Вероятность успеха на повторном экзамене

Мы прошли через повторный экзамен, и теперь мы попробуем использовать математический метод для расчёта вашей вероятности успеха.

Вероятность

Например, если было набрано 12 человек из общего числа кандидатов в 20 человек, то существует $C_{20}^{12}$ возможных комбинаций. Если вы были выбраны специально, то остаётся только $C_{19}^{11}$ возможных комбинаций для остальных кандидатов.

Таким образом, ваша вероятность успеха составляет:

$\frac{C_{19}^{11}}{C_{20}^{12}}=\frac{19\times18\times...\times11}{20\times19\times...\times12}=\frac{11}{20}=55%$.

Однако это не совсем верно, поскольку выбор не является случайным, а зависит от результатов первого экзамена.

Анализ повторного экзамена

Доля участия

Если результат первого экзамена составляет 350 баллов (если это экзамен по управлению, пожалуйста, измените значение), а доля участия в повторном экзамене составляет 50%, например, результат повторного экзамена равен 75 баллам, тогда:

$50\times\frac{350}{500} + 50\times\frac{75}{100} = 72.5$.

Возможно, в некоторых школах доля участия в повторном экзамене отличается, поэтому необходимо скорректировать соответствующие параметры.

Распределение баллов

Баллы за повторный экзамен обычно находятся в диапазоне от 60 до 100, и очень редко они ниже 60. Однако большинство баллов должно быть в среднем диапазоне от 70 до 80, а баллы выше 90 встречаются довольно редко.

Поэтому график распределения баллов должен представлять собой функцию, которая имеет асимметричное распределение с пиком в середине.

f(x) = x^3^

Это гарантирует, что среднее распределение значений x будет приводить к асимметричному распределению значений y с меньшим количеством положительных и отрицательных экстремумов.

Нам нужно преобразовать эту функцию так, чтобы она представляла собой распределение от 0 до 1 для удобства использования random для генерации случайных чисел.

f(x) = (2x - 1)^3^

Теперь мы можем определить функцию, которая будет давать нам баллы в диапазоне от 60 до 100:

f(x) = 20(2x - 1)^3^ + 60

Из графика видно, что значения ниже 70 встречаются редко, а значения выше 90 также редки.

Если вы считаете, что распределение всё ещё слишком широкое, можно увеличить степень функции. Например:

f(x) = 20(2x - 1)^9^ + 60

Можно увидеть, что фиолетовая линия представляет собой более узкое распределение по сравнению с красной линией.

Мы создадим функцию, которая принимает в качестве входных данных результаты первого экзамена и генерирует случайные баллы за повторный экзамен.

import random
def total(score):
    x = random.random()
    y = ((x*2 - 1) ** 3)*20 + 80
    return 50 * (score/500) + 50 * (y/100)

Давайте попробуем применить эту функцию к результату первого экзамена в 350 баллов.

total(350)

Повторим несколько раз, чтобы увидеть результаты:

74.99852414320696
81.45032134393863
73.09044610824242
83.15058028025783
75.82464128224818
69.43091475827083
74.4028400901793

Разброс результатов всё ещё довольно большой.

Статистическая проверка случайности

Вернёмся к исходным условиям:

1. Набрано 12 кандидатов из 20.
2. Вы заняли 14-е место.
3. Ваш результат первого экзамена составил 350 баллов.
4. Это означает, что вам нужно получить балл выше 12-го места после повторного экзамена, чтобы пройти отбор.

Проведём симуляцию, чтобы оценить вероятность этого события.

Симуляция играет важную роль в области искусственного интеллекта, особенно в методах Монте-Карло.

Класс

import pandas as pd
class Aggregate:
    def __init__(self):
        pass
    def preliminary(self, xls, id, rank):
        """
        Первичный экзамен
        xls — таблица результатов
        id — идентификатор кандидата
        rank — позиция отбора
        """
        self.df = pd.read_excel(xls)
        self.id = id
        self.rank = rank
    def reexam(self, seed=1):
        """
        Моделирование результата повторного экзамена
        """
        random.seed(seed)
        self.df['Повторный экзамен'] = self.df['Баллы'].map(lambda x:((random.random()*2 - 1) ** 3)*20 + 80)
        self.df['Общий балл'] = 50 * (self.df['Баллы']/500) + 50 * (self.df['Повторный экзамен']/100)
        self.df = self.df.sort_values(by="Общий балл", ascending=False)
        return self.df
    def sim(self):
        """
        Симуляция
        """
        enroll = 0
        times = 500 # Симуляция 500 раз
        for n in range(1, times):
            df = self.reexam(n)
            target = df[df['Идентификатор'] == self.id]
            rank = df[df['Общий балл'] > target['Общий балл'].values[0]]
            if rank.count()[0] <= 12:
                enroll += 1
        return enroll / times

После создания класса Aggregate мы загрузим таблицу результатов предварительного экзамена, установим ваш идентификатор как 10014 и общее количество отобранных кандидатов как 12.

agg = Aggregate()
agg.preliminary('./preliminary.xlsx', 10014, 12)
agg.df

Затем мы можем посмотреть на данные:

Теперь давайте посмотрим на результаты симуляции:

agg.sim()

Результат составляет 0,524, что означает, что ваша вероятность прохождения составляет 52,4%.

Вероятность прохождения для первого кандидата

agg = Aggregate()
agg.preliminary('./preliminary.xlsx', 10001, 12)
agg.sim()

Вероятность прохождения составляет 89,6%.

Вероятность прохождения для последнего кандидата

agg = Aggregate()
agg.preliminary('./preliminary.xlsx', 10020, 12)
agg.sim()

Вероятность прохождения составляет 42,4%.

Заключение

1. Если вы отстаёте от двух кандидатов, у вас есть только половина шансов на прохождение.
2. Даже первый кандидат не имеет 100% шансов на успех, а только 9 из 10 шансов.
3. Последний кандидат также может успешно пройти повторную аттестацию.