\section{矩阵的特征值与特征向量}

\subsection{特征值与特征向量}
\begin{frame}[allowframebreaks]{特征值与特征向量}
\begin{defn}
设 $A$ 是 $n$ 阶方阵, 如果数 $\lambda$ 和 $n$ 维非零向量 $X$ 使
\[
AX=\lambda X
\]
成立, 则称数 $\lambda$ 为方阵 $A$ 的特征值, 非零向量 $X$ 称为 $A$ 的对应于特征值 $\lambda$
的特征向量 (或称为 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量).
\end{defn}

\begin{rem}
$n$ 阶方阵 $A$ 的特征值 $\lambda$, 就是使齐次线性方程组
\[
(\lambda E-A)X=0
\]
有非零解的值, 即满足方程
\[
|\lambda E-A|=0
\]
的 $\lambda$ 都是矩阵 $A$ 的特征值.
\end{rem}

\begin{defn}
称关于 $\lambda$ 的一元 $n$ 次方程 $|\lambda E-A|=0$ 为矩阵 $A$ 的特征方程, 称 $\lambda$
的一元 $n$ 次多项式
\[
f(\lambda)=|\lambda E-A|
\]
为矩阵 $A$ 的特征多项式.
\end{defn}

\end{frame}
%
\begin{frame}{特征向量的求法}

根据上述定义, 即可给出特征向量的求法:

设 $\lambda=\lambda_{i}$ 为方阵 $A$ 的一个特征值, 则由齐次线性方程组
\[
\left(\lambda_{i}E-A\right)X=0
\]
可求得非零解 $p_{i}$, 那么 $p_{i}$ 就是 $A$ 的对应于特征值 $\lambda_{i}$ 的特征向量,
且 $A$ 的对应于特征值 $\lambda_{i}$ 的特征向量全体是方程组 $\left(\lambda_{i}E-A\right)X=0$
的全体非零解. 即设 $p_{1},p_{2},\cdots,p_{s}$ 为 $\left(\lambda_{i}E-A\right)X=0$
的基础解系, 则 $A$ 的对应于特征值 $\lambda_{i}$ 的特征向量全体是
\[
p=k_{1}p_{1}+k_{2}p_{2}+\cdots+k_{s}p_{s},\quad\left(k_{1},\cdots,k_{s}\text{ 不同时 }0\right).
\]

\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{求矩阵的特征值和特征向量}
\begin{example}
\label{exa:4.2-1} 求矩阵 $A=\begin{bmatrix}3 & 1\\
5 & -1
\end{bmatrix}$ 的特征值和特征向量.
\end{example}

\begin{sol*}
矩阵 $A$ 的特征方程为
\[
|\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda-3 & -1\\
-5 & \lambda+1
\end{vmatrix}=0\Longrightarrow(\lambda-4)(\lambda+2)=0,
\]
所以 $\lambda_{1}=4$, $\lambda_{2}=-2$ 是矩阵 $A$ 的两个不同的特征值.

以 $\lambda_{1}=4$ 代入与特征方程对应的齐次线性方程组, 得
\[
\begin{cases}
x_{1}-x_{2}=0\\
-5x_{1}+5x_{2}=0
\end{cases}\Longrightarrow\text{ 基础解系是 }\begin{bmatrix}1\\
1
\end{bmatrix},
\]
故 $k_{1}\begin{bmatrix}1\\
1
\end{bmatrix}$, ($k_{1}\neq0$) 是矩阵 $A$ 对应于 $\lambda_{1}=4$ 的全部特征向量.
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
矩阵
\[
\lambda E-A=\begin{bmatrix}\lambda-3 & -1\\
-5 & \lambda+1
\end{bmatrix},
\]

以 $\lambda_{2}=-2$ 代入与特征方程对应的齐次线性方程组, 得
\[
\begin{cases}
-5x_{1}-x_{2}=0\\
-5x_{1}-x_{2}=0
\end{cases}\Longrightarrow\text{ 基础解系是 }\begin{bmatrix}1\\
-5
\end{bmatrix},
\]
故 $k_{2}\begin{bmatrix}1\\
-5
\end{bmatrix}$, ($k_{2}\neq0$) 是矩阵 $A$ 对应于 $\lambda_{1}=-2$ 的全部特征向量.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{求矩阵的特征值和特征向量}
\begin{example}
设 $A=\begin{bmatrix}-2 & 1 & 1\\
0 & 2 & 0\\
-4 & 1 & 3
\end{bmatrix}$, 求 $A$ 的特征值与特征向量.
\end{example}

\begin{sol*}
$|\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda+2 & -1 & -1\\
0 & \lambda-2 & 0\\
4 & -1 & \lambda-3
\end{vmatrix}=(\lambda+1)(\lambda-2)^{2},$ 解得特征值 $\lambda_{1}=-1$, $\lambda_{2}=\lambda_{3}=2$.

当 $\lambda_{1}=-1$ 时, 解方程 $(-A-E)x=0$. 由\vspace{-4mm} 
\[
-A-E=\begin{bmatrix}1 & -1 & -1\\
0 & -3 & 0\\
4 & -1 & -4
\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}1 & 0 & -1\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix},
\]
这个矩阵对应的线性方程组的基础解系 $p_{1}=\begin{bmatrix}1\\
0\\
1
\end{bmatrix}$, 故对应于 $\lambda_{1}=-1$ 的全体特征向量为 $k_{1}p_{1}$, ($k_{1}\neq0$).
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
当 $\lambda_{2}=\lambda_{3}=2$ 时, 解方程 $(2E-A)x=0$. 由 
\[
2E-A=\begin{bmatrix}4 & -1 & -1\\
0 & 0 & 0\\
4 & -1 & -1
\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}4 & -1 & -1\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix},
\]
类似地解得基础解系 $p_{2}=\begin{bmatrix}1\\
4\\
0
\end{bmatrix}$, $p_{3}=\begin{bmatrix}1\\
0\\
4
\end{bmatrix}$, 故对应于 $\lambda_{2}=\lambda_{3}=2$ 的全部特征向量为:
\[
k_{2}p_{2}+k_{3}p_{3},\quad\left(k_{2},k_{3}\text{ 不同时为 }0\right).
\]
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{求矩阵的特征值和特征向量}
\begin{example}
求 $3$ 阶矩阵 $A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 1\\
1 & 3 & -1\\
1 & 1 & 1
\end{bmatrix}$ 的特征值以及相应的线性无关的特征向量组.
\end{example}

\begin{sol*}
$A$ 的特征多项式为\vspace{-4mm} 
\[
|\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda-1 & 1 & -1\\
-1 & \lambda-3 & 1\\
-1 & -1 & \lambda-1
\end{vmatrix}=\lambda^{3}-5\lambda^{2}+8\lambda-4=(\lambda-2)^{2}(\lambda-1).
\]
这个多项式的根为 $\lambda_{1}=1$, $\lambda_{2}=\lambda_{3}=2$, 因此 $A$ 的特征值等于
$1,2,2$. 

接下来求特征向量: 对 $\lambda_{1}=1$, 将 $\lambda=1$ 代入 $(\lambda E-A)x=0$,
得
\begin{equation}
(E-A)x=\begin{bmatrix}0 & 1 & -1\\
-1 & -2 & 1\\
-1 & -1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\
0\\
0
\end{bmatrix}.\label{eq:4.2-1}
\end{equation}
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
\[
(E-A)x=\begin{bmatrix}0 & 1 & -1\\
-1 & -2 & 1\\
-1 & -1 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\
0\\
0
\end{bmatrix}.
\]
容易算出这个方程组的系数矩阵等于 $2$, 因此齐次线性方程组 (\ref{eq:4.2-1}) 的基础解系只有一个线性无关的向量,
不难求出为
\[
\eta_{1}=(-1,1,1)^{T}.
\]

对 $\lambda_{2}=\lambda_{3}=2$, 将 $\lambda=2$ 代入可得齐次方程组:

\[
\begin{bmatrix}1 & 1 & -1\\
-1 & -1 & 1\\
-1 & -1 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\
0\\
0
\end{bmatrix}.
\]
求出这个齐次线性方程组的基础解系为

\[
\eta_{2}=(1,0,1)^{T},\quad\eta_{3}=(0,1,1)^{T}.
\]
因此 $A$ 的相应于特征值 $1$ 的线性无关的特征向量有 $1$ 个, 而相应于特征值 $2$ 的线性无关的特征向量有
$2$ 个, 于是 $A$ 的线性无关的特征向量有 $3$ 个, 正好等于 $A$ 的阶数 $3$.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{求解特征向量问题过程中可能出现的问题}
\begin{example}
设 $\lambda_{1}$ 和 $\lambda_{2}$ 是矩阵 $A$ 的两个不同的特征值, 对应的特征向量依次为 $p_{1}$
和 $p_{2}$, 证明 $p_{1}+p_{2}$ 不是 $A$ 的特征向量.
\end{example}

\begin{proof}
按题设, 有 $Ap_{1}=\lambda_{1}p_{1}$, $Ap_{2}=\lambda_{2}p_{2}$, 故 $A\left(p_{1}+p_{2}\right)=\lambda_{1}p_{1}+\lambda_{2}p_{2}$.

用\textbf{反证法}, 设 $p_{1}+p_{2}$ 是 $A$ 的特征向量, 则应存在数 $\lambda$, 使
\[
A\left(p_{1}+p_{2}\right)=\lambda\left(p_{1}+p_{2}\right),
\]
于是 $\lambda\left(p_{1}+p_{2}\right)=\lambda_{1}p_{1}+\lambda_{2}p_{2}$,
即 $\left(\lambda_{1}-\lambda\right)p_{1}+\left(\lambda_{2}-\lambda\right)p_{2}=0$.

因 $\lambda_{1}\neq\lambda_{2}$, 由本节定理知 $p_{1},p_{2}$ 线性无关, 故由上式得
\[
\lambda_{1}-\lambda=\lambda_{2}-\lambda=0,
\]
即 $\lambda_{1}=\lambda_{2}$, 与题设矛盾. 因此 $p_{1}+p_{2}$ 不是 $A$ 的特征向量.
\end{proof}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{求矩阵的特征值和特征向量}
\begin{example}
求 $n$ 阶数量矩阵 $A=\begin{bmatrix}a & 0 & \cdots & 0\\
0 & a & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & a
\end{bmatrix}$ 的特征值与特征向量.
\end{example}

\begin{sol*}
$|\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda-a & 0 & \cdots & 0\\
0 & \lambda-a & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & \lambda-a
\end{vmatrix}=(\lambda-a)^{n}=0$, 故 $A$ 的特征值为 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=\cdots=\lambda_{n}=a$.

把 $\lambda=a$ 代入 $(\lambda E-A)x=0$ 得 $0\cdot x_{1}=0$, $0\cdot x_{2}=0$,
$\cdots$, $0\cdot x_{n}=0$. 这个方程组的系数矩阵是零矩阵, 所以任意 $n$ 个线性无关的向量都是它的基础解系,
取单位向量组

\[
\varepsilon_{1}=\begin{bmatrix}1\\
0\\
\vdots\\
0
\end{bmatrix},\ \varepsilon_{n}=\begin{bmatrix}0\\
1\\
\vdots\\
0
\end{bmatrix},\ \cdots,\ \varepsilon_{n}=\begin{bmatrix}0\\
0\\
\vdots\\
1
\end{bmatrix}.
\]

作为基础解系, 于是, $A$ 的全部特征向量为

\[
c_{1}\varepsilon_{1}+c_{2}\varepsilon_{2}+\cdots+c_{n}\varepsilon_{n},\quad\left(c_{1},c_{2},\cdots,c_{n}\text{ 不全为零}\right).
\]
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{求上三角矩阵的特征值}
\begin{example}
试求上三角阵 $A$ 的特征值: $A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
0 & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & a_{nn}
\end{bmatrix}$. 
\end{example}

\begin{sol*}
$|\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda-a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1m}\\
0 & \lambda-a_{22} & \cdots & -a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & \lambda-a_{nn}
\end{vmatrix}$, 这是一个上三角行列式, 因此,
\[
|\lambda E-A|=\left(\lambda-a_{11}\right)\left(\lambda-a_{22}\right)\cdots\left(\lambda-a_{nn}\right).
\]
因此 $A$ 的特征值等于 $a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn}$.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{特征值相关反例}
\begin{example}
令 $A=\begin{bmatrix}1 & 1\\
0 & 1
\end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}1 & 2\\
2 & 1
\end{bmatrix}$, 则 $A+B=\begin{bmatrix}2 & 3\\
2 & 2
\end{bmatrix}$, $AB=\begin{bmatrix}3 & 3\\
2 & 1
\end{bmatrix}$, 不难看出 $1$ 是 $A$ 的一个特征值, $-1$ 是 $B$ 的一个特征值, 但 $1+(-1)$ 不是 $A+B$
的特征值, 因为 $A+B$ 的特征值是 $2+\sqrt{6}$, $2-\sqrt{6}$. 又 $AB$ 的特征值是
$2+\sqrt{7}$, $2-\sqrt{7}$. 因此 $1\times(-1)=-1$ 也不是 $AB$ 的特征值.
\end{example}

\end{frame}
%
\begin{frame}{奇异矩阵的特征值}
\begin{example}
试证: $n$ 阶矩阵 $A$ 是奇异矩阵的充分必要条件是 $A$ 有一个特征值为零.
\end{example}

\begin{proof}
必要性: 若 $A$ 是奇异矩阵, 则 $|A|=0$. 于是
\[
|0E-A|=|-A|=(-1)^{n}|A|=0,
\]
即 $0$ 是 $A$ 的一个特征值.

充分性: 设 $A$ 有一个特征值为 $0$, 对应的特征向量为 $p$, 由特征值的定义, 有
\[
Ap=0p=0,\quad(p\neq0),
\]
所以齐次线性方程组 $Ax=0$ 有非零解 $p$. 由此可知 $|A|=0$, 即 $A$ 为奇异矩阵.
\end{proof}
\begin{rem}
此例也可以叙述为: $n$ 阶矩阵 $A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ 它的任一特征值不为零.
\end{rem}

\end{frame}
%
\begin{frame}{矩阵函数的特征值}
\begin{example}
设 $\lambda$ 是方阵 $A$ 的特征值, 证明

(1) $\lambda^{2}$ 是 $A^{2}$ 的特征值; 

(2) 当 $A$ 可逆时, $\frac{1}{\lambda}$ 是 $A^{-1}$ 的特征值.
\end{example}

\begin{proof}
(2) 因 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值, 故有 $p\neq0$ 使 $Ap=\lambda p$, 有 $p=\lambda A^{-1}p$,
因 $p\neq0$, 知 $\lambda\neq0$, 故 $A^{-1}p=\frac{1}{\lambda}p$, 即
$\frac{1}{\lambda}$ 是 $A^{-1}$ 的特征值. 证毕.
\end{proof}
\begin{rem}
易进一步证明: 若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值, 则 $\lambda^{k}$ 是 $A^{k}$ 的特征值,
$\varphi(\lambda)$ 是 $\varphi(A)$ 的特征值, 其中 $\varphi(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_{n}$.
特别地, 设特征多项式 $f(\lambda)=|\lambda E-A|$, 则 $f(\lambda)$ 是 $f(A)$
的特征值, 且
\[
A^{n}-\left(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}\right)A^{n-1}+\cdots+(-1)^{n}|A|E=0.
\]
\end{rem}

\end{frame}
%
\begin{frame}{通过特征值求行列式}
\begin{example}
设 $3$ 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $1,-1,2$, 求 $\left|A^{*}+3A-2E\right|$.
\end{example}

\begin{sol*}
因 $A$ 的特征值全不为 $0$, 知 $A$ 可逆, 故 $A^{*}=|A|A^{-1}$. 而 $|A|=\lambda_{1}\lambda_{2}\lambda_{3}=-2$,
所以
\[
A^{*}+3A-2E=-2A^{-1}+3A-2E.
\]
把上式记作 $\varphi(A)$, 有 $\varphi(\lambda)=-\frac{2}{\lambda}+3\lambda-2$,
故 $\varphi(A)$ 的特征值为
\[
\varphi(1)=-1,\quad\varphi(-1)=-3,\quad\varphi(2)=3.
\]
于是
\[
\left|A^{*}+3A-2E\right|=(-1)\cdot(-3)\cdot3=9.
\]
\end{sol*}
\end{frame}

\subsection{特征值与特征向量的性质}
\begin{frame}[allowframebreaks]{特征值与特征向量的性质}
\begin{prop}
$n$ 阶矩阵 $A$ 与它的转置矩阵 $A^{T}$ 有相同的特征值.
\end{prop}

\begin{thm}[$\triangle\triangle\triangle$]
\label{thm:4.2-1} $n$ 阶矩阵 $A$ 的互不相等的特征值 $\lambda_{1},\cdots,\lambda_{m}$
对应的特征向量 $p_{1},p_{2},\cdots,p_{m}$ 线性无关.
\end{thm}

\begin{rem}
1. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的;

2. 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量;

3. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的, 一个特征值具有的特征向量不唯一; 一个特征向量不能属于不同的特征值.
\end{rem}

\end{frame}
%
\begin{frame}{特征向量相关问题}
\begin{example}
设 $\lambda_{1}$ 和 $\lambda_{2}$ 是矩阵 $A$ 的两个不同的特征值, 对应的特征向量依次为 $p_{1}$
和 $p_{2}$, 证明 $p_{1}+p_{2}$ 不是 $A$ 的特征向量.
\end{example}

\begin{proof}
按题设, 有 $Ap_{1}=\lambda_{1}p_{1}$, $Ap_{2}=\lambda_{2}p_{2}$, 故 $A\left(p_{1}+p_{2}\right)=\lambda_{1}p_{1}+\lambda_{2}p_{2}$.

用\textbf{反证法}, 设 $p_{1}+p_{2}$ 是 $A$ 的特征向量, 则应存在数 $\lambda$, 使
\[
A\left(p_{1}+p_{2}\right)=\lambda\left(p_{1}+p_{2}\right),
\]
于是 $\lambda\left(p_{1}+p_{2}\right)=\lambda_{1}p_{1}+\lambda_{2}p_{2}$,
即 $\left(\lambda_{1}-\lambda\right)p_{1}+\left(\lambda_{2}-\lambda\right)p_{2}=0$.

因 $\lambda_{1}\neq\lambda_{2}$, 由本节定理 \ref{thm:4.2-1} 知 $p_{1},p_{2}$
线性无关, 故由上式得
\[
\lambda_{1}-\lambda=\lambda_{2}-\lambda=0,
\]
即 $\lambda_{1}=\lambda_{2}$, 与题设矛盾. 因此 $p_{1}+p_{2}$ 不是 $A$ 的特征向量.
\end{proof}
\end{frame}
%
\begin{frame}{矩阵的特征方程与迹的概念}
\begin{prop}
设 $A=\left(a_{ij}\right)$ 是 $n$ 阶矩阵, 则
\[
\begin{aligned}f(\lambda) & =|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{cccc}
\lambda-a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n}\\
-a_{21} & \lambda-a_{22} & \cdots & -a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
-a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & \lambda-a_{nn}
\end{array}\right|\\
 & =\lambda^{n}-\left(\sum_{i=1}^{n}a_{ii}\right)\lambda^{n-1}+\cdots+(-1)^{k}S_{k}\lambda^{n-k}+\cdots+(-1)^{n}|A|.
\end{aligned}
\]
其中 $S_{k}$ 是 $A$ 的全体 $k$ 阶主子式的和. 设 $\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}$
是 $A$ 的 $n$ 个特征值, 则由 $n$ 次代数方程的根与系数的关系知, 有

(1) $\lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{n}=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}$;

(2) $\lambda_{1}\lambda_{2}\cdots\lambda_{n}=|A|$. 

其中 $A$ 的全体特征值的和 $a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}$ 称为矩阵 $A$ 的迹, 记为 $\mathrm{tr}(A)$.
\end{prop}

\end{frame}
%
\begin{frame}{正交矩阵的特征值}
\begin{example}[E06]
 正交矩阵的实特征值的绝对值为 $1$.
\end{example}

\begin{proof}
设 $A$ 为正交矩阵, $p$ 是方阵 $A$ 的对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量, 则 $Ap=\lambda p$.
因
\begin{align}
(Ap)^{T}Ap & =p^{T}A^{T}Ap^{T}=p^{T}p=\|p\|^{2},\label{eq:4.2-2}\\
(Ap)^{T}Ap & =(\lambda p)^{T}(\lambda p)=\lambda^{2}p^{T}p=\lambda^{2}\|p\|^{2},\label{eq:4.2-3}
\end{align}
又 $p\neq0$, 所以 $\|p\|>0$, 式 (\ref{eq:4.2-2})-式 (\ref{eq:4.2-3})
得 $\lambda^{2}=1$, 即 $|\lambda|=1$.
\end{proof}
\begin{rem}
$A$ 的特征值 $\lambda$ 是特征方程 $|\lambda E-A|=0$ 的根, 也是 $|A-\lambda E|=0$
的根. $A$ 的对应特征值 $\lambda$ 的特征向量是齐次方程组 $(\lambda E-A)X=0$ 的非零解, 也是
$(A-\lambda E)X=0$ 的非零解.
\end{rem}

\end{frame}
%
\begin{frame}{矩阵特征值的估计}
\begin{prop}
设 $A=\left(a_{ij}\right)$ 是 $n$ 阶矩阵, 如果

\[
\sum_{j=1}^{n}\left|a_{ij}\right|<1,\qquad(i=1,2,\cdots,n)
\]
或

\[
\sum_{i=1}^{n}\left|a_{ij}\right|<1,\qquad(j=1,2,\cdots,n)
\]
有一个成立, 则矩阵 $A$ 的所有特征值 $\lambda_{i}$ 的模小于 1 , 即 $\left|\lambda_{i}\right|<1$,
($i=1,2,\cdots,n$).
\end{prop}

\end{frame}
%

\subsection{作业}
\begin{frame}{作业}
\begin{problem}
求矩阵 $A=\begin{bmatrix}3 & -1\\
-1 & 3
\end{bmatrix}$ 的特征值和特征向量.
\end{problem}

\begin{problem}[$\checkmark$]
\label{prob:4.2-2} 求矩阵 $A=\begin{bmatrix}4 & 6 & 0\\
-3 & -5 & 0\\
-3 & -6 & 1
\end{bmatrix}$ 的特征值与特征向量.
\end{problem}

\end{frame}