\section{线性方程组与向量组的关系}

\begin{frame}{简介}

运用线性方程组讨论向量组的线性组合、线性相关性、线性表示以及等价。
\end{frame}

\subsection{线性方程组的向量表示形式}
\begin{frame}[allowframebreaks]{线性方程组的向量表示形式}

线性方程组的向量表示形式如下
\begin{align*}
x_{1}\alpha_{1}+x_{2}\alpha_{2}+\cdots+x_{n}\alpha_{n} & =b,\\
x_{1}\alpha_{1}+x_{2}\alpha_{2}+\cdots+x_{n}\alpha_{n} & =0,
\end{align*}
其中
\[
\alpha_{j}=\begin{bmatrix}a_{1j}\\
a_{2j}\\
\vdots\\
a_{mj}
\end{bmatrix},\quad j=1,2,\cdots,n.
\]

\end{frame}
%
\begin{frame}{线性方程组与向量组的线性关系}
\begin{itemize}
\item $m$ 维向量 $b$ 是否可以由 $m$ 维向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$
线性表示?
\item 非齐次线性方程组 $\begin{cases}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1},\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2},\\
\vdots\\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m},
\end{cases}$ 是否有解?
\item 向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ 是否线性相关?
\item 齐次线性方程组 $\begin{cases}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=0,\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=0,\\
\vdots\\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=0,
\end{cases}$ 是否有非零解?
\end{itemize}
\end{frame}
%
\begin{frame}{非齐次线性方程组与向量组的线性表示}

记 $A=\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\right)$. 
\begin{cor}
(1). $m$ 维向量 $b$ 能由 $m$ 维向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$
唯一线性表示的充要条件是: 非齐次线性方程组 $Ax=b$ 有唯一解, 即 $r(A)=r(A,b)=n$.

(2). $m$ 维向量 $b$ 能由 $m$ 维向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$
线性表示, 且表示法不唯一的充要条件是: 非齐次线性方程组 $Ax=b$ 有无穷多解, 即 $r(A)=r(A,b)<n$.

(3). $m$ 维向量 $b$ 不能由 $m$ 维向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$
线性表示的充要条件是: 非齐次线性方程组 $Ax=b$ 无解, 即 $r(A)<r(A,b)$.
\end{cor}

设向量组 $A:\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}$, 向量组 $B:\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$,
若向量组 $B$ 能由向量组 $A$ 线性表示, 则存在矩阵 $A_{m\times n}$, 使 
\[
\left(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}\right)=\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}\right)A_{m\times n},
\]
即矩阵方程
\[
AX=B\Longleftrightarrow\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}\right)X=\left(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}\right)
\]
有解.
\end{frame}
%
\begin{frame}{向量组之间的线性表示}

记
\[
A=\left(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}\right),\ B=\left(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}\right).
\]

\begin{cor}
(1). 向量组 $B:\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$ 能由向量组 $A:\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}$
线性表示的充要条件是 $r(A)=r(A,B)$.

(2). 向量组 $A:\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}$ 与向量组 $B:\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$
等价的充要条件是 $r(A)=r(B)=r(A,B)$.
\end{cor}

\end{frame}
%
\begin{frame}{齐次线性方程组与向量组的线性表示}
\begin{cor}
(1). $m$ 维向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ 线性线性相关的充要条件是:
齐次线性方程组 $Ax=0$ 有非零解, 即 $r(A)<n$.

(2). $m$ 维向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ 线性无关的充要条件是:
齐次线性方程组 $Ax=0$ 只有唯一解, 即 $r(A)=n$.
\end{cor}

\end{frame}
%

\subsection{齐次方程组?}
\begin{frame}{齐次方程组?}
\begin{example}
设 $A=\begin{bmatrix}1 & 2 & -2\\
4 & t & 3\\
3 & -1 & 1
\end{bmatrix}$, $B_{3\times3}\neq O$ 且 $AB=O$, 求 $t$.
\end{example}

\begin{sol*}
因为 $B_{3\times3}\neq O$ 且 $AB=O$, 所以 $Ax=0$ 有非零解, 由克莱姆法则知, $|A|=0$,
所以 $t=-3$.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{线性方程组有解的判别定理}
\begin{example}
设 $\beta=\begin{bmatrix}b_{1} & b_{2} & \cdots & b_{n}\end{bmatrix}^{T}$
是齐次线性方程组 $Ax=0$ 的一个非零解, 其中 
\[
A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix},\quad m<n.
\]
令 $\alpha_{i}=\begin{bmatrix}a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in}\end{bmatrix}^{T}$,
($i=1,2,\cdots,m$). 若 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}$
线性无关, 试判断 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m},\beta$ 的线性相关性.
\end{example}

\begin{proof}
根据线性相关/线性无关性的定义, 设常数 $k_{1},k_{2},\cdots,k_{m},k$ 使得
\begin{equation}
k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+\cdots+k_{m}\alpha_{m}+k\beta=0,\label{eq:2.2-1}
\end{equation}
下面验证这些 $k_{1},k_{2},\cdots,k_{m},k$ 是否只有零解 (对应向量组的线性无关性), 还是存在非零解
$k_{1},k_{2},\cdots,k_{m},k$ (对应向量组的线性相关性).
\end{proof}
%
\begin{proof}
由已知, 矩阵
\[
A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha_{1}^{T}\\
\alpha_{2}^{T}\\
\vdots\\
\alpha_{m}^{T}
\end{bmatrix},
\]
由于 $\beta$ 满足齐次线性方程组 $Ax=0$, 因此
\[
0=A\beta=\begin{bmatrix}\alpha_{1}^{T}\\
\alpha_{2}^{T}\\
\vdots\\
\alpha_{m}^{T}
\end{bmatrix}\beta=\begin{bmatrix}\alpha_{1}^{T}\beta\\
\alpha_{2}^{T}\beta\\
\vdots\\
\alpha_{m}^{T}\beta
\end{bmatrix}.
\]
于是对于任意的 $i=1,2,\cdots,m$, 有 $\alpha_{i}^{T}\beta=0$. 
\end{proof}
%
\begin{proof}
由方程 (\ref{eq:2.2-1}) 得
\[
k_{1}\alpha_{1}^{T}+k_{2}\alpha_{2}^{T}+\cdots+k_{m}\alpha_{m}^{T}+k\beta^{T}=0,
\]
对上式左右两边同时右乘 $\beta$, 得到 $k\beta^{T}\beta=0$, 由于 $\beta\ne0$, 所以必有
$k=0$. 于是上式变成
\[
k_{1}\alpha_{1}^{T}+k_{2}\alpha_{2}^{T}+\cdots+k_{m}\alpha_{m}^{T}=0,
\]
最后由 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m}$ 线性无关, 知 $k_{1}=k_{2}=\cdots=k_{m}=0$. 

所以向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{m},\beta$ 线性无关.
\end{proof}
\end{frame}