Слияние кода завершено, страница обновится автоматически
1. Выбор ответа (в этом разделе 6 вопросов, каждый вопрос 4 балла, всего 24 балла)
Следующие вычисления верны ( ):
A. ((-2a)^3 = -8a^3)
B. (a^5 \div a^2 = a^3)
C. (\sqrt{9} = 3)
D. ((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2)
Для функции (y = \frac{\sqrt{x-1}}{x-3}) область значений переменной (x) ( ):
A. (x \geq 1) и (x \neq 3)
B. (x > 1) и (x \neq 3)
C. (x \geq 1)
D. (x > 1)
На рисунке показан параллелограмм (ABCD), (E) — середина (BC), (AE) пересекает (BD) в точке (F), тогда (\frac{BF}{FD} =) ( )
A. (1:2)
B. (2:3)
C. (1:3)
D. (3:4)
(Рисунок: параллелограмм ABCD, диагональ BD, E — середина BC)
Для набора данных: 5, 7, 8, (x), 10, мода равна 8, а медиана также равна 8, тогда значение (x) ( )
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
Для квадратичной функции (y = ax^2 + bx + c) график показан на рисунке, следующие утверждения верны ( )
A. (a > 0, b > 0, c < 0)
B. (a > 0, b < 0, c < 0)
C. (a < 0, b < 0, c > 0)
D. (a < 0, b > 0, c > 0)
(Рисунок: парабола, направленная вниз, вершина в первой четверти, пересекает положительную часть оси y)
Для окружности (\odot O) с радиусом 5, хорда (AB = 8), (C) — середина (AB), тогда длина (OC) ( )
A. 3
B. (2\sqrt{3})
C. (\sqrt{17})
D. (3\sqrt{2})
**2. Заполнение пропусков (в этом разделе 12 вопросов, каждый вопрос 4 балла, всего 48 баллов)**7. Вычислите: (-1^{2025} + \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = \underline{\qquad}).
Разложите на множители: (x^3 - 6x^2 + 9x = \underline{\qquad}).
Решите систему неравенств (\begin{cases} 2x - 1 \leq 3 \ x + 2 > 0 \end{cases}), целочисленные решения ( ).
Решите уравнение (\sqrt{x+2} = x), решение ( ).
Для обратной пропорциональной функции (y = \frac{k}{x}), график проходит через точку ((-2, 3)), тогда (k = \underline{\qquad}).
Для параболы (y = 2x^2 - 4x + 1), если её сдвинуть на 2 единицы вправо и на 1 единицу вверх, то координаты вершины новой параболы ( ).
В треугольнике (ABC), (\angle C = 90^\circ), (\tan A = \frac{3}{4}), (AB = 10), тогда (BC = \underline{\qquad}).
У многоугольника сумма внутренних углов равна (1440^\circ), тогда один из его внешних углов равен (\underline{\qquad}) градусов.
На четырёх одинаковых карточках, обратные стороны которых одинаковы, записаны числа (-2, -1, 1, 2). Случайным образом выбирают одну карточку, возвращают её и снова случайным образом выбирают одну карточку. Вероятность того, что сумма выбранных чисел будет равна 0, составляет (\underline{\qquad}).
На рисунке, в треугольнике (ABC), точки (D) и (E) лежат на сторонах (AB) и (AC) соответственно, и (DE \parallel BC). Если (S_{\triangle ADE} = 4), (S_{четырехугольника DBCE} = 21), тогда (\frac{AD}{DB} = \underline{\qquad}).
В сетке из квадратов со стороной 1, где сторона большого квадрата равна 4, вершины треугольника (ABC) лежат на узлах сетки. Тогда (\cos \angle BAC = \underline{\qquad}).18. Определим новую операцию: (a \otimes b = a^2 - ab + b^2). Если (x \otimes 2 = 7), тогда (x = \underline{\qquad}).
Третье задание. Задачи на решение (в этом задании 7 задач, всего 78 баллов)
(Это задание оценивается в 10 баллов)
Вычислите: (\left| -3 \right| + \left( \pi - 3 \right)^0 - \sqrt{12} \times \sqrt{3} + \left( \frac{1}{3} \right)^{-1}).
(Это задание оценивается в 10 баллов)
Решите уравнение: (\frac{2}{x-2} + \frac{1}{x} = \frac{3}{x^2 - 2x}).
(Это задание оценивается в 10 баллов, первая часть 5 баллов, вторая часть 5 баллов)
На рисунке, в треугольнике (ABC), (\angle B = 90^\circ), (AB = 6), (BC = 8), точка (D) лежит на стороне (AC), и (CD = 3AD).
(1) Найдите длину (AC);
(2) Найдите значение (\tan \angle CDB).
(Рисунок: прямоугольный треугольник ABC, прямой угол в B, D на гипотенузе AC)
(Это задание оценивается в 10 баллов)
Для повышения эффективности компания по доставке ввела роботов для сортировки. Записи тестирования представлены ниже:
| Число тестов (n) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Время (t) (минут) | 50 | 48 | 46.5 | 45.2 | 44.1 |
(1) Определите, удовлетворяет ли (t) и (n) линейному соотношению, и объясните почему;
(2) Если они удовлетворяют квадратичному соотношению (t = an^2 + bn + c), найдите формулу и предсказание времени сортировки для 10-го теста.23. (Это задание оценивается в 12 баллов: первая часть 6 баллов, вторая часть 6 баллов)
На рисунке, в треугольнике (ABC), (AB = AC), (\odot O) — описанная окружность, (D) лежит на продолжении стороны (BC), (AD) — касательная к (\odot O). (1) Докажите, что (\angle D = \angle ABC);
(2) Если (AB = 10), (BC = 12), найдите длину (AD).
(Рисунок: равнобедренный треугольник ABC, описанная окружность ⊙O, касательная AD)
(В этом задании 12 баллов: 4 балла за (1), 4 балла за (2), 4 балла за (3))
Парабола (y = ax^2 + bx + 3) проходит через точки (A(-1, 0)) и (B(3, 0)), вершина параболы — точка (C).
(1) Найдите уравнение параболы;
(2) Точка (P(m, n)) лежит на параболе, и (S_{\triangle PAB} = 6), найдите координаты точки (P);
(3) Сдвиньте параболу так, чтобы новая вершина (D) лежала на прямой (y = 2x - 1) и проходила через точку (B(3, 0)), найдите новое уравнение параболы.
(В этом задании 14 баллов: 4 балла за (1), 5 баллов за (2), 5 баллов за (3))
В прямоугольнике (ABCD) (AB = 6), (BC = 8), точка (P) движется от (A) к (D) со скоростью 1 единица/с, точка (Q) движется от (C) к (B) со скоростью 2 единицы/с, до (D) включительно.
(1) При каком значении (t) четырехугольник (ABQP) будет параллелограммом?
(2) Соедините (PQ) и найдите точку (M) пересечения с диагональю (AC), найдите максимальное значение (CM);
(3) Если (E) находится на (DC) и (DE = 2), при каком значении (t) треугольник (PEQ) будет прямоугольным? ---