\section{二次型及其矩阵}

\subsection{二次型的概念}
\begin{frame}{二次型的概念}
\begin{defn}
含有 $n$ 个变量 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ 的二次齐次函数
\[
\begin{aligned}f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right) & =a_{11}x_{1}^{2}+a_{22}x_{2}^{2}+a_{33}x_{3}^{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}^{2}\\
 & \quad+2a_{12}x_{1}x_{2}+2a_{13}x_{1}x_{3}+\cdots+2a_{1n}x_{1}x_{n}\\
 & \quad\enskip\phantom{+2a_{12}x_{1}x_{2}}+2a_{23}x_{2}x_{3}+\cdots+2a_{2n}x_{2}x_{n}\\
 & \quad\enskip\phantom{+2a_{12}x_{1}x_{2}+2a_{13}x_{1}x_{3}}+\cdots+2a_{n-1,n}x_{n-1}x_{n},
\end{aligned}
\]
称为\textbf{二次型}. 当 $a_{ij}$ 为复数时, $f$ 称为\textbf{复二次型}; 当 $a_{ij}$
为实数时, $f$ 称为\textbf{实二次型}. 在本章中只讨论实二次型.

只含有平方项的二次型 $f=k_{1}y_{1}^{2}+k_{2}y_{2}^{2}+\cdots+k_{n}y_{n}^{2}$
称为\textbf{二次型的标准型}(或\textbf{二次型的法式}).
\end{defn}

\end{frame}
%
\begin{frame}{二次型的例子}
\begin{example}
\begin{enumerate}
\item $f(x,y)=x^{2}+3xy+y^{2}$ 是一个含有 $2$ 个变量的实二次型.
\item $f(x,y,z)=3x^{2}+2xy+\sqrt{2}xz-y^{2}-4yz+5z^{2}$ 是一个含有 $3$ 个变量的实二次型.
\item $f\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}$
是一个含有 $4$ 个变量的实二次型.
\item $f\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)=x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}-4x_{1}x_{4}+3x_{2}x_{4}$
是一个含有 $4$ 个变量的实二次型.
\item $f(x,y)=x^{2}+xy-y^{2}+5x+1$ 不是一个实二次型, 因为它含有一次项 $5x$ 及常数项 $1$.
\item $f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=x_{1}^{3}+x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}$
不是一个实二次型, 因为它含有 $3$ 次项 $x_{1}^{3}$.
\item $f(x,y)=x^{2}+iy^{2}$, ($i=\sqrt{-1}$), 不是一个实二次型, 因为 $i$ 是虚数, 但它是一个复二次型.
\end{enumerate}
\end{example}

\end{frame}

\subsection{二次型的矩阵}
\begin{frame}[allowframebreaks]{二次型的矩阵}
\begin{fact*}
取 $a_{ji}=a_{ij}$, 则 $2a_{ij}x_{i}x_{j}=a_{ij}x_{i}x_{j}+a_{ji}x_{j}x_{i}$,
于是

\[
\begin{aligned}f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right) & =a_{11}x_{1}^{2}+a_{12}x_{1}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{1}x_{n}\\
 & \quad+a_{21}x_{2}x_{1}+a_{22}x_{2}^{2}+\cdots+a_{2n}x_{2}x_{n}\\
 & \quad+\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots+\\
 & \quad+a_{n1}x_{n}x_{1}+a_{n2}x_{n}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}^{2}\\
 & =\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}.
\end{aligned}
\]
\end{fact*}
%
\begin{fact*}
仍旧取$a_{ji}=a_{ij}$, 但对上面的函数采取矩阵运算的语言来表达如下
\[
\begin{aligned}f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right) & =x_{1}\left(a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}\right)\\
 & \quad+x_{2}\left(a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}\right)\\
 & \quad+\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots+\\
 & \quad+x_{n}\left(a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}\right)\\
 & =\begin{bmatrix}x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}\\
a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}\\
\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\
a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}
\end{bmatrix}\\
 & =\begin{bmatrix}x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
\vdots\\
x_{n}
\end{bmatrix}\\
 & =X^{T}AX,
\end{aligned}
\]
\end{fact*}
\begin{defn}
简而言之, 二次型
\begin{align*}
f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right) & =\begin{bmatrix}x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
\vdots\\
x_{n}
\end{bmatrix}=X^{T}AX,
\end{align*}
其中 
\[
X=\begin{bmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
\vdots\\
x_{n}
\end{bmatrix},\quad A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{bmatrix}.
\]
称 \textbf{\textcolor{red}{$f(x)=X^{T}AX$ 为二次型的矩阵形式}}, 其中\textbf{\textcolor{red}{实对称矩阵
$A$ 称为该二次型的矩阵}}, \textbf{\textcolor{red}{二次型 $f$ 称为实对称矩阵 $A$ 的二次型}},
\textbf{\textcolor{red}{实对称矩阵 $A$ 的秩称为二次型的秩}}. 于是, 二次型 $f$ 与其实对称矩阵
$A$ 之间有一一对应关系.
\end{defn}

\end{frame}
%
\begin{frame}[allowframebreaks]{给出二次型的矩阵}
\begin{example}
写出下列是二次型相应的对称阵.

(1) $f(x,y)=x^{2}+3xy+y^{2}=x^{2}+\frac{3}{2}xy+\frac{3}{2}xy+y^{2}$,
其矩阵为\vspace{-3mm}
\[
\begin{bmatrix}1 & 3/2\\
3/2 & 1
\end{bmatrix}.
\]

(2) $f(x,y,z)=3x^{2}+2xy+\sqrt{2}xz-y^{2}-4yz+5z^{2}=3x^{2}+xy+\frac{\sqrt{2}}{2}xz+xy-y^{2}-2xy+\frac{\sqrt{2}}{2}xz-2yz+5z^{2}$,
其相应的实对称阵为\vspace{-3mm} 
\[
\begin{bmatrix}3 & 1 & \sqrt{2}/2\\
1 & -1 & -2\\
\sqrt{2}/2 & -2 & 5
\end{bmatrix}.
\]

(3) $f\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}$,
相应的实对称阵是一个对角阵:\vspace{-3mm}
\[
\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1
\end{bmatrix}.
\]
\end{example}

\begin{example}
(4) $f\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)=x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}-4x_{1}x_{4}+3x_{2}x_{4}$
相应的对称阵为\vspace{-3mm}
\[
\begin{bmatrix}0 & 1/2 & 1 & -2\\
1/2 & 0 & 0 & 3/2\\
1 & 0 & 0 & 0\\
-2 & 3/2 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
\]
\end{example}

\end{frame}
%
\begin{frame}{给出实对称阵对应的二次型}
\begin{example}
设有实对称矩阵 $A=\begin{bmatrix}-1 & 1 & 0\\
1 & 0 & -1/2\\
0 & -1/2 & \sqrt{2}
\end{bmatrix}$, 求 $A$ 对应的实二次型.
\end{example}

\begin{sol*}
由 $A$ 是三阶阵, 故有 $3$ 个变量, 则实二次型为
\[
f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=\begin{bmatrix}x_{1} & x_{2} & x_{3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1 & 1 & 0\\
1 & 0 & -1/2\\
0 & -1/2 & \sqrt{2}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}
\end{bmatrix}=-x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}-x_{2}x_{3}+\sqrt{2}x_{3}^{2}.
\]
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{实对称阵与二次型的相互表示}
\begin{example}[E01]
 二次型 $x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+2x_{2}^{2}-3x_{2}x_{3}$ 的矩阵
\[
A=\begin{bmatrix}0 & 1/2 & 1/2\\
1/2 & 2 & -3/2\\
1/2 & -3/2 & 0
\end{bmatrix}.
\]
反之, 对称矩阵 $A=\begin{bmatrix}0 & 1/2 & 1/2\\
1/2 & 2 & -3/2\\
1/2 & -3/2 & 0
\end{bmatrix}$ 所对应的二次型是
\[
x^{T}Ax=\begin{bmatrix}x_{1} & x_{2} & x_{3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 1/2 & 1/2\\
1/2 & 2 & -3/2\\
1/2 & -3/2 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}
\end{bmatrix}=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+2x_{2}^{2}-3x_{2}x_{3}.
\]
\end{example}

\end{frame}
%
\begin{frame}{求二次型的秩}
\begin{example}[E02]
 求二次型 $f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=x_{1}^{2}-4x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}-2x_{2}^{2}+6x_{3}^{2}$
的秩.
\end{example}

\begin{sol*}
先求二次型的矩阵,
\[
f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}-2x_{2}x_{1}-2x_{2}^{2}+0x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}+0x_{3}x_{2}+6x_{3}^{2}.
\]
所以 $A=\begin{bmatrix}1 & -2 & 1\\
-2 & -2 & 0\\
1 & 0 & 6
\end{bmatrix}$, 对 $A$ 作初等变换
\[
A\longrightarrow\begin{bmatrix}1 & -2 & 1\\
0 & -6 & 2\\
0 & 2 & 5
\end{bmatrix}\longrightarrow\begin{bmatrix}1 & -2 & 1\\
0 & 2 & 5\\
0 & 0 & 17
\end{bmatrix},
\]
即 $r(A)=3$, 所以二次型的秩为 $3$.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{矩阵的合同}
\begin{defn}
设 $A,B$ 为两个 $n$ 阶矩阵, 如果存在 $n$ 阶非奇异矩阵 $C$, 使得 $C^{T}AC=B$, 则称\textbf{矩阵
$A$ 合同于矩阵 $B$}, 或 \textbf{$A$ 与 $B$ 合同}, 记为 \textcolor{red}{$A\cong B$}.
\end{defn}

易见, 二次型 $f\left(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\right)=X^{T}AX$ 的矩阵 $A$
与经过非退化线性变换 $X=CY$ 得到的二次型的矩阵 $B=C^{T}AC$ 是合同的.
\begin{fact*}
矩阵的合同关系基本性质:

(1) 反身性: 对任意方阵 $A$, $A\cong A$; (因为 $E^{T}AE=A$);

(2) 对称性: 若 $A\cong B$, 则 $B\cong A$;

(3) 传递性 若 $A\cong B$, $B\cong C$, 则 $A\cong C$.
\end{fact*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{对二次型做线性变换后的新二次型}
\begin{example}
设二次型 $f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=2x_{1}x_{2}-4x_{1}x_{3}+10x_{2}x_{3}$,
且
\begin{equation}
\begin{cases}
x_{1}=y_{1}-y_{2}-5y_{3},\\
x_{2}=y_{1}+y_{2}+2y_{3},\\
x_{3}=y_{3}.
\end{cases}\label{eq:5.1-1}
\end{equation}
求经过上述线性变换后新的二次型.
\end{example}

\begin{sol*}
因 $f\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$ 对应的矩阵为 $A=\begin{bmatrix}0 & 1 & -2\\
1 & 0 & 5\\
-2 & 5 & 0
\end{bmatrix}$. 而变换 (\ref{eq:5.1-1}) 所决定的变换矩阵 $C=\begin{bmatrix}1 & -1 & -5\\
1 & 1 & 2\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$,
\[
C^{T}AC=\begin{bmatrix}1 & 1 & 0\\
-1 & 1 & 0\\
-5 & 2 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 1 & -2\\
1 & 0 & 5\\
-2 & 5 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & -1 & -5\\
1 & 1 & 2\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 & 0 & 0\\
0 & -2 & 0\\
0 & 0 & 20
\end{bmatrix}.
\]
于是新的二次型为 $2y_{1}^{2}-2y_{2}^{2}+20y_{3}^{2}$.
\end{sol*}
\end{frame}