\section{相似矩阵}

\subsection{相似矩阵的概念}
\begin{frame}{相似矩阵的概念}
\begin{defn}
设 $A,B$ 都是 $n$ 阶矩阵, 若存在可逆矩阵 $P$, 使
\[
P^{-1}AP=B,
\]
则称 \textbf{$B$ 是 $A$ 的相似矩阵}, 并称\textbf{矩阵 $A$ 与 $B$ 相似}. 记为 $A\sim B$.

对 $A$ 进行运算 $P^{-1}AP$ 称为\textbf{对 $A$ 进行相似变换}, 称\textbf{可逆矩阵 $P$
为相似变换矩阵}.
\end{defn}

\end{frame}
%
\begin{frame}{验证两个矩阵相似}
\begin{example}[能否避免求 $P^{-1}$?]
 设有矩阵 $A=\begin{bmatrix}3 & 1\\
5 & -1
\end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}4 & 0\\
0 & -2
\end{bmatrix}$, 试验证存在可逆矩阵 $P=\begin{bmatrix}1 & 1\\
1 & -5
\end{bmatrix}$, 使得 $A$ 与 $B$ 相似.
\end{example}

\begin{proof}
易见 $P$ 可逆, 且 
\[
P^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{5}{6} & \frac{1}{6}\\
\frac{1}{6} & -\frac{1}{6}
\end{bmatrix},
\]
 由
\[
P^{-1}AP=\begin{bmatrix}\frac{5}{6} & \frac{1}{6}\\
\frac{1}{6} & -\frac{1}{6}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3 & 1\\
5 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 1\\
1 & -5
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4 & 0\\
0 & -2
\end{bmatrix}=B.
\]
故 $A$ 与 $B$ 相似.
\end{proof}
\end{frame}
%
\begin{frame}{验证两个矩阵相似}
\begin{example}[$\triangle\triangle\triangle$]
 \label{exa:4.3-1} $A=\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}1 & 1\\
0 & 1
\end{bmatrix}$.
\end{example}

\begin{sol*}
容易算出 $A$ 与 $B$ 的特征多项式均为 $(\lambda-1)^{2}$. 但可以证明 $A$ 与 $B$ 不相似.
事实上, $A$ 是一个单位阵, 对任意的非奇异阵 $P$ 有
\[
P^{-1}AP=P^{-1}IP=P^{-1}P=I.
\]
因此若 $B$ 与 $A$ 相似, $B$ 也必须是单位阵, 而现在 $B$ 不是单位阵. 所以 $A$ 与 $B$ 不相似.
\end{sol*}
\end{frame}
%

\subsection{相似矩阵的性质}
\begin{frame}{相似矩阵之间的关系}

矩阵的相似关系是一种\textcolor{red}{等价关系}, 满足:

(1) 反身性: 对任意 $n$ 阶矩阵 $A$, 有 $A$ 与 $A$ 相似;

(2) 对称性: 若 $A$ 与 $B$ 相似, 则 $B$ 与 $A$ 相似;

(3) 传递性: 若 $A$ 与 $B$ 相似, 且 $B$ 与 $C$ 相似, 则 $A$ 与 $C$ 相似.

两个常用运算表达式:

(1) $P^{-1}ABP=\left(P^{-1}AP\right)\left(P^{-1}BP\right)$;

(2) $P^{-1}(kA+lB)P=kP^{-1}AP+lP^{-1}BP$, 其中 $k,l$ 为任意实数.
\end{frame}
%
\begin{frame}{相似矩阵的性质}
\begin{thm}
若 $n$ 阶矩阵 $A$ 与 $B$ 相似, 则 $A$ 与 $B$ 的特征多项式相同, 从而 $A$ 与 $B$
的特征值亦相同.
\end{thm}

\begin{rem*}
由例 \ref{exa:4.3-1} 知, 上述定理的逆命题不正确, 也即特征值相同的两个同型矩阵可以不相似.
\end{rem*}
相似矩阵的其它性质:
\begin{enumerate}
\item 相似矩阵的秩相等;
\item 相似矩阵的行列式相等;
\item 相似矩阵具有相同的可逆性, 当它们可逆时, 则它们的逆矩阵也相似.
\end{enumerate}
\end{frame}
%

\subsection{矩阵与对角矩阵相似的条件}
\begin{frame}[allowframebreaks]{矩阵与对角矩阵相似的条件}
\begin{thm}
\label{thm:4.3-2} $n$ 阶矩阵 $A$ 与对角矩阵 $\Lambda=\begin{bmatrix}\lambda_{1}\\
 & \lambda_{2}\\
 &  & \ddots\\
 &  &  & \lambda_{n}
\end{bmatrix}$ 相似的充分必要条件为矩阵 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量.
\end{thm}

\begin{rem}
定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法.
\end{rem}

\begin{cor}
若 $n$ 阶矩阵 $A$ 有 $n$ 个相异的特征值 $\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}$,
则 $A$ 与对角矩阵
\[
\Lambda=\begin{bmatrix}\lambda_{1}\\
 & \lambda_{2}\\
 &  & \ddots\\
 &  &  & \lambda_{n}
\end{bmatrix}
\]
相似.
\end{cor}

对于 $n$ 阶方阵 $A$, 若存在可逆矩阵 $P$, 使 $P^{-1}AP=\Lambda$ 为对角阵, 则称\textbf{方阵
$A$ 可对角化}.
\begin{thm}
$n$ 阶矩阵 $A$ 可对角化的充要条件是对应于 $A$ 的每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数. 即设
$\lambda_{i}$ 是矩阵 $A$ 的 $n_{i}$ 重特征值, 则
\[
A\text{ 与 }\Lambda\text{ 相似 }\Leftrightarrow r\left(A-\lambda_{i}E\right)=n-n_{i},\quad(i=1,2,\cdots,n).
\]
\end{thm}

\end{frame}
%
\begin{frame}{验证矩阵可以对角化}
\begin{example}[E02]
 试对矩阵 $A=\begin{bmatrix}3 & 1\\
5 & -1
\end{bmatrix}$ 验证前述定理 \ref{thm:4.3-2} 的结论.
\end{example}

\begin{sol*}
由本章第 \pageref{exa:4.2-1} 页例 \ref{exa:4.2-1} 知\footnote{第 \pageref{exa:4.2-1} 页例 \ref{exa:4.2-1} 所提供的信息仅仅是: 矩阵 $A=\begin{bmatrix}3 & 1\\
5 & -1
\end{bmatrix}$ 的特征值为 $4$ 和 $-2$, 对应的特征向量分别为 $\begin{bmatrix}1\\
1
\end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix}1\\
-5
\end{bmatrix}$.}, 题设矩阵 $A$ 有两个互不相同的特征值 $\lambda_{1}=4$, $\lambda_{2}=-2$, 其对应特征向量分别为:
\[
p_{1}=\begin{bmatrix}1\\
1
\end{bmatrix},\ p_{2}=\begin{bmatrix}1\\
-5
\end{bmatrix}.
\]

如果取 $\Lambda_{1}=\begin{bmatrix}4 & 0\\
0 & -2
\end{bmatrix}$, $P=\left(p_{1},p_{2}\right)=\begin{bmatrix}1 & 1\\
1 & -5
\end{bmatrix}$, 则有 $P^{-1}AP=\Lambda_{1}$, 即 $A\sim\Lambda_{1}$. 

如果取 $\Lambda_{2}=\begin{bmatrix}-2 & 0\\
0 & 4
\end{bmatrix}$, $P=\left(p_{2},p_{1}\right)=\begin{bmatrix}1 & 1\\
-5 & 1
\end{bmatrix}$, 则亦有 $P^{-1}AP=\Lambda_{2}$, 即 $A$ 与 $\Lambda_{2}$ 相似.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{矩阵特征值有重数的情况}
\begin{example}
试对矩阵 $A=\begin{bmatrix}4 & 6 & 0\\
-3 & -5 & 0\\
-3 & -6 & 1
\end{bmatrix}$ 验证定理 \ref{thm:4.3-2} 的结论.
\end{example}

\begin{sol*}
由上节课堂练习 \ref{prob:4.2-2} 知, 题设矩阵 $A$ 有两个互不相同的特征值 $\lambda_{1}=-2$,
$\lambda_{2}=\lambda_{3}=1$. 其对应特征向量分别为: 
\[
p_{1}=\begin{bmatrix}-1\\
1\\
1
\end{bmatrix},\ p_{2}=\begin{bmatrix}-2\\
1\\
0
\end{bmatrix},\ p_{3}=\begin{bmatrix}0\\
0\\
1
\end{bmatrix}.
\]
容易验证 $p_{1},p_{2},p_{3}$ 线性无关. 若取 
\[
P=\left(p_{1},p_{2},p_{3}\right)=\begin{bmatrix}-1 & -2 & 0\\
1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 1
\end{bmatrix},
\]
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
取 
\[
P=\left(p_{1},p_{2},p_{3}\right)=\begin{bmatrix}-1 & -2 & 0\\
1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 1
\end{bmatrix},
\]
则 
\[
P^{-1}=\begin{bmatrix}1 & 2 & 0\\
-1 & -1 & 0\\
-1 & -2 & 1
\end{bmatrix}\Longrightarrow P^{-1}AP=\begin{bmatrix}-2 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}.
\]
\end{sol*}
\begin{rem*}
本例子说明了 $A$ 的特征值不全互异时, $A$ 也可能化为对角矩阵.
\end{rem*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{矩阵特征值有重数的情况 - 2}
\begin{example}
判断矩阵 $A=\begin{bmatrix}1 & -2 & 2\\
-2 & -2 & 4\\
2 & 4 & -2
\end{bmatrix}$ 能否化为对角阵.
\end{example}

\begin{sol*}
求解特征方程\vspace{-4mm} 
\[
|A-\lambda E|=\begin{vmatrix}1-\lambda & -2 & 2\\
-2 & -2-\lambda & 4\\
2 & 4 & -2-\lambda
\end{vmatrix}=-(\lambda-2)^{2}(\lambda+7)=0\Longrightarrow\lambda_{1}=\lambda_{2}=2,\lambda_{3}=-7.
\]
将 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=2$ 代入 $(A-\lambda E)x=0$, 得方程组

\[
\left\{ \begin{array}{l}
-x_{1}-2x_{2}+2x_{3}=0\\
-2x_{1}-4x_{2}+4x_{3}=0\\
2x_{1}+4x_{2}-4x_{3}=0
\end{array}\Longrightarrow\text{ 基础解系 }p_{1}=\begin{bmatrix}2\\
0\\
1
\end{bmatrix},\ p_{2}=\begin{bmatrix}0\\
1\\
1
\end{bmatrix}\right..
\]
同理, 对 $\lambda_{3}=-7$, 由 $\left(A-\lambda_{3}E\right)x=0\Longrightarrow$
基础解系 $p_{3}=(1,2,-2)^{T}$.

由于 $\begin{vmatrix}2 & 0 & 1\\
0 & 1 & 2\\
1 & 1 & -2
\end{vmatrix}\neq0$, 所以 $p_{1},p_{2},p_{3}$ 线性无关. 即 $A$ 有 $3$ 个线性无关的特征向量, 因而 $A$
可对角化.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{矩阵特征值有重数的情况 - 3}
\begin{example}
设 $A=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1\\
1 & 1 & a\\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}$, 问 $a$ 为何值时, 矩阵 $A$ 能对角化?
\end{example}

\begin{sol*}
求解特征方程 
\[
|\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda & 0 & -1\\
-1 & \lambda-1 & -a\\
-1 & 0 & \lambda
\end{vmatrix}=(\lambda-1)^{2}(\lambda+1)\Longleftrightarrow\lambda_{1}=-1,\ \lambda_{2}=\lambda_{3}=1.
\]

对于单根 $\lambda_{1}=-1$, 可求得线性无关的特征向量恰有 $1$ 个, 而对应重根 $\lambda_{2}=\lambda_{3}=1$,
欲使矩阵 $A$ 能对角化, 应有 $2$ 个线性无关的特征向量, 即方程组 $(E-A)x=0$ 有 $2$ 个线性无关的解,
亦即系数矩阵 $E-A$ 的秩 $r(E-A)=1$, 而

\[
E-A=\begin{bmatrix}1 & 0 & -1\\
-1 & 0 & -a\\
-1 & 0 & 1
\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}1 & 0 & -1\\
0 & 0 & a+1\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix},
\]
要 $r(E-A)=1$, 得 $a+1=0$, 即 $a=-1$. 因此, 当 $a=-1$ 时, 矩阵 $A$ 能对角化.
\end{sol*}
\end{frame}
%

\subsection{作业}
\begin{frame}{作业}
\begin{problem}
判断矩阵 $A=\begin{bmatrix}-2 & 1 & -2\\
-5 & 3 & -3\\
1 & 0 & 2
\end{bmatrix}$ 能否化为对角阵.
\end{problem}

\begin{problem}
判断下列两矩阵 $A,B$ 是否相似.
\[
A=\begin{bmatrix}1 & 1 & \cdots & 1\\
1 & 1 & \cdots & 1\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
1 & 1 & \cdots & 1
\end{bmatrix},\ B=\begin{bmatrix}n & 0 & \cdots & 0\\
1 & 0 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
1 & 0 & \cdots & 0
\end{bmatrix}.
\]
\end{problem}

\end{frame}