\section{离散动态系统模型}
\begin{frame}{引言}

要理解并预测由差分方程 $x_{n+1}=Ax_{n}$ 所描述的动态系统的长期行为或演化, 关键在于掌握矩阵 $A$ 的特征值与特征向量.
在本节中, 我们将通过应用实例来介绍矩阵对角化在离散动态系统模型中的应用. 这些应用实例主要针对生态问题,是因为相对于物理问题或工程问题,它们更容易说明和解释,但实际上动态系统在许多科学领域中都会出现.
\end{frame}

\subsection{区域人口迁移预测问题}
\begin{frame}[allowframebreaks]{区域人口迁移预测问题}

设定一个初始的年份, 比如说 2008 年, 用 $r_{0},s_{0}$ 分别表示这一年城市和农村的人口. 设 $x_{0}$
为初始人口向量, 即 $\boldsymbol{x}_{0}=\begin{bmatrix}r_{0}\\
s_{0}
\end{bmatrix}$, 对 2009 年以及后面的年份, 我们用向量 
\[
\boldsymbol{x}_{1}=\begin{bmatrix}r_{1}\\
s_{1}
\end{bmatrix},\quad\boldsymbol{x}_{2}=\begin{bmatrix}r_{2}\\
s_{2}
\end{bmatrix},\quad\boldsymbol{x}_{3}=\begin{bmatrix}r_{3}\\
s_{3}
\end{bmatrix},\cdots
\]

表示每一年城市和农村的人口. 我们的目标是\textbf{用数学公式表示出这些向量之间的关系}.

\newpage

假设每年大约有 $5\%$ 的城市人口迁移到农村 ($95\%$ 仍然留在城市), 有 $12\%$ 的农村人口迁移到城市 ($88\%$
仍然留在农村), 如图所示,

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[shorten >=1pt,node distance=2cm,on grid,auto]
			\node[state] (ct) {城市};
			\node[state,accepting] (cnt) [right=of ct] {农村};
			\path[->] (ct) edge [loop left]  node {0.95} ()
							edge [bend left]  node [swap] {0.05} (cnt)
			 		(cnt) edge [loop right] node {0.88} ()
							edge [bend left]  node {0.12} (ct);
\end{tikzpicture}
\end{center}

忽略其他因素对人口规模的影响, 则一年之后, 城市与农村人口的分布分别为

$$
r_0\begin{bNiceMatrix}[last-col]
0.95 & \text{留在城市}\\
0.05 & \text{移居农村}
\end{bNiceMatrix}\ ,\quad
s_0\begin{bNiceMatrix}[last-col]
0.12 & \text{移居城市}\\
0.88 & \text{留在农村}
\end{bNiceMatrix}
$$

因此, 2009 年全部人口的分布为
\[
\begin{bmatrix}r_{1}\\
s_{1}
\end{bmatrix}=r_{0}\begin{bmatrix}0.95\\
0.05
\end{bmatrix}+s_{0}\begin{bmatrix}0.12\\
0.88
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0.95 & 0.12\\
0.05 & 0.88
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}r_{0}\\
s_{0}
\end{bmatrix},
\]
即
\[
\boldsymbol{x}_{1}=\boldsymbol{M}\boldsymbol{x}_{0},
\]
其中 $\boldsymbol{M}=\begin{bmatrix}0.95 & 0.12\\
0.05 & 0.88
\end{bmatrix}$ 称为\textbf{迁移矩阵}. 如果人口迁移的百分比保持不变, 则可以继续得到 2010 年, 2011 年, $\cdots$
的人口分布公式: 
\[
\boldsymbol{x}_{2}=\boldsymbol{M}\boldsymbol{x}_{1},\ \boldsymbol{x}_{3}=\boldsymbol{M}\boldsymbol{x}_{2},\cdots,
\]
一般地, 有 
\[
\boldsymbol{x}_{n+1}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_{n},\quad(n=0,1,2,\cdots).
\]

这里, 向量序列 $\left\{ x_{0},x_{1},x_{2},\cdots\right\} $ 描述了城市与农村人口在若干年内的分布变化. 
\begin{example}
已知某城市 $2002$ 年的城市人口为 $5000000$, 农村人口为 $7800000$, 忽略其它因素对人口规模的影响,
计算 $2022$ 年的人口分布.
\end{example}

\begin{sol*}
迁移矩阵 $\boldsymbol{M}=\begin{bmatrix}0.95 & 0.12\\
0.05 & 0.88
\end{bmatrix}$ 的全部特征值是 $\lambda_{1}=1$, $\lambda_{2}=0.83$, 其对应的特征向量分别是
\[
p_{1}=\begin{bmatrix}2.4\\
1
\end{bmatrix},\ p_{2}=\begin{bmatrix}1\\
-1
\end{bmatrix}.
\]
因为 $\lambda_{1}\neq\lambda_{2}$, 故 $\boldsymbol{M}$ 可对角化.

令 $P=\left(p_{1},p_{2}\right)=\begin{bmatrix}2.4 & 1\\
1 & -1
\end{bmatrix}$, 有 $P^{-1}\boldsymbol{M}P=\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 0.83
\end{bmatrix}$, 则 $\boldsymbol{M}=P\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 0.83
\end{bmatrix}P^{-1}\eqqcolon P\Lambda P^{-1}$.

因 $2002$ 年的初始人口为 $x_{0}=\begin{bmatrix}5000000\\
7800000
\end{bmatrix}$, 故对 $2022$ 年, 有

\[
\begin{aligned}x_{20} & =Mx_{19}=\cdots=M^{20}x_{0}=P\Lambda^{20}P^{-1}x_{0}\\
 & =\begin{bmatrix}2.4 & 1\\
1 & -1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 0.83^{20}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2.4 & 1\\
1 & -1
\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}5000000\\
7800000
\end{bmatrix}\approx\begin{bmatrix}8938145\\
3861855
\end{bmatrix}.
\end{aligned}
\]
即 $2022$ 年中国的城市人口约为 $8938145$, 农村人口为 $3861855$.
\end{sol*}
\end{frame}

\subsection{捕食者与被捕食者系统}

\begin{frame}[allowframebreaks]{捕食者与被捕食者系统}
\begin{example}
某森林中, 猫头鹰以鼠为食. 记猫头鹰和鼠在时间 $n$ 的数量为 $X_{n}=\begin{bmatrix}O_{n}\\
M_{n}
\end{bmatrix}$, 其中 $n$ 是以月份为单位的时间指标, $O_{n}$ 是研究区域中的猫头鹰, $M_{n}$ 是鼠的数量 (单位: 千).
假定生态学家已建立了猫头鹰与鼠的自然系统模型:

\begin{equation}
\begin{cases}
O_{n+1}=0.4O_{n}+0.3M_{n},\\
M_{n+1}=-pO_{n}+1.2M_{n},
\end{cases}\label{eq:4.5-1}
\end{equation}
其中 $p$ 是一个待定的正参数. 第一个方程中的 $0.4O_{n}$ 表明, 如果没有鼠做食物, 每个月只有 $40\%$
的猫头鹰可以存活, 第二个方程中的 $1.2M_{n}$ 表明, 如果没有猫头鹰捕食, 鼠的数量每个月会增加 $20\%$. 如果鼠充足,
猫头鹰的数量将会增加 $0.3M_{n}$, 负项 $-pO_{n}$ 用以表示猫头鹰的捕食所导致野鼠的死亡数 (事实上, 平均每个月一只猫头鹰吃掉约
$1000p$ 只鼠). 当捕食参数 $p=0.325$ 时, 则两个种群都会增长, 估计这个长期增长率及猫头鹰与鼠的最终比值.
\end{example}

\begin{sol*}
当 $p=0.325$ 时, (\ref{eq:4.5-1}) 的系数矩阵 $A=\begin{bmatrix}0.4 & 0.3\\
-0.325 & 1.2
\end{bmatrix}$, 求得 $A$ 的全部特征值 $\lambda_{1}=0.55$, $\lambda_{2}=1.05$, 其对应的特征向量分别是
$p_{1}=\begin{bmatrix}2\\
1
\end{bmatrix}$, $p_{2}=\begin{bmatrix}6\\
13
\end{bmatrix}$.

初始向量 $x_{0}=c_{1}p_{1}+c_{2}p_{2}$. 令 $P=\left(p_{1},p_{2}\right)=\begin{bmatrix}2 & 6\\
1 & 13
\end{bmatrix}$, 当 $n\geq0$ 时, 则\footnote{\vspace{-4mm}{\scriptsize{
\begin{align*}
\begin{bmatrix}2 & 6\\
1 & 13
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0.55^{n} & 0\\
0 & 1.05^{n}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & 6\\
1 & 13
\end{bmatrix}^{-1}x_{0} & =\begin{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\
1
\end{bmatrix} & \begin{bmatrix}6\\
13
\end{bmatrix}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0.55^{n} & 0\\
0 & 1.05^{n}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & 6\\
1 & 13
\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}p_{1} & p_{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_{1}\\
c_{2}
\end{bmatrix}\\
 & =\begin{bmatrix}p_{1} & p_{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0.55^{n} & 0\\
0 & 1.05^{n}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_{1}\\
c_{2}
\end{bmatrix}\\
 & =\begin{bmatrix}p_{1} & p_{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0.55^{n}c_{1}\\
1.05^{n}c_{2}
\end{bmatrix}=0.55^{n}c_{1}p_{1}+1.05^{n}c_{2}p_{2}.
\end{align*}
}}}\vspace{-4mm}
\[
x_{n}=PA^{n}P^{-1}x_{0}=\begin{bmatrix}2 & 6\\
1 & 13
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0.55^{n} & 0\\
0 & 1.05^{n}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & 6\\
1 & 13
\end{bmatrix}^{-1}x_{0}=0.55^{n}c_{1}\begin{bmatrix}2\\
1
\end{bmatrix}+1.05^{n}c_{2}\begin{bmatrix}6\\
13
\end{bmatrix}.
\]
\end{sol*}
%
\begin{sol*}
假定 $c_{2}>0$, 则对总够大的 $n$, $0.55^{n}$ 趋于 $0$, 进而\vspace{-4mm}
\begin{equation}
x_{n}\approx c_{2}1.05^{n}\begin{bmatrix}6\\
13
\end{bmatrix},\label{eq:4.5-2}
\end{equation}
$n$ 越大 (\ref{eq:4.5-2}) 式的近似程度越高, 故对于充分大的 $n$, \vspace{-4mm}
\begin{equation}
x_{n+1}\approx c_{2}1.05^{n+1}\begin{bmatrix}6\\
13
\end{bmatrix}=1.05x_{n},\label{eq:4.5-3}
\end{equation}
(\ref{eq:4.5-3}) 式的近似表明, 最后 $x_{n}$ 的每个元素 (猫头鹰和鼠的数量) 几乎每个月都近似地增长了
$0.05$ 倍, 即有 $5\%$ 的月增长率. 由 (\ref{eq:4.5-2}) 式知, $x_{n}$ 约为 $(6,13)^{T}$
的倍数, 所以 $x_{n}$ 中元素的比值约为 $6:13$, 即每 $6$ 只猫头鹰对应着约 $13000$ 只鼠.
\end{sol*}
\end{frame}
%
\begin{frame}{作业}
\begin{problem}
设 $A=\begin{bmatrix}0.5 & 0.2 & 0.3\\
0.3 & 0.8 & 0.3\\
0.2 & 0 & 0.4
\end{bmatrix}$, $x_{0}=\begin{bmatrix}1\\
0\\
0
\end{bmatrix}$, 考虑一个由 $x_{n+1}=Ax_{n}$, $n=1,2,3,\cdots$ 描述的系统. 随时间的变化, 这个系统将如何变化?
通过计算状态向量 $x_{1},\cdots,x_{15}$ 来求解.
\end{problem}

\end{frame}