\section{线性方程组解的结构}

\subsection{齐次线性方程组解的结构}
\begin{frame}[allowframebreaks]{齐次线性方程组解的结构}

设有齐次线性方程组\vspace{-4mm}
\begin{equation}
\begin{cases}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=0\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=0\\
\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=0
\end{cases}\label{eq:3.6-1}
\end{equation}
若记\vspace{-4mm}
\[
A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix},\quad x=\begin{bmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
\vdots\\
x_{n}
\end{bmatrix},
\]
则方程组 (\ref{eq:3.6-1}) 可写为向量方程\vspace{-4mm}
\begin{equation}
Ax=0,\label{eq:3.6-2}
\end{equation}
称方程 (\ref{eq:3.6-2}) 的解 $x=\begin{bmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
\vdots\\
x_{n}
\end{bmatrix}$ 为方程组 (\ref{eq:3.6-1}) 的解向量.
\end{frame}
%
\begin{frame}{齐次线性方程组解的性质}
\begin{prop}
若 $\xi_{1},\xi_{2}$ 为方程组 (\ref{eq:3.6-2}) 的解, 则 $\xi_{1}+\xi_{2}$
也是该方程组的解.
\end{prop}

\begin{prop}
若 $\xi_{1}$ 为方程组 (\ref{eq:3.6-2}) 的解, $k$ 为实数, 则 $k\xi_{1}$ 也是
(\ref{eq:3.6-2}) 的解.
\end{prop}

\begin{rem*}
齐次线性方程组若有非零解, 则它就有无穷多个解.
\end{rem*}
由上节知: 线性方程组 $Ax=0$ 的全体解向量所构成的集合对于加法和数乘是封闭的, 因此构成一个向量空间. 称\textbf{此向量空间为齐次线性方程组
$Ax=0$ 的解空间}.
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{齐次线性方程组的基础解系}
\begin{defn}
齐次线性方程组 $Ax=0$ 的有限个解 $\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$ 满足:

(1) $\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$ 线性无关;

(2) $Ax=0$ 的任意一个解均可由 $\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$ 线性表示. 则称
\textbf{$\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$ 是齐次线性方程组 $AX=0$ 的一个基础解系}.
\end{defn}

\begin{rem*}
方程组 $Ax=0$ 的一个基础解系即为其解空间的一个基, 易见方程组 $Ax=0$ 基础解系不是唯一的, 其解空间是唯一的.

按上述定义, 若 $\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$ 是齐次线性方程组 $Ax=0$ 的一个基础解系.
则 $Ax=0$ 的通解可表示为
\[
x=k_{1}\eta_{1}+k_{2}\eta_{2}+\cdots+k_{t}\eta_{t},
\]
其中 $k_{1},k_{2},\cdots,k_{t}$ 为任意常数.
\end{rem*}
当一个齐次线性方程组只有零解时, 该方程组没有基础解系; 而当一个齐次线性方程组有非零解时, 是否一定有基础解系呢? 如果有的话,
怎样去求它的基础解系? 下面的定理 \ref{thm:1} 回答了这两个问题.
\begin{thm}
\label{thm:1} 对齐次线性方程组 $Ax=0$, 若 $r(A)=r<n$, 则该方程组的基础解系一定存在, 且每个基础解系中所含解向量的个数均等于
$n-r$, 其中 $n$ 是方程组所含未知量的个数.
\end{thm}

\begin{rem*}
定理 \ref{thm:1} 的证明过程实际上已给出了求齐次线性方程组的基础解系的方法. 且

若已知 $\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{n-r}$ 是线性方程组 $Ax=0$ 的一个基础解系,
则 $Ax=0$ 的全部解可表为
\begin{equation}
x=c_{1}\eta_{1}+c_{2}\eta_{2}+\cdots+c_{n-r}\eta_{n-r},\label{eq:3.6-4}
\end{equation}
其中 $c_{1},c_{2},\cdots,c_{n-r}$ 为任意实数. 称表达式 (\ref{eq:3.6-4}) 线性方程组
$Ax=0$ 的通解.
\end{rem*}
\end{frame}

\subsection{非齐次线性方程组解的结构}
\begin{frame}[allowframebreaks]{非齐次线性方程组解的结构}

设有非齐次线性方程组
\[
\begin{cases}
a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\
\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\
a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m}
\end{cases}
\]
它也可写作向量方程

\[
Ax=b.
\]

\begin{prop}
设 $\eta_{1},\eta_{2}$ 是非齐次线性方程组 $Ax=b$ 的解, 则 $\eta_{1}-\eta_{2}$
是对应的齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解.
\end{prop}

\begin{prop}
设 $\eta$ 是非齐次线性方程组 $Ax=b$ 的解, $\xi$ 为对应的齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解, 则 $\xi+\eta$
非齐次线性方程组 $Ax=b$ 的解.
\end{prop}

\begin{thm}
设 $\eta^{*}$ 是非齐次线性方程组 $Ax=b$ 的一个解, $\xi$ 是对应齐次线性方程组 $Ax=0$的通解,
则 $x=\xi+\eta^{*}$ 是非齐次线性方程组 $Ax=b$ 的通解.
\end{thm}

\begin{rem*}
设有非齐次线性方程组 $Ax=b$, 而 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ 是系数矩阵
$A$ 的列向量组, 则下列四个命题等价:

(1) 非齐次线性方程组 $Ax=b$ 有解;

(2) 向量 $b$ 能由向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ 线性表示;

(3) 向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$ 与向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n},b$
等价;

(4) $r(A)=r(\begin{bmatrix}A & b\end{bmatrix})$.
\end{rem*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{齐次线性方程组的基础解系}
\begin{example}
求下列齐次线性方程组的一个基础解系:
\[
\begin{cases}
2x_{1}+x_{2}-2x_{3}+3x_{4}=0\\
3x_{1}+2x_{2}-x_{3}+2x_{4}=0\\
x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}=0
\end{cases}
\]
\end{example}

\begin{sol*}
对此方程组的系数矩阵作如下初等行变换:\vspace{-4mm}
\begin{align*}
A & =\begin{bmatrix}2 & 1 & -2 & 3\\
3 & 2 & -1 & 2\\
1 & 1 & 1 & -1
\end{bmatrix}\xrightarrow[r_{2}-3r_{3}]{r_{1}-2r_{3}}\begin{bmatrix}0 & -1 & -4 & 5\\
0 & -1 & -4 & 5\\
1 & 1 & 1 & -1
\end{bmatrix}\\
 & \xrightarrow{r_{1}-r_{2}}\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0\\
0 & -1 & -4 & 5\\
1 & 1 & 1 & -1
\end{bmatrix}\xrightarrow{r_{1}\leftrightarrow r_{3}}\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & -1\\
0 & -1 & -4 & 5\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\\
 & \xrightarrow{r_{1}+r_{2}}\begin{bmatrix}1 & 0 & -3 & 4\\
0 & -1 & -4 & 5\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\xrightarrow{(-1)r_{2}}\begin{bmatrix}1 & 0 & -3 & 4\\
0 & 1 & 4 & -5\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
\end{align*}
于是原方程组可同解地变为:
\[
\begin{cases}
x_{1}=3x_{3}-4x_{4}\\
x_{2}=-4x_{3}+5x_{4}
\end{cases}
\]
因此基础解系为

\[
\eta_{1}=(3,-4,1,0)^{T},\ \eta_{2}=(-4,5,0,1)^{T}.
\]
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{齐次线性方程组的基础解系与通解}
\begin{example}[例 12, p. 97]
\label{exa:3.6-2}  求齐次线性方程组 $\begin{cases}
x_{1}+x_{2}-x_{3}-x_{4}=0,\\
2x_{1}-5x_{2}+3x_{3}+2x_{4}=0,\\
7x_{1}-7x_{2}+3x_{3}+x_{4}=0
\end{cases}$ 的基础解系与通解.
\end{example}

\begin{sol*}
对系数矩阵 $A$ 作初等行变换, 化为行最简矩阵:\vspace{-4mm}
\begin{align*}
A & =\begin{bmatrix}1 & 1 & -1 & -1\\
2 & -5 & 3 & 2\\
7 & -7 & 3 & 1
\end{bmatrix}\xrightarrow[r_{3}-7r_{1}]{r_{2}-2r_{1}}\begin{bmatrix}1 & 1 & -1 & -1\\
0 & -7 & 5 & 4\\
0 & -14 & 10 & 8
\end{bmatrix}\\
 & \xrightarrow{r_{3}-2r_{2}}\begin{bmatrix}1 & 1 & -1 & -1\\
0 & -7 & 5 & 4\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\xrightarrow[r_{1}-r_{2}]{r_{2}\div(-7)}\begin{bmatrix}1 & 0 & -2/7 & -3/7\\
0 & 1 & -5/7 & -4/7\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix},
\end{align*}
得到原方程组的同解方程组 
\begin{equation}
\begin{cases}
x_{1}=(2/7)x_{3}+(3/7)x_{4}\\
x_{2}=(5/7)x_{3}+(4/7)x_{4}
\end{cases}\label{eq:star}
\end{equation}
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
令 $\begin{bmatrix}x_{3}\\
x_{4}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\
0
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\
1
\end{bmatrix}$, 即得基础解系\vspace{-4mm}
\[
\eta_{1}=\begin{bmatrix}2/7\\
5/7\\
1\\
0
\end{bmatrix},\ \eta_{2}=\begin{bmatrix}3/7\\
4/7\\
0\\
1
\end{bmatrix}.
\]
并由此得到通解
\[
\begin{bmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}\\
x_{4}
\end{bmatrix}=C_{1}\begin{bmatrix}2/7\\
5/7\\
1\\
0
\end{bmatrix}+C_{2}\begin{bmatrix}3/7\\
4/7\\
0\\
1
\end{bmatrix},\qquad\left(C_{1},C_{2}\in\RR\right).
\]
\end{sol*}
%
\begin{rem*}
在第一节中, 线性方程组的解法是从例 \ref{exa:3.6-2} 中的 (\ref{eq:star}) 式直接写出方程组的全部解
(通解)\footnote{
\[
\begin{cases}
x_{1}=(2/7)x_{3}+(3/7)x_{4}\\
x_{2}=(5/7)x_{3}+(4/7)x_{4}
\end{cases}\left(x_{3},x_{4}\text{ 可取任意实数}.\right)
\]
令 $x_{3}=c_{1}$, $x_{4}=c_{2}$, 把它写成向量形式为
\[
\begin{bmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}\\
x_{4}
\end{bmatrix}=c_{1}\begin{bmatrix}2/7\\
5/7\\
1\\
0
\end{bmatrix}+c_{2}\begin{bmatrix}3/7\\
4/7\\
0\\
1
\end{bmatrix}.
\]
它表达了方程组的全部解.}. 实际上可从例 \ref{exa:3.6-2} 中的 (\ref{eq:star}) 式先取基础解系, 再写出通解, 两种解法其实没有多少区别.
\end{rem*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{用基础解系求解线性方程组的通解}
\begin{example}[E02]
 用基础解系表示如下线性方程组的通解.
\[
\begin{cases}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+4x_{4}-3x_{5}=0\\
x_{1}-x_{2}+3x_{3}-2x_{4}-x_{5}=0\\
2x_{1}+x_{2}+3x_{3}+5x_{4}-5x_{5}=0\\
3x_{1}+x_{2}+5x_{3}+6x_{4}-7x_{5}=0
\end{cases}
\]
\end{example}

\begin{sol*}
$m=4$, $n=5$, $m<n$, 因此所给方程组有无穷多个解. 对增广矩阵 $A$ 施以初等行变换:
\[
A=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 4 & -3\\
1 & -1 & 3 & -2 & -1\\
2 & 1 & 3 & 5 & -5\\
3 & 1 & 5 & 6 & -7
\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 4 & -3\\
0 & -2 & 2 & -6 & 2\\
0 & -1 & 1 & -3 & 1\\
0 & -2 & 2 & -6 & 2
\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 & 1 & -2\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & -1 & 3 & -1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
\]
即原方程组与下面方程组同解:
\[
\begin{cases}
x_{1}=-2x_{3}-x_{4}+2x_{5},\\
x_{2}=x_{3}-3x_{4}+x_{5},
\end{cases}
\]
其中 $x_{3},x_{4},x_{5}$ 为自由未知量.

令自由未知量 $\begin{bmatrix}x_{3}\\
x_{4}\\
x_{5}
\end{bmatrix}$ 取值 $\begin{bmatrix}1\\
0\\
0
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\
1\\
0
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\
0\\
1
\end{bmatrix}$, 分别得方程组的解为

\[
\eta_{1}=(-2,1,1,0,0)^{T},\eta_{2}=(-1,-3,0,1,0)^{T},\eta_{1}=(2,1,0,0,1)^{T},
\]
$\eta_{1},\eta_{2},\eta_{3}$ 就是所给方程组的一个基础解系. 因此, 方程组的通解为 $\eta=c_{1}\eta_{1}+c_{2}\eta_{2}+c_{3}\eta_{3}$,
($c_{1},c_{2},c_{3}$ 为任意常数).
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{求解齐次线性方程组}
\begin{example}
求解下列齐次线性方程组:

\[
\begin{cases}
x_{1}+x_{2}-x_{3}+2x_{4}+x_{5}=0\\
x_{3}+3x_{4}-x_{5}=0\\
2x_{3}+x_{4}-2x_{5}=0
\end{cases}
\]
\end{example}

\begin{sol*}
对方程组的系数矩阵作如下初等变换:\vspace{-4mm}
\[
\begin{aligned}A & =\begin{bmatrix}1 & 1 & -1 & 2 & 1\\
0 & 0 & 1 & 3 & -1\\
0 & 0 & 2 & 1 & -2
\end{bmatrix}\xrightarrow{r_{3}-2r_{2}}\begin{bmatrix}1 & 1 & -1 & 2 & 1\\
0 & 0 & 1 & 3 & -1\\
0 & 0 & 2 & 1 & -2
\end{bmatrix}\\
 & \xrightarrow{\left(-\frac{1}{5}\right)r_{3}}\begin{bmatrix}1 & 1 & -1 & 2 & 1\\
0 & 0 & 1 & 3 & -1\\
0 & 0 & 2 & 1 & -2
\end{bmatrix}.
\end{aligned}
\]
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
这个矩阵不符合要求, 因为它已经不可能仅用初等行变换变成所要求的左上角为单位块的形状了, 这是必须借助于列对调. \vspace{-4mm}

\begin{align*}
\begin{bNiceMatrix}[first-row]
x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}&x_{5}\\1&1&-1&2&1\\0&0&1&3&-1\\0&0&0&1&0
\end{bNiceMatrix}
 & \xrightarrow{c_{2}\leftrightarrow c_{3}}\begin{bNiceMatrix}[first-row]
x_{1}&x_{3}&x_{2}&x_{4}&x_{5}\\1&-1&1&2&1\\0&1&0&3&-1\\0&0&0&1&0
\end{bNiceMatrix}\xrightarrow{c_{3}\leftrightarrow c_{4}}\begin{bNiceMatrix}[first-row]
x_{1}&x_{3}&x_{4}&x_{2}&x_{5}\\1&-1&2&1&1\\0&1&3&0&-1\\0&0&1&0&0
\end{bNiceMatrix}\\
 & \xrightarrow{r_{1}+r_{2}}\begin{bNiceMatrix}[first-row]
x_{1}&x_{3}&x_{4}&x_{2}&x_{5}\\1&0&5&1&0\\0&1&3&0&-1\\0&0&1&0&0
\end{bNiceMatrix}\xrightarrow[r_{2}-3r_{3}]{r_{1}-5r_{3}}\begin{bNiceMatrix}[first-row]
x_{1}&x_{3}&x_{4}&x_{2}&x_{5}\\1&0&0&1&1\\0&1&0&0&-1\\0&0&1&0&0
\end{bNiceMatrix}.
\end{align*}
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
矩阵的秩等于 $3$, 未知数个数 $n=5$, 因此基础解系应含有 $2$ 个向量, 分别取自由变量 $x_{2}=1$,
$x_{5}=0$ 及 $x_{2}=0$, $x_{5}=1$. 得到基础解系:
\[
\eta_{1}=(-1,1,0,0,0)^{T},\ \eta_{2}=(0,0,1,0,1)^{T},
\]
于是原方程组的解为
\[
c_{1}\eta_{1}+c_{2}\eta_{2},
\]
其中 $c_{1},c_{2}$ 为任意数.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{求解齐次线性方程组}
\begin{example}
求解齐次线性方程组:
\[
\begin{cases}
x_{1}+2x_{2}+x_{4}-2x_{5}=0,\\
2x_{1}+4x_{2}+2x_{3}+2x_{4}+5x_{5}=0,\\
-x_{1}-2x_{2}+x_{3}+3x_{4}+8x_{5}=0,\\
3x_{1}+6x_{2}+x_{4}-2x_{5}=0.
\end{cases}
\]
\end{example}

\begin{sol*}
对方程组的系数矩阵进行初等变换:

\begin{eqnarray*}
A &=& \begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 & 1 & -2\\2 & 4 & 2 & 2 & 5\\-1 & -2 & 1 & 3 & 8\\3 & 6 & 0 & 1 & -2
\end{bmatrix}\xrightarrow[r_{4}-3r_{1}]{{r_{2}-2r_{1}\atop r_{3}+r_{1}}}\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 & 1 & -2\\0 & 0 & 2 & 0 & 9\\0 & 0 & 1 & 4 & 6\\0 & 0 & 0 & -2 & 4
\end{bmatrix}\\
 & \xrightarrow{r_{2}-2r_{3}} & \begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 & 1 & -2\\0 & 0 & 0 & -8 & -3\\0 & 0 & 1 & 4 & 6\\0 & 0 & 0 & -2 & 4
\end{bmatrix}\xrightarrow{r_{2}\leftrightarrow r_{3}}\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 & 1 & -2\\0 & 0 & 2 & 4 & 6\\0 & 0 & 1 & -8 & -3\\0 & 0 & 0 & -2 & 4
\end{bmatrix}\\
 & \xrightarrow{c_{2}\leftrightarrow c_{3}} & \begin{bNiceMatrix}[first-row]
x_{1} & x_{3} & x_{2} & x_{4} & x_{5}\\1 & 0 & 2 & 1 & -2\\0 & 1 & 0 & 4 & 6\\0 & 0 & 0 & -8 & -3\\0 & 0 & 0 & -2 & 4\end{bNiceMatrix}\xrightarrow{\left(-\frac{1}{2}\right)r_{4}}\begin{bNiceMatrix}[first-row]
x_{1} & x_{3} & x_{2} & x_{4} & x_{5}\\1 & 0 & 2 & 1 & -2\\0 & 1 & 0 & 4 & 6\\0 & 0 & 0 & -8 & -3\\0 & 0 & 0 & 1 & -2
\end{bNiceMatrix}
\end{eqnarray*}
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
{\footnotesize{\begin{eqnarray*}
A & \longrightarrow & \begin{bNiceMatrix}[first-row]
x_{1} & x_{3} & x_{2} & x_{4} & x_{5}\\1 & 0 & 2 & 1 & -2\\0 & 1 & 0 & 4 & 6\\0 & 0 & 0 & -8 & -3\\0 & 0 & 0 & 1 & -2
\end{bNiceMatrix}\xrightarrow{r_{4}\leftrightarrow r_{3}} \begin{bNiceMatrix}[first-row]
x_{1} & x_{3} & x_{2} & x_{4} & x_{5}\\1 & 0 & 2 & 1 & -2\\0 & 1 & 0 & 4 & 6\\0 & 0 & 0 & 1 & -2\\0 & 0 & 0 & -8 & -3
\end{bNiceMatrix}\\
 & \xrightarrow{c_{4}\leftrightarrow c_{3}} & \begin{bNiceMatrix}[first-row]
x_{1} & x_{3} & x_{4} & x_{2} & x_{5}\\1 & 0 & 1 & 2 & -2\\0 & 1 & 4 & 0 & 6\\0 & 0 & 1 & 0 & -2\\0 & 0 & -8 & 0 & -3
\end{bNiceMatrix} \xrightarrow{r_{4}+8r_{3}} \begin{bNiceMatrix}[first-row]
x_{1} & x_{3} & x_{4} & x_{2} & x_{5}\\0 & 0 & 1 & 2 & -2\\0 & 1 & 4 & 0 & 6\\0 & 0 & 1 & 0 & -2\\0 & 0 & 0 & 0 & -19
\end{bNiceMatrix}\\
 & \xrightarrow{\left(-\frac{1}{19}\right)r_{4}} & \begin{bNiceMatrix}[first-row]
x_{1} & x_{3} & x_{4} & x_{2} & x_{5}\\1 & 0 & 1 & 2 & -2\\0 & 1 & 4 & 0 & 6\\0 & 0 & 1 & 0 & -2\\0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bNiceMatrix} \xrightarrow[r_{3}+2r_{4}]{{r_{1}+2r_{4}\atop r_{2}-6r_{4}}} \begin{bNiceMatrix}[first-row]
x_{1} & x_{3} & x_{4} & x_{2} & x_{5}\\1 & 0 & 1 & 2 & 0\\0 & 1 & 4 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{bNiceMatrix}\\
 & \xrightarrow[r_{2}-4r_{3}]{r_{1}-r_{3}} & \begin{bNiceMatrix}[first-row]
x_{1} & x_{3} & x_{4} & x_{2} & x_{5}\\1 & 0 & 0 & 2 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{bNiceMatrix}\xrightarrow{c_{4}\leftrightarrow c_{5}} \begin{bNiceMatrix}[first-row]
x_{1} & x_{3} & x_{4} & x_{5} & x_{2}\\1 & 0 & 0 & 0 & 2\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0
\end{bNiceMatrix}.
\end{eqnarray*}
}}
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
这个矩阵秩等于 $4$, 未知数个数 $n=5$, 因此基础解系只含有 $1$ 个向量, 取自由变量 $x_{2}=1$,
得
\[
\eta=(-2,1,0,0,0)^{T},
\]
原方程的通解为 $c\eta$, 其中 $c$ 可取任何数.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{关于秩的等式}
\begin{example}
证明 $r\left(A^{T}A\right)=r(A)$.
\end{example}

\begin{proof}
设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵, $x$ 为 $n$ 维列向量.

若 $x$ 满足 $Ax=0\longrightarrow A^{T}(Ax)=0$, 即 $\left(A^{T}A\right)x=0$;

若 $x$ 满足 $\left(A^{T}A\right)x=0\longmapsto x^{T}\left(A^{T}A\right)x=0$,
即 $(Ax)^{T}(Ax)=0\longmapsto Ax=0$.

综上可知方程组 $Ax=0$ 与 $\left(A^{T}A\right)x=0$ 同解,

所以 $r\left(A^{T}A\right)=r(A)$.
\end{proof}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{齐次线性方程组的基础解系}
\begin{example}
求出一个齐次线性方程组, 使它的基础解系由下列向量组成\vspace{-4mm}
\[
\xi_{1}=\begin{bmatrix}1\\
2\\
3\\
4
\end{bmatrix},\quad\xi_{2}=\begin{bmatrix}4\\
3\\
2\\
1
\end{bmatrix}.
\]
\end{example}

\begin{sol*}
设所求得齐次线性方程组为 $Ax=0$, 矩阵 $A$ 的行向量形如 $\alpha^{T}=\left(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right)$,

根据题意, 有 $\alpha^{T}\xi_{1}=0$, $\alpha^{T}\xi_{2}=0$, 即 $\begin{cases}
a_{1}+2a_{2}+3a_{3}+4a_{4}=0\\
4a_{1}+3a_{2}+2a_{3}+a_{4}=0
\end{cases}$

设这个方程组系数矩阵为 $B$, 对 $B$ 进行初等行变换, 得 $B=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\
4 & 3 & 2 & 1
\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\
0 & -5 & -10 & -15
\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}1 & 0 & -1 & -2\\
0 & 1 & 2 & 3
\end{bmatrix}$.

这个方程组的同解方程组为

\[
\begin{cases}
a_{1}-a_{3}-2a_{4}=0\\
a_{2}+2a_{3}+3a_{4}=0
\end{cases}
\]
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
其基础解系为 $\begin{bmatrix}1\\
-2\\
1\\
0
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}2\\
-3\\
0\\
1
\end{bmatrix}$, 故可取矩阵 $A$ 的行向量为 $\alpha_{1}^{T}=(1,-2,1,0)$, $\alpha_{2}^{T}=(2,-3,0,1)$,

故所求齐次线性方程组的系数矩阵 $A=\begin{bmatrix}1 & -2 & 1 & 0\\
2 & -3 & 0 & 1
\end{bmatrix}$.

所求齐次线性方程组为 $\begin{cases}
x_{1}-2x_{2}+x_{3}=0\\
2x_{1}-3x_{2}+x_{4}=0
\end{cases}$.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{非齐次线性方程组的通解}
\begin{example}[E03]
 求下列方程组的通解 $\begin{cases}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=7\\
3x_{1}+x_{2}+2x_{3}+x_{4}-3x_{5}=-2\text{. }\\
2x_{2}+x_{3}+2x_{4}+6x_{5}=23
\end{cases}$.
\end{example}

\begin{sol*}
对增广矩阵做初等变换: $\widetilde{A}=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 7\\
3 & 1 & 2 & 1 & -3 & -2\\
0 & 2 & 1 & 2 & 6 & 23
\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}1 & 0 & 1/2 & 0 & -2 & -9/2\\
0 & 1 & 1/2 & 1 & 3 & 23/2\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$,

由 $r(A)=r(\widetilde{A})$, 知方程组有解.

又 $r(A)=2$, $n-r=3$, 所以方程组有无穷多解. 且原方程组等价于方程组
\[
\begin{cases}
x_{1}=-x_{3}/2+2x_{5}-9/2\\
x_{2}=-x_{3}/2-x_{4}-3x_{5}+23/2
\end{cases}
\]
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
令 $\begin{bmatrix}x_{3}\\
x_{4}\\
x_{5}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\
0\\
0
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\
1\\
0
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\
0\\
1
\end{bmatrix}$ 分别代入等价方程组对应的齐次方程组中求得基础解系
\[
\xi_{1}=\begin{bmatrix}-1/2\\
-1/2\\
1\\
0\\
0
\end{bmatrix},\ \xi_{2}=\begin{bmatrix}0\\
-1\\
0\\
1\\
0
\end{bmatrix},\ \xi_{3}=\begin{bmatrix}2\\
-3\\
0\\
0\\
1
\end{bmatrix}
\]
求特解: 令 $x_{3}=x_{4}=x_{5}=0$, 得 $x_{1}=-9/2,x_{2}=23/2$. 故所求通解为
$x=C_{1}\begin{bmatrix}-1/2\\
-1/2\\
1\\
0\\
0
\end{bmatrix}+C_{2}\begin{bmatrix}0\\
-1\\
0\\
1\\
0
\end{bmatrix}+C_{3}\begin{bmatrix}2\\
-3\\
0\\
0\\
1
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-9/2\\
23/2\\
0\\
0\\
0
\end{bmatrix}$. 其中 $C_{1},C_{2},C_{3}$ 为任意常数.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{求解非齐次线性方程组}
\begin{example}
求解下列非齐次线性方程组:

\[
\begin{cases}
x_{1}+x_{2}-3x_{3}-x_{4}=1\\
3x_{1}-x_{2}-3x_{3}-4x_{4}=4\\
x_{1}+5x_{2}-9x_{3}-8x_{4}=0
\end{cases}
\]
\end{example}

\begin{sol*}
对方程组的增广矩阵作如下初等变换: 

\vspace{-4mm}
\begin{eqnarray*}
\widetilde{A}&=&\begin{bmatrix}
A & b
\end{bmatrix}=\begin{bNiceArray}{cccc|c}
1 & 1 & -3 & -1 & 1\\3 & -1 & -3 & 4 & 4\\1 & 5 & -9 & 8 & 0
\end{bNiceArray}\xrightarrow[r_{3}-r_{1}]{r_{2}-3r_{1}}\begin{bNiceArray}{cccc|c}
1 & 1 & -3 & -1 & 1\\0 & -4 & 6 & 7 & 1\\0 & 4 & -6 & -7 & -1
\end{bNiceArray}\\ & \xrightarrow{r_{3}+r_{2}}&\begin{bNiceArray}{cccc|c}
1 & 1 & -3 & -1 & 1\\0 & -4 & 6 & 7 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bNiceArray}\xrightarrow{-\frac{1}{4}r_{2}}\begin{bNiceArray}{cccc|c}
1 & 1 & -3 & -1 & 1\\0 & 1 & -3/2 & -7/4 & -1/4\\0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bNiceArray}\\ & \xrightarrow{r_{1}-r_{2}}&\begin{bNiceArray}{cccc|c}
1 & 0 & -3/2 & 3/4 & 5/4\\0 & 1 & -3/2 & -7/4 & -1/4\\0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bNiceArray}.
\end{eqnarray*}
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
在上面的初等变换中没有作过列对换, 因此可立即求出特解 $\gamma$ 和对应齐次线性方程组的基础解系:
\[
\gamma=\begin{bmatrix}5/4\\
-1/4\\
0\\
0
\end{bmatrix},\quad\eta_{1}=\begin{bmatrix}3/2\\
3/2\\
1\\
0
\end{bmatrix},\quad\eta_{2}=\begin{bmatrix}-3/4\\
7/4\\
0\\
1
\end{bmatrix}.
\]
原方程组的解为 $x=\gamma+c_{1}\eta_{1}+c_{2}\eta_{2}$, 其中 $c_{1},c_{2}$
为任意数.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{求解非齐次线性方程组}
\begin{example}
求解下列线性方程组:
\[
\begin{cases}
x_{1}+2x_{2}-x_{3}+3x_{4}+x_{5}=2\\
2x_{1}+4x_{2}-2x_{3}+6x_{4}+3x_{5}=6\\
-x_{1}-2x_{2}+x_{3}-x_{4}+3x_{5}=4
\end{cases}
\]
\end{example}

\begin{sol*}
对方程组的增广矩阵作如下初等变换:\vspace{-4mm}
\begin{eqnarray*}
\widetilde{A}&=&
\begin{bmatrix}
A & b
\end{bmatrix}=\begin{bNiceArray}{ccccc|c}[first-row]
x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} & x_{5}\\1 & 2 & -1 & 3 & 1 & 2\\2 & 4 & -2 & 6 & 3 & 6\\-1 & -2 & 1 & -1 & 3 & 4
\end{bNiceArray}\xrightarrow[r_{3}+r_{1}]{r_{2}-2r_{1}}\begin{bNiceArray}{ccccc|c}[first-row]
x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} & x_{5}\\1 & 2 & -1 & 3 & 1 & 2\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2\\0 & 0 & 0 & 2 & 4 & 6
\end{bNiceArray}\\&\xrightarrow{\frac{1}{2}r_{3}} & \begin{bNiceArray}{ccccc|c}[first-row]
x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} & x_{5}\\1 & 2 & -1 & 3 & 1 & 2\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2\\0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 3
\end{bNiceArray}\xrightarrow[c_{3}\leftrightarrow c_{5}]{c_{2}\leftrightarrow c_{4}}\begin{bNiceArray}{ccccc|c}[first-row]
x_{1} & x_{4} & x_{5} & x_{2} & x_{3}\\1 & 3 & 1 & 2 & -1 & 2\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2\\0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 3
\end{bNiceArray}\\&\xrightarrow{r_{2}\leftrightarrow r_{3}} & \begin{bNiceArray}{ccccc|c}[first-row]
x_{1} & x_{4} & x_{5} & x_{2} & x_{3}\\1 & 3 & 1 & 2 & -1 & 2\\0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 3\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2
\end{bNiceArray}\xrightarrow{r_{1}-3r_{2}}\begin{bNiceArray}{ccccc|c}[first-row]
x_{1} & x_{4} & x_{5} & x_{2} & x_{3}\\1 & 0 & -5 & 2 & -1 & -7\\0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 3\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2
\end{bNiceArray}\\&\xrightarrow[r_{2}-2r_{3}]{r_{1}+5r_{3}} & \begin{bNiceArray}{ccccc|c}[first-row]
x_{1} & x_{4} & x_{5} & x_{2} & x_{3}\\1 & 0 & 0 & 2 & -1 & 3\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2
\end{bNiceArray}.
\end{eqnarray*}
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
在上面初等变换的整个过程中, 我们进行了两次列对换, 第一次是第 $2$ 列与第 $4$ 列对换, 第二次是第 $3$ 列与第
$5$ 列对换.
\[
\text{ 秩 }(\widetilde{A})=\text{ 秩 }(A)=3,
\]
未知数个数 $n=5$, 因此基础解系应含有 $2$ 个向量, 分别取自由变量
\[
x_{2}=0,\ x_{3}=0;\ x_{2}=1,\ x_{3}=0\text{ 及 }x_{2}=0,\ x_{3}=1\text{. }
\]
得特解 $\gamma$ 以及基础解系 $\eta_{1},\eta_{2}$:
\[
\gamma=(3,0,0,-1,2)^{T},\quad\eta_{1}=(-2,1,0,0,0)^{T},\quad\eta_{2}=(1,0,1,0,0)^{T}.
\]

于是原线性方程组的通解为
\[
\gamma+c_{1}\eta_{1}+c_{2}\eta_{2}
\]
其中 $c_{1},c_{2}$ 为任意数.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{非齐次线性方程组的通解}
\begin{example}[E04]
 设四元非齐次线性方程组 $AX=b$ 的系数矩阵 $A$ 的秩为 $3$, 已经它的三个解向量为 $\eta_{1},\eta_{2},\eta_{3}$,
其中
\[
\eta_{1}=\begin{bmatrix}3\\
-4\\
1\\
2
\end{bmatrix},\quad\eta_{2}+\eta_{3}=\begin{bmatrix}4\\
6\\
8\\
0
\end{bmatrix},
\]
求该方程组的通解.
\end{example}

\begin{sol*}
依题意, 方程组 $Ax=b$ 的导出组的基础解系含 $4-3=1$ 个向量, 于是导出组的任何一个非零解都可作为其基础解系.
显然 $\eta_{1}-\frac{1}{2}\left(\eta_{2}+\eta_{3}\right)=\begin{bmatrix}1\\
-7\\
-3\\
2
\end{bmatrix}\neq\boldsymbol{0}$ 是导出组的非零解, 可作为其基础解系.

故方程组 $Ax=b$ 的通解为
\[
x=\eta_{1}+c\left[\eta_{1}-\frac{1}{2}\left(\eta_{2}+\eta_{3}\right)\right]=\begin{bmatrix}3\\
-4\\
1\\
2
\end{bmatrix}+C\begin{bmatrix}1\\
-7\\
-3\\
2
\end{bmatrix},\qquad(C\text{ 为任意常数}).
\]
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{作业}
\begin{problem}
求线性方程组
\[
\begin{cases}
x_{1}-x_{2}-x_{3}+x_{4}=0\\
x_{1}-x_{2}+x_{3}-3x_{4}=1\\
x_{1}-x_{2}-2x_{3}+3x_{4}=-1/2
\end{cases}
\]
的通解.
\end{problem}

\begin{problem}
设矩阵 $A=\left(a_{ij}\right)_{m\times n}$, $B=\left(b_{ij}\right)_{n\times s}$
满足 $AB=O$ 并且 $r(A)=r$. 试证: $r(B)\leq n-r$.
\end{problem}

\end{frame}