 & -8
\end{bmatrix}\\
 & \longrightarrow\begin{bmatrix}1 & 1 & 2 & 3 & 1\\
0 & 1 & 1 & -4 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 2\\
0 & 0 & -6 & -3 & -9
\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}1 & 1 & 2 & 3 & 1\\
0 & 1 & 1 & -4 & 1\\
0 & 0 & 6 & 3 & 9\\
0 & 0 & 0 & 0 & 2
\end{bmatrix}
\end{align*}
因为 $r(A)=3$, $r\left(\begin{bmatrix}A & b\end{bmatrix}\right)=4$,
$r\left(\begin{bmatrix}A & b\end{bmatrix}\right)\neq r(A)$, 所以原方程组无解.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{例题选讲}
\begin{example}
证明方程组 $\begin{cases}
x_{1}-x_{2}=a_{1}\\
x_{2}-x_{3}=a_{2}\\
x_{3}-x_{4}=a_{3}\\
x_{4}-x_{5}=a_{4}\\
x_{5}-x_{1}=a_{5}
\end{cases}$ 有解的充要条件是 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=0$. 在有解的情况下, 求出它的全部解.
\end{example}

\begin{proof}
对增广矩阵 $\widetilde{A}$ 进行初等变换:
\[
\widetilde{A}=\begin{bmatrix}1 & -1 & 0 & 0 & 0 & a_{1}\\
0 & 1 & -1 & 0 & 0 & a_{2}\\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 & a_{3}\\
0 & 0 & 0 & 1 & -1 & a_{4}\\
-1 & 0 & 0 & 0 & 1 & a_{5}
\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}1 & -1 & 0 & 0 & 0 & a_{1}\\
0 & 1 & -1 & 0 & 0 & a_{2}\\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 & a_{3}\\
0 & 0 & 0 & 1 & -1 & a_{4}\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \sum\limits _{i=1}^{5}a_{i}
\end{bmatrix}
\]
所以方程组有解当且仅当 $r(A)=r(\widetilde{A})=4\Longleftrightarrow\sum\limits _{i=1}^{5}a_{i}=0$,
即方程组有解的充要条件是 $\sum\limits _{i=1}^{5}a_{i}=0$. 
\end{proof}
%
\begin{proof}
在有解的情况下, 原方程组等价于方程组 $\begin{cases}
x_{1}-x_{2}=a_{1}\\
x_{2}-x_{3}=a_{2}\\
x_{3}-x_{4}=a_{3}\\
x_{4}-x_{5}=a_{4}
\end{cases}$, 故所求全部解 
\[
\begin{cases}
x_{1}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+x_{5}\\
x_{2}=a_{2}+a_{3}+a_{4}+x_{5}\\
x_{3}=a_{3}+a_{4}+x_{5}\\
x_{4}=a_{4}+x_{5}
\end{cases},
\]
其中 $x_{5}$ 为任意实数.
\end{proof}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{例题选讲}
\begin{example}
讨论线性方程组 $\begin{cases}
x_{1}+x_{2}+2x_{3}+3x_{4}=1,\\
x_{1}+3x_{2}+6x_{3}+x_{4}=3,\\
3x_{1}-x_{2}-px_{3}+15x_{4}=3,\\
x_{1}-5x_{2}-10x_{3}+12x_{4}=t,
\end{cases}$, 当 $p,t$ 取何值时, 方程组无解? 有唯一解? 有无穷多解? 在方程组有无穷多解的情况下, 求出全部解.
\end{example}

\begin{sol*}
\begin{align*}
B & =\begin{bNiceArray}{cccc|c}
1&1&2&3&1\\
1&3&6&1&3\\
3&-1&-p&15&3\\
1&-5&-10&12&t
\end{bNiceArray}\rightarrow
\begin{bNiceArray}{cccc|c}
1&1&2&3&1\\
0&2&4&-2&2\\
0&-4&-p-6&6&0\\
0&-6&-12&9&t-1
\end{bNiceArray}\\
 & \rightarrow\begin{bNiceArray}{cccc|c}
	 1&1&2&3&1\\
	 0&1&2&-1&1\\
	 0&0&-p+2&2&4\\
	 0&0&0&3&t+5
   \end{bNiceArray}
\end{align*}(1) 当 $p\neq2$ 时, $r(A)=r(B)=4$, 方程组有唯一解;

(2) 当 $p=2$ 时, 有

$$
B\longrightarrow\begin{bNiceArray}{cccc|c}
1&1&2&3&1\\
0&1&2&-1&1\\
0&0&0&2&4\\
0&0&0&3&t+5
\end{bNiceArray}\longrightarrow\begin{bNiceArray}{cccc|c}
1&1&2&3&1\\
0&1&2&-1&1\\
0&0&0&1&2\\
0&0&0&0&t-1
\end{bNiceArray}
$$
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
$$
{\color{gray}{B\longrightarrow\begin{bNiceArray}{cccc|c}
1&1&2&3&1\\
0&1&2&-1&1\\
0&0&0&2&4\\
0&0&0&3&t+5
\end{bNiceArray}\longrightarrow\begin{bNiceArray}{cccc|c}
1&1&2&3&1\\
0&1&2&-1&1\\
0&0&0&1&2\\
0&0&0&0&t-1
\end{bNiceArray}
}}
$$当 $t\neq1$ 时, $r(A)=3<r(B)=4$, 方程组无解;

当 $t=1$ 时, $r(A)=r(B)=3$, 方程组有无穷多解.

$$
B\longrightarrow\begin{bNiceArray}{cccc|c}
1&1&2&3&1\\0&1&2&-1&1\\0&0&0&1&2\\0&0&0&0&t-1
\end{bNiceArray}\longrightarrow\begin{bNiceArray}{cccc|c}
1&1&2&3&1\\0&1&2&-1&1\\0&0&0&1&2\\0&0&0&0&0
\end{bNiceArray}\longrightarrow\begin{bNiceArray}{cccc|c}
1&0&0&0&-8\\0&1&2&0&3\\0&0&0&1&2\\0&0&0&0&0
\end{bNiceArray},
$$
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
$$
B\longrightarrow\begin{bNiceArray}{cccc|c}
1&0&0&0&-8\\0&1&2&0&3\\0&0&0&1&2\\0&0&0&0&0
\end{bNiceArray},
$$即

\begin{center}
\systeme[x_1,x_2,x_3,x_4]{x_1=-8,x_2+2x_3=3,x_4=2},
\end{center}

故原方程组的全部解为
\[
\begin{bmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}\\
x_{4}
\end{bmatrix}=k\begin{bmatrix}0\\
-2\\
1\\
0
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-8\\
3\\
0\\
2
\end{bmatrix},\quad(k\in\RR).
\]
\end{sol*}
\end{frame}

\subsection{作业}
\begin{frame}{作业}
\begin{problem}
求解非齐次方程组 \systeme{x_{1}-2x_{2}+3x_{3}-x_{4}=1,3x_{1}-x_{2}+5x_{3}-3x_{4}=2,2x_{1}+x_{2}+2x_{3}-2x_{4}=3}.
\end{problem}

\begin{problem}
求解非齐次方程组 \systeme{x_{1}-x_{2}-x_{3}+x_{4}=0,x_{1}-x_{2}+x_{3}-3x_{4}=1,x_{1}-x_{2}-2x_{3}+3x_{4}=-1/2}.
\end{problem}

\begin{problem}
$a$ 取何值时, 方程组 \systeme[x_1,x_2,x_3]{x_{1}+x_{2}+x_{3}=a,ax_{1}+x_{2}+x_{3}=1,x_{1}+x_{2}+ax_{3}=1}
有解, 并求其解.
\end{problem}

\end{frame}