\section{实对称矩阵的对角化}
\begin{frame}{引言}

一个 $n$ 阶矩阵 $A$ 具备什么条件才能对角化? 这是一个比较复杂的问题. 本节我们仅对 $A$ 为实对称矩阵的情况进行讨论.
实对称矩阵具有许多一般矩阵所没有的特殊性质.
\end{frame}

\subsection{实对称矩阵的特征值问题}
\begin{frame}{实对称矩阵的特征值问题}
\begin{thm}
实对称矩阵的特征值都为实数.
\end{thm}

\begin{rem}
对实对称矩阵 $A$, 因其特征值 $\lambda_{i}$ 为实数, 故方程组
\[
\left(A-\lambda_{i}E\right)X=0
\]
是实系数方程组, 由 $\left|A-\lambda_{i}E\right|=0$ 知它必有实的基础解系, 所以 $A$ 的特征向量可以取实向量.
\end{rem}

\end{frame}
%
\begin{frame}{实对称矩阵的特征向量}
\begin{thm}
设 $\lambda_{1},\lambda_{2}$ 是对称矩阵 $A$ 的两个特征值, $p_{1},p_{2}$ 是对应的特征向量.
若 $\lambda_{1}\neq\lambda_{2}$, 则 $p_{1}$ 与 $p_{2}$ 正交.
\end{thm}

\begin{thm}
设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵, $\lambda$ 是 $A$ 的特征方程的 $k$ 重根, 则矩阵 $A-\lambda E$
的秩 $r(A-\lambda E)=n-k$, 从而对应特征值 $\lambda$ 恰有 $k$ 个线性无关的特征向量.
\end{thm}

\begin{thm}
设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵, 则必有正交矩阵 $P$,使
\[
P^{-1}AP=\Lambda,
\]
其中 $\Lambda$ 是以 $A$ 的 $n$ 个特征值为对角元素的对角矩阵.
\end{thm}

\end{frame}
%
\begin{frame}{将实对称矩阵对角化的步骤}

与上节\uline{将一般矩阵对角化的方法}类似, 根据上述结论, 可求正交变换矩阵 $P$ 将实对称矩阵 $A$ 对角化的步骤为:

(1) 求出 $A$ 的全部特征值 $\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{s}$;

(2) 对每一个特征值 $\lambda_{i}$, 由 $\left(\lambda_{i}E-A\right)X=0$ 求出基础解系
(特征向量);

(3) 将基础解系 (特征向量) 正交化; 再单位化;

(4) 以这些单位向量作为列向量构成一个正交矩阵 $P$, 使
\[
P^{-1}AP=\Lambda.
\]

\begin{rem}
$P$ 中列向量的次序与矩阵 $\Lambda$ 对角线上的特征值的次序相对应.
\end{rem}

\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{将实对称阵对角化}
\begin{example}[E01]
 设实对称矩阵 $A=\begin{bmatrix}1 & -2 & 0\\
-2 & 2 & -2\\
0 & -2 & 3
\end{bmatrix}$, 求正交矩阵 $P$, 使 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵.
\end{example}

\begin{sol*}
矩阵 $A$ 的特征方程为 
\[
|\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda-1 & 2 & 0\\
2 & \lambda-2 & 2\\
0 & 2 & \lambda-3
\end{vmatrix}=0\Longrightarrow(\lambda+1)(\lambda-2)(\lambda-5)=0\Longrightarrow\lambda_{1}=-1,\ \lambda_{2}=2,\ \lambda_{3}=5.
\]

当 $\lambda_{1}=-1$ 时, 由 $(-E-A)x=0$, 得基础解系 $p_{1}=(2,2,1)^{T}$;

当 $\lambda_{2}=2$ 时, 由 $(2E-A)x=0$, 得基础解系 $p_{2}=(2,-1,-2)^{T}$;

当 $\lambda_{3}=5$ 时, 由 $(5E-A)x=0$, 得基础解系 $p_{3}=(1,-2,2)^{T}$.

不难验证 $p_{1},p_{2},p_{3}$ 是正交向量组, 把 $p_{1},p_{2},p_{3}$ 单位化, 得
\[
\eta_{1}=\frac{p_{1}}{\left\Vert p_{1}\right\Vert }=\begin{bmatrix}2/3\\
2/3\\
1/3
\end{bmatrix},\ \eta_{2}=\frac{p_{2}}{\left\Vert p_{2}\right\Vert }=\begin{bmatrix}2/3\\
-1/3\\
-2/3
\end{bmatrix},\ \eta_{3}=\frac{p_{3}}{\left\Vert p_{3}\right\Vert }=\begin{bmatrix}1/3\\
-2/3\\
2/3
\end{bmatrix}.
\]
令 $P=\left(\eta_{1},\eta_{2},\eta_{3}\right)=\begin{bmatrix}2/3 & 2/3 & 1/3\\
2/3 & -1/3 & -2/3\\
1/3 & -2/3 & 2/3
\end{bmatrix}$, 则 $P^{-1}AP=P^{T}AP=\begin{bmatrix}-1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 5
\end{bmatrix}$.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{将实对称阵对角化}
\begin{example}[E02]
 设有对称矩阵 $A=\begin{bmatrix}4 & 0 & 0\\
0 & 3 & 1\\
0 & 1 & 3
\end{bmatrix}$, 试求出正交矩阵 $P$, 使 $P^{-1}AP$ 为对角阵.
\end{example}

\begin{sol*}
\[
|\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda-4 & 0 & 0\\
0 & \lambda-3 & -1\\
0 & -1 & \lambda-3
\end{vmatrix}=(\lambda-2)(4-\lambda)^{2}\Longrightarrow\lambda_{1}=2,\ \lambda_{2}=\lambda_{3}=4,
\]

对 $\lambda_{1}=2$, 由 $(2E-A)x=0\Longrightarrow$ 基础解系 $p_{1}=\begin{bmatrix}0\\
1\\
-1
\end{bmatrix}$;

对 $\lambda_{2}=\lambda_{3}=4$, 由 $(4E-A)x=0\Longrightarrow$ 基础解系
$p_{2}=\begin{bmatrix}1\\
0\\
0
\end{bmatrix}$, $p_{3}=\begin{bmatrix}0\\
1\\
1
\end{bmatrix}$. $p_{2}$ 与 $p_{3}$ 恰好正交, 所以 $p_{1},p_{2},p_{3}$ 两两正交. 再将 $p_{1},p_{2},p_{3}$
单位化, 令 $\eta_{i}=p_{i}/\left\Vert p_{i}\right\Vert $, ($i=1,2,3$),
得
\[
\eta_{1}=\begin{bmatrix}0\\
1/\sqrt{2}\\
-1/\sqrt{2}
\end{bmatrix},\ \eta_{2}=\begin{bmatrix}1\\
0\\
0
\end{bmatrix},\ \eta_{3}=\begin{bmatrix}0\\
1/\sqrt{2}\\
1/\sqrt{2}
\end{bmatrix},
\]
故所求正交矩阵
\[
P=\left(\eta_{1},\eta_{2},\eta_{3}\right)=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\
1/\sqrt{2} & 0 & 1/\sqrt{2}\\
-1/\sqrt{2} & 0 & 1/\sqrt{2}
\end{bmatrix}\text{ 且 }P^{-1}AP=\begin{bmatrix}2 & 0 & 0\\
0 & 4 & 0\\
0 & 0 & 4
\end{bmatrix}.
\]
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{将实对称矩阵对角化}
\begin{example}
已知 $A=\begin{bmatrix}2 & 0 & 0\\
0 & a & 2\\
0 & 2 & a
\end{bmatrix}$, (其中 $a>0$), 有一特征值为 $1$, 求正交矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵.
\end{example}

\begin{sol*}
$A$ 的特征多项式为
\[
|\lambda E-A|=\begin{vmatrix}\lambda-2 & 0 & 0\\
0 & \lambda-a & -2\\
0 & -2 & \lambda-a
\end{vmatrix}=(\lambda-2)(\lambda-a+2)(\lambda-a-2),
\]
由于 $A$ 有特征值 $1$, 故有两种情形:

若 $a-2=1$, 则 $a=3$; 若 $a+2=1$, 则 $a=-1$. 但 $a>0$, 所以只能是 $a=3$.
从而得 $A$ 的特征值为 $2,1,5$.

对 $\lambda_{1}=2$, 由 $(2E-A)x=0$, 得基础解系 $p_{1}=(1,0,0)^{T}$;

对 $\lambda_{2}=1$, 由 $(E-A)x=0$, 得基础解系 $p_{2}=(0,1,-1)^{T}$;

对 $\lambda_{3}=5$, 由 $(5E-A)x=0$, 得基础解系 $p_{3}=(1,0,0)^{T}$;

因实对称矩阵的\uline{属于不同特征值的特征向量}必相互正交, 故特征向量 $p_{1},p_{2},p_{3}$ 已是正交向量组,
因此只需将其单位化:

\[
\eta_{1}=(1,0,0)^{T};\ \eta_{2}=\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{T};\ \eta_{3}=\left(0,\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{T};
\]
令 $P=\left(\eta_{1},\eta_{2},\eta_{3}\right)=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\
0 & 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2}\\
0 & -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2}
\end{bmatrix}$, 则 $P^{-1}AP=\begin{bmatrix}2 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 5
\end{bmatrix}$.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{求矩阵的幂}
\begin{example}
设 $A=\begin{bmatrix}2 & -1\\
-1 & 2
\end{bmatrix}$, 求 $A^{n}$. 
\end{example}

\begin{sol*}
因 $A$ 对称, 故 $A$ 可对角化, 即有可逆矩阵 $P$ 及对角阵 $\Lambda$, 使 $P^{-1}AP=\Lambda$.
于是
\[
A=P\Lambda P^{-1}\Longrightarrow A^{n}=P\Lambda^{n}P^{-1}.
\]
由 
\[
|A-\lambda E|=\begin{vmatrix}2-\lambda & -1\\
-1 & 2-\lambda
\end{vmatrix}=\lambda^{2}-4\lambda+3=(\lambda-1)(\lambda-3),
\]
得 $A$ 的特征值 $\lambda_{1}=1$, $\lambda_{2}=3$. 于是
\[
\Lambda=\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 3
\end{bmatrix},\ \Lambda^{n}=\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 3^{n}
\end{bmatrix}.
\]

对应 $\lambda_{1}=1$, 由 $(A-E)x=0$, 解得对应特征向量 $P_{1}=\begin{bmatrix}1\\
1
\end{bmatrix}$;

对应 $\lambda_{2}=3$, 由 $(A-3E)x=0$, 解得对应特征向量 $P_{2}=\begin{bmatrix}1\\
-1
\end{bmatrix}$.

令 $P=\left(p_{1},p_{2}\right)=\begin{bmatrix}1 & 1\\
1 & -1
\end{bmatrix}$, 求出 $P^{-1}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1 & 1\\
1 & -1
\end{bmatrix}$. 于是
\[
A^{n}=P\Lambda^{n}P^{-1}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1 & 1\\
1 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 3^{n}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 1\\
1 & -1
\end{bmatrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1+3^{n} & 1-3^{n}\\
1-3^{n} & 1+3^{n}
\end{bmatrix}.
\]
\end{sol*}
\end{frame}

\subsection{作业}
\begin{frame}{作业}
\begin{problem}
设实对称矩阵 $A=\begin{bmatrix}2 & -2 & 0\\
-2 & 1 & -2\\
0 & -2 & 0
\end{bmatrix}$, 试求出正交矩阵 $P$, 使 $P^{-1}AP$ 为对角阵.
\end{problem}

\begin{problem}
设 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 满足 $A^{2}=A$, 且 $A$ 的秩为 $r$, 试求行列式 $\mathrm{det}\left(2E-A\right)$
的值.
\end{problem}

\end{frame}